浙江省绍兴市部分学校2024-2025学年高一（上）阶段考数学试卷（12月份）（PDF版，含答案）

浙江省绍兴市部分学校 2024-2025 学年高一（上）阶段考数学试卷（12
月份）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = {2,3}, = { 1,0,3}，则 ∩ =( )
A. {3} B. {2} C. { 1,0} D. { 1,0,2,3}
2.命题“ ∈ ， 3 ≥ 1”的否定是( )
A. ∈ ， 3 < 1 B. ∈ ， 3 < 1
C. ∈ ， 3 ≥ 1 D. ∈ ， 3 ≤ 1

3.已知tan = 2，则tan ( ) = ( )
4
1 1
A. 3 B. 3 C. D.
3 3
1
4.已知 = ， = log
3 4
3， = 210°，则( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
5.函数 ( )的部分图象如图所示，则 ( )的解析式可能是 ( )
3 3 2+1
A. ( ) = B. ( ) = C. ( ) = D. ( ) =
1 | | 2+1 2 1 2 1
1
6.将函数 = sin(2 )的图象向左平移 个周期后，所得图象对应的函数为( )
6 4
2
A. = sin(2 + ) B. = sin(2 )
12 3
5
C. = sin(2 + ) D. = sin(2 )
3 12
7.在平面直角坐标系 中，以原点 为圆心的单位圆与锐角 的终边交于点 ，过
点 (1,0)作 轴的垂线与锐角 的终边交于点 ，如图所示，△ 的面积小于扇形
的面积，扇形 的面积小于△ 的面积，则( )

A. ∈ (0, )， >
2
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B. ∈ (0, )， >
2

C. ∈ (0, )， + >
2 2

D. ∈ (0, )， + tan( ) >
2 2 2
8.已知 2 2 3 2 = 1，且log2( + ) ≥ 1，则 的取值范围是( )
5 5
A. ( ∞, ] B. [ , +∞) C. ( ∞, 1] D. [1,+∞)
4 4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数 ( )与 ( )是同一个函数的是 ( )
2
A. ( ) = ， ( ) = B. ( ) = 1， ( ) = 0

C. ( ) = | |， ( ) = √ 2 D. ( ) = ， ( ) = 22
10.对 ∈ ， ≤ 2 + 成立的充分不必要条件可以是( )
A. = 0 B. ≤ 1 C. = 1 D. = 3
, ≤ , ≤
11.已知 { , } = { ， { , } = { ，则( )
, > , >
+ | |
A. { , } + { , } = + B. { , } =
2
C. {( + )2, ( )2} ≤ 2 + 2 D. {| + |, | |} ≥ {| |, | |}
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
.已知函数 ( ) = {√ , > 012 ，则 ( ( 1)) =___________． 4 , ≤ 0
13.已知一个扇形圆心角的弧度数为2，该扇形所在圆的半径为2，则该扇形的弧长是 ．
1
14.已知 > 0， > 0， + = 2，则 + 的最小值是 ．
2
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知集合 = { | > 2}， = { | 2 3 ≥ 0}．
(Ⅰ)求集合 ；
(Ⅱ)求 ( ∪ )．
16.(本小题15分)
已知函数 ( ) = sin2 2 2 + 1．
(1)求 (0)的值； (2)求 ( )的单调递增区间．
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17.(本小题15分)
3 1
已知 ∈ (0, )， ∈ (0, )，且 = ，sin( + ) = ．
2 4 3
(Ⅰ)求 2 的值；
(Ⅱ)求cos( )的值．
18.(本小题17分)
+1
已知函数 ( ) = log ( > 0，且 ≠ 1)． 1
(1)判断并证明函数 ( )的奇偶性；
(2)若 = 2，求函数 = (2 )的值域；
3
(3)是否存在实数 , ，使得函数 ( )在区间( , )上的值域为(1,2)，若存在，求 , 的值；若不存在，请说
2
明理由．
19.(本小题17分)
已知函数 ( ) = √ 2 1 ， ∈ ．
(Ⅰ)若函数 ( )有两个不同的零点，求 的取值范围；
(Ⅱ)若函数 ( )在区间[1,+∞)上单调递减，求 的最小值；
(Ⅲ)若 = 0，对任意 ∈ [1,+∞)均有 2 + ≥ ( ) + 2，求实数 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
1
12.【答案】
2
13.【答案】4
5
14.【答案】
4
15.【答案】解：(Ⅰ) = { | ( 3) ≥ 0} = { | ≤ 0或 ≥ 3}；
(Ⅱ) ∵ = { | > 2}，∴ ∪ = { | ≤ 0或 > 2}，
∴ ( ∪ ) = { |0 < ≤ 2}．
16.【答案】解：(Ⅰ) (0) = 0 2 20 + 1 = 1；
(Ⅱ) ( ) = 2 2 2 + 1 = 2 2

= √ 2( 2 2 )
4 4

= √ 2sin(2 )，
4

由 + 2 ≤ 2 ≤ + 2 ， ∈ ，
2 4 2
3
得 + ≤ ≤ + ， ∈ ，
8 8
3
故 ( )的单调递增区间是[ + , + ]( ∈ )．
8 8
sin 3
17.【答案】解：(Ⅰ)因为 ∈ (0, )， = = ，sin2 + cos2 = 1，
2 cos 4
3 4
所以 = ， = ，
5 5
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24
所以 2 = 2 = ．
25
3
(Ⅱ)因为 = ，
4
3
2 2× 24
所以 2 = = 4 = ，
1 tan2 3 21 ( ) 7
4
sin2 24 24
又 2 = = ， 2 = ，
cos2 7 25
24
sin2 7
所以 2 = = 25 = ，
tan2 24 25
7
1 1
因为sin( + ) = ∈ (0, )， ∈ (0, )， ∈ (0, )，
3 2 2
5
所以 + ∈ (0, )或 + ∈ ( , )，
6 6
3 √ 3
又 = ∈ ( , 1)，
4 3

