安徽省宣城市部分学校2024-2025学年高一（上）月考数学试卷（12月份）（PDF版，含答案）

安徽省宣城市部分学校 2024-2025 学年高一（上）月考数学试卷（12
月份）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
25
1.cos 的值为( )
3
√ 3 1 √ 3 1
A. B. C. D.
2 2 2 2
2.命题“ ∈ (1,2)， 2 + 2 > 3”的否定是( )
A. ∈ (1,2)， 2 + 2 > 3 B. (1,2)， 2 + 2 ≤ 3
C. ∈ (1,2)， 2 + 2 ≤ 3 D. ∈ (1,2)， 2 + 2 ≤ 3
1
3.函数 ( ) = log1 2 + 1的零点所在的一个区间是( )
4
2
1 1 1
A. ( , ) B. ( , 1) C. (1,2) D. (2,4)
4 2 2
4.设 = log 0.8， = 21.1， = 0. 81.13 ，则 ， ， 的大小关系为( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
3
5.函数 ( ) = 的图象大致为( ) 3 1
A. B.
C. D.
6.已知点 (cos( + 2), sin(2 2))，则点 在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
7.若函数 ( ) = 22 + 2 2 4(2 + 2 ) + 有且只有一个零点，则实数 的值为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
第 1 页，共 8 页
8.已知函数 ( ) = 2022 + log2022(√
2 + 1 + ) 2022 + 1011，则关于 的不等式 (4 + 1) + (2 +
1) 2022 < 0的解集为( )
1 2
A. ( ∞, 2) B. ( ∞, ) C. ( ∞, ) D. ( ∞, 1011)
3 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 函数 ( ) = 1 2( > 0且 ≠ 1)的图象恒过定点(1, 2)
B. 若函数 ( )满足 ( ) + ( ) = 6，则函数 ( )的图象关于点(0,3)对称
3
C. 当 > 0时，函数 = + 1的最小值为2√ 3 1
+1
1
D. 函数 ( ) = √ 2 + 2的单调减区间为[ , 1]
2
10.已知正数 ， 满足2 + = 1，则( )
1 4 1 1
A. 8 ≤ 1 B. + ≥ 12 C. 4 2 + 2 ≥ D. ( + 1) ≤
2 4
2 + , <
11.对于函数 ( ) = { 2 下列说法正确的是( ) + 2 , ≥
A. 当 = 0时， ( )的最小值为0
1
B. 当 ≤ 时， ( )存在最小值
3
C. 当 ≥ 1时， ( )在( ∞, +∞)上单调递增
D. ( )的零点个数为 ( )，则函数 ( )的值域为{0,1,2,3}
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2
12.一个扇形的弧长和面积都是 ，则这个扇形的半径为 ．
3
2
13.已知幂函数 ( ) = ( 2 3 3) + 3在(0, +∞)上是减函数，则 的值为 ．
14.在数学中连乘符号是“∏”，例如：若 ∈ ，则∏10 =1 = 1 × 2 × 3 × × 10，已知函数 ( ) =
log +1( + 2)， ( ) = ∏ =1 ( )， ， ∈ ，且2 < ≤ 2024，则使 ( )为整数的 共有 个.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
1
已知 ∈ ，全集 = ，集合 = { | < 3 ≤ 27}，函数 = √ log1(2 1)的定义域为 ． 9
3
(1)当 = 1时，求( ) ∩ ;
(2)若 ∈ 是 ∈ 成立的充分不必要条件，求 的取值范围．
16.(本小题15分)
第 2 页，共 8 页
2
3
已知tan = log23 log34 √64 + 0. 125