所以 ∈ ( , )，
6 4
5
所以 + ∈ ( , )，
6
2√ 2
所以cos( + ) = √ 1 sin2( + ) = ，
3
所以cos( ) = cos[( + ) 2 ] = cos( + ) 2 + sin( + ) 2
2√ 2 7 1 24 24 14√ 2
= ( ) × + × = ．
3 25 3 25 75
18.【答案】解：(1)函数 ( )是奇函数．
+1
证明：函数 ( ) = log ( > 0，且 ≠ 1)， 1
+1
由 > 0，解得函数 ( )的定义域为( ∞, 1) ∪ (1,+∞)，关于原点对称，
1
因为对任意的 ∈ ( ∞, 1) ∪ (1,+∞)，都有 ∈ ( ∞, 1) ∪ (1,+∞)，
+1 1 +1 1 +1且 ( ) = log = log = log ( ) = log = ( )， 1 +1 1 1
所以函数 ( )是奇函数．
+1 2 +1 2
(2)当 = 2时， ( ) = log2 , = (2
) = log2 = log2(1 + )． 1 2 1 2 1
2 2
因为函数 ( )的定义域是( ∞, 1) ∪ (1,+∞)，所以2 > 1，所以 ∈ (0,+∞),1 + ∈ (1,+∞)， 2 1 2 1
2
所以 2(1 + ) ∈ (0,+∞)，故函数 = (2
)的值域是(0,+∞)．
2 1
3
(3)因为函数 ( )在( , )上的值域为(1,2)，又 > 0，且 ≠ 1，
2
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3 3
结合函数 ( )的定义域可知( , ) (1,+∞)，所以 > > 1．
2 2
2 3
( )当0 < < 1时，函数 ( ) = log (1 + )在( , )上单调递增， 1 2
2
( ) = 1 1 + = 1
所以{ 3 ，即{ 2 ,
( ) = 2 1 + = 2
2 3 1
2
2 2
因为 > 1，所以1 + > 1，所以1 + = 无解，
1 1
故此时不存在实数 , 满足题意．
2 3
( )当 > 1时，函数 ( ) = log (1 + )在( , )上单调递减， 1 2
2
( ) = 2 1 + 3 =
1
所以{ 3 ，即{ 2 ,
( ) = 1 2
2 1 + = 2
1
1 5
解得 = 2或 = (舍)， = ．
3 3
5 5
综上，存在实数 = 2, = 使得函数 ( )在区间( , 3)上的值域为(1,2)．
3 3
1
19.【答案】解：(Ⅰ)函数 ( )的定义域为[ , +∞)．
2
因为 ( )有两个不同的零点，所以关于 的方程√ 2 1 = 有两个不等的实根，所以 > 0，
1
因为关于 的方程 2 2 2 + 1 = 0有两个大于 的不等实根，
2
> 0
= 4 4
2 > 0
所以， 2 1 2 > ，解得0 < < 1，即 ∈ (0,1)． 2 2
1 1
{( )
2 2 2 × + 1 > 0
2 2
(Ⅱ)对任意的 1， 2 ∈ [1,+∞)，且 1 < 2，有 ( 1) ( 2) = (√ 2 1 1 1) (√ 2 2 1 2) =
2( ) 2
(√ 2 1 1 √ 2 2 1) ( ) =
1 2
1 2 ( ) = ( )( )． √ 2 1 1+√ 2 1
1 2 1 2
2 √ 2 1 1+√ 2 2 1
因为 ( )在[1,+∞)上单调递减，所以 ( 1) ( 2) > 0，
2
又因为 1 2 < 0，所以 < 0， √ 2 1 1+√ 2 2 1
2
所以 > 恒成立．
√ 2 1 1+√ 2 2 1
因为 2 > 1 ≥ 1，
2
所以√ 2 1 1 + √ 2 2 1 > 2， < 1，所以， ≥ 1． √ 2 1 1+√ 2 2 1
因此， 的最小值是1．
(Ⅲ)由(Ⅱ)得当 = 1时， ( )在 ∈ [1,+∞)上单调递减，所以 ( ) ≥ (1)，
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即当 ≥ 1时，√ 2 1 ≤ ．
当 = 0时，
设 ( ) = 2 + ( ) 2 = 2 + √ 2 1 2( ∈ [1,+∞))．
由 (1) = 2 2 ≥ 0，得 2 ≤ ≤ 1．
①当 2 ≤ ≤ 0时， ( ) = 2 + √ 2 1 2在[1,+∞)上单调递增，
所以 ( ) ≥ (1) = 2 2 ≥ 0成立．
②当0 < ≤ 1时， ( ) = 2 + √ 2 1 2 ≥ 2 + (1 ) 2，
1
因为二次函数 ( ) = 2 + (1 ) 2的对称轴 = ≤ 0，
2
所以 ( )在[1,+∞)上单调递增，
所以，当 ≥ 1时， ( ) ≥ (1) = 2 2 ≥ 0，
所以 ( ) ≥ (1) ≥ 0成立．
综上，实数 的取值范围是[ 2,1]．
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