3
(1)若 是第一象限角，求sin 的值;
2sin( + )cos( 2 )
(2)求 2 2 3 的值． sin ( ) sin ( )
2
17.(本小题15分)
已知函数 ( ) = log3(9
+ 1) + 是偶函数．
(1)求实数 的值;
(2)若 ∈ [0,1]时，不等式 ( ) + log3( 3
1) ≥ 0恒成立，求实数 的取值范围．
18.(本小题17分)
近来，流感病毒肆虐，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的
含药量 (毫克)与时间 (小时)成正比;药物释放完毕后， 与 的函数关系为 = ( > 0且 ≠ 1).根据图中
提供的信息，求：
(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量 (毫克)与时间 (小时)之间的函数关系式;
(2)为确保学生健康安全，药物释放过程中要求学生全部撤离，药物释放完毕后，空气中每立方米含药量不
超过0.15毫克时，学生方可进入教室.那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室. (
精确到0.1小时)(参考值：ln2 ≈ 0.69，ln3 ≈ 1.10，ln5 ≈ 1.61)
19.(本小题17分)
2 2
已知函数 ( ) = ， ( ) = ． 3 +1 ( )
(1)若函数 ( )为奇函数，求 的值;
(2)设 ( ) = (2 ) ( ) ．
(ⅰ)函数 ( )在 ∈ [ 1,2]上有两零点，求 的取值范围;
第 3 页，共 8 页
(ⅱ)若 = 4，则是否存在实数 ， ，使得函数 = ( )的定义域为[ , ]，值域为[3 , 3 ].若存在，求出3 和
3 的值;若不存在，请说明理由．
第 4 页，共 8 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】2
13.【答案】 1
14.【答案】8
1
15.【答案】解：(1) = { | < 3 ≤ 27} = { |3 2 < 3 ≤ 33} = { | 2 < ≤ + 3} ，
9
即 = ( 2, + 3] ，当 = 1 时， = ( 1,4],
1 1
由 1(2 1) 0, ，得 0 < 2 1 1 ，解得 < 1 ，即 = ( , 1],
2 2
3
1
= ( ∞, ] ∪ (1, +∞) ， 2
1
∴ ( ) ∩ = ( 1 , ] ∪ (1,4]； 2
(2)由 ∈ 是 ∈ 的充分不必要条件，可知集合 是集合 的真子集．
1
2
所以 { 2 (且两等号不能同时成立)，
+ 3 1
5
解得 2 ，
2
5
经检验符合集合 是集合 的真子集，所以 的取值范围是 [ 2, ] ．
2
1 23
16.【答案】解：(1)tan = 2log23 log 2 √43 + ( )
3×( )
3 3 2
1
= 2 4 + ( ) 2 = 2，
2
第 5 页，共 8 页
又 是第一象限角，所以sin = 2cos > 0，
又sin2 + cos2 = 1，
2√ 5
解得sin = ；
5
2sin ( + )cos ( 2 )
(2)
3
sin2 ( ) sin2 ( )
2
2sin cos
=
sin2 cos2
2tan 2×2 4
= = = ．
tan2 1 22 1 3
17.【答案】解：(1) ∵函数 ( ) = (9 3 + 1) + 的定义域为 ，且为偶函数，
10
∴ ( 1) = (1)，即 3 = 310 + ，解得 = 1， 9
1
此时 ( ) = (9 3 + 1) = 3(3
+ )， 3
1 1
经检验， ( ) = (3 3 +

) = 3( + 3 ) = ( )成立， 3 3
∴ = 1．
(2) ∵ ∈ [0,1]时，不等式 ( ) + 3( 3
1) ≥ 0恒成立，
即当 ∈ [0,1]时，不等式 3(9 + 1) 3( 3
1) ≥ 0恒成立，
2 1
整理，得3 + ≥ > ，
3 3
∈ [0,1] = 3 ∈ [1,3]，
2 1
∴ ( + )

≥ > ( )

，
2
∵ + ≥ 2√ 2(当且仅当 = √ 2 ∈ [1,3]时取“=”)，

∴ 1 < ≤ 2√ 2，即 ∈ (1,2√ 2].
1
18.【答案】解：(1)当0 ≤ ≤ 时，设 = ．
2
1 1
将( , 2)代入得：2 = ，解得 = 4，
2 2
所以 = 4 ;
1
当 > 时， = ( > 0，且 ≠ 1)．
2
1
将( , 2)，(1,1)代入：
2
1
{2 = 2
1
，解得 = ， = 4，
1 = 4
第 6 页，共 8 页
所以 = 41 ．
1
4 , 0 ,
综上： = { 2
41
1
, > .
2
3
(2)令41 ≤ 0.15 = ，
20
3
得1 ≤ log4 = log 3 log 20， 20 4 4
则1 ≤ log43 log45 1，
即 ≥ 2 + log45 log43，
ln5 ln3
所以， ≥ 2 + ≈ 2.4．
ln4
所以，从药物释放开始，至少经过2.4小时后学生才能进入教室．
19.【答案】(1)因为函数 ( )为奇函数，所以 (0) = 0，得 = 1

= 1 2 3 1检验当 时 ( ) = 1 = ， ( ) = ( )， ( )为奇函数． 3 +1 3 +1
(2)(ⅰ)
由已知 ( ) = (2 ) ( ) = 32 + 3 1 = 0，
方程32 3 + 1 = 0在 ∈ [ 1,2]上有两个根，
1令 = 3 ， ∈ [ , 9]， 2 + 1 = 0，
3
1 1
参变分离得 = + ，所以 = 与 = + 图象有两个交点，

10
所以 ∈ (2, ]
3
( )令 = 3 ， ∈ [3 , 3 ]，令 = 3 ， = 3 ，即 ∈ [ , ]
( )可转化为 ( ) = 2 + 4 1，对称轴为 = 2
( ) =
①当0 < < ≤ 2时， ( )单调递增，此时{ ，
( ) =
即方程 ( ) = 2 + 4 1 = 在(0,2]有两个不同根，
第 7 页，共 8 页
解得 3±√ 5 3+√ 5 = ，其中 = > 2，此情况排除;
2 2
②当 < 2 < 时， ( )先增后减，
(2) = 3 =
{
min{ ( ), ( )} =
由 ( ) = 可得 3 √ 5 = ，而 ( ) = (3) = 2 > ( )，
2
所以 = 3
3 √ 5
= ， = 3 = 3此时;
2
( ) =
③当2 ≤ < 时， ( )单调递减，此时{ ，
( ) =
2 + 4 1 =
即{ 2 ，两式做差得( )( + 5) = 0 + 4 1 =
因为 ≠ ，所以 + 5 = 0，即 + = 5，
代入可解得 = 3 = 2， = 3 = 3
3 √ 5 3 = 2
综上所述，{3 = 2 或{
3 = 3 3 = 3
第 8 页，共 8 页