第二十二章 二次函数 寒假练习（含详解）2024-2025学年人教版九年级数学

第二十二章 二次函数
一、选择题。
1.二次函数的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
2.二次函数向左平移3个单位,向上平移1个单位得到函数解析式是( )
A. B. C. D.
3.若点、都在二次函数的图象上,则a与b的大小关系( )
A. B. C. D.无法确定
4.对于二次函数的图象,下列说法正确的是( )
A.可由的图象平移得到 B.对称轴是直线
C.图象有最低点 D.顶点坐标是
5.小明以二次函数的图象为模型设计了一款杯子,如图为杯子的设计稿,若,,则杯子的高CE为( )
A.21 B.22 C.23 D.24
6.在投掷铅球项目中，铅球脱手后的飞行路线可以看做如图所示抛物线的一部分.设铅球落地点离投掷者的距离为，则s的范围为( )
A. B. C. D.
7.如图，一次函数与二次函数图象相交于P、Q两点，则函数的图象可能是( )
A. B. C. D.
8.已知二次函数()的图象如图所示,有下列5个结论：
①；②；③当时,y随x的增大而减小；④；⑤.其中正确结论的个数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题。
9.若一条抛物线与图象的形状相同且开口向下,顶点坐标为,则这条抛物线的解析式为________________________.
10.如图,大正方形的边长为,以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系,作出函数与的图像,则图中阴影部分的面积是______.
11.已知二次函数的部分图象如图所示,则抛物线与x轴的另一个交点坐标为______.
12.如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是__________平方米.
13.二次函数的图象如图所示,对称轴是直线.下列结论：①；②；③；④(m为实数).其中正确的结论有______.
三、计算题。
14.如图,抛物线的对称轴为直线,与x轴交于A、C两点,与y轴交于点.
(1)求该二次函数的解析式,并写出顶点D的坐标；
(2)若将此抛物线平移,使其顶点为点B,请写出这个变换过程和平移后的抛物线解析式.
15.如图①,桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分,在某一时刻,桥拱内的水面宽,桥拱顶点B到水面的距离是.
(1)按如图②所示建立平面直角坐标系,求桥拱部分抛物线的函数表达式；
(2)一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来,当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时,桥下水位刚好在OA处,有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾,他的头顶是否会触碰到桥拱,请说明理由(假设船底与水面齐平).
答案以及解析
1.答案：B
解析：∵
∴顶点坐标为.
故选：B.
2.答案：D
解析：由题意知,二次函数向左平移3个单位,向上平移1个单位得到函数解析式是,
即,
故选：D.
3.答案：B
解析：根据题意得：当时,,
当时,,
∴.
故选：B.
4.答案：C
解析：A、二次函数可以由向右平移1个单位长度,向上平移2个单位长度得到,不可以由的图象平移得到,原说法错误,不符合题意；
B、二次函数的对称轴为直线,原说法错误,不符合题意；
C、二次函数的图象开口向上,有最小值,原说法正确,符合题意；
D、二次函数的顶点坐标为,原说法错误,不符合题意；
故选：C.
5.答案：A
解析：,
抛物线顶点D的坐标为,
,
点的横坐标为,
把代入,得到,
,
.
故选：A
6.答案：B
解析：根据题意，设抛物线的解析式为，
将点代入得：，
解得：，
抛物线的解析式为，
令，则，
解得：，
由图可知，
，
，
，
故选：B.
7.答案：A
解析：点P在抛物线上，设点，又因点P在直线上，
，
；
由图象可知一次函数与二次函数交于第一象限的P、Q两点，
方程有两个正实数根.
函数与x轴有两个交点，
又，，
，
函数的对称轴，A符合条件，
故选A.
8.答案：C
解析：∵抛物线开口向下,∴,
∵抛物线的对称轴为直线,∴,
∴,
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,∴,
∴,故①错误；
∵,
∴,故②正确；
由图可知,当时,y随x的增大而减小,故③正确；
∵抛物线与x轴有2个交点,
∴有两个不相等的实数根,
∴,故④正确；
∵抛物线的对称轴为直线,
∴与对应的函数值相等,
∴,故⑤错误,
综上可知,正确的有②③④,共3个,
故选C.
9.答案：
解析：∵一条抛物线与图象的形状相同且开口向下,
∴这条抛物线的二次项系数为,
又∵这条抛物线的顶点坐标为,
∴这条抛物线的解析式为,
故答案为：.
10.答案：3
解析：∵函数与的图象关于x轴对称,
∴图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半,
∵边长为的正方形面积为6,
∴图中的阴影部分的面积为3,
故答案为：3.
11.答案：
解析：易得对称轴为1,根据抛物线的对称性,可得抛物线与x轴两交点到对称轴的距离相等,那么抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为,纵坐标为0.∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为.
12.答案：450
解析：由题意，设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，
又墙长为40米，
.
.
菜园的面积，
当时，可围成的菜园的最大面积是450，即垂直于墙的边长为15米时，可围成的菜园的最大面积是450平方米.
故答案为：450.
13.答案：②③④
解析：抛物线开口向上,与y轴交点在负半轴,
,,
抛物线对称轴为直线,
,
,
,①结论错误；
由图象可知,当时,,
,②结论正确；
由图象可知,当时,,
,
,③结论正确；
由图象可知,当时,二次函数有最小值,
,
,④结论正确,
故答案为：②③④.
14.答案：(1),
(2)先向左平移2的单位长度,再向上平移4个单位长度,得到新的抛物线解析式为
解析：(1)∵对称轴,
∴,
把代入得,
∴二次函数为,
∵,
∴顶点；
(2)将此抛物线平移,使其顶点为点B,即平移到点,需要向左平移2的单位向上平移4个单位,
∴平移后的解析式.
15.答案：(1)
(2)不会碰到头,理由见解析
解析：(1)如图②,由题意得：水面宽OA是8m,桥拱顶点B到水面的距离是4m,
结合函数图象可知,顶点,点,
设二次函数的表达式为,
将点代入函数表达式,
解得：,
∴二次函数的表达式为,
即；
(2)工人不会碰到头,理由如下：
∵小船距O点0.4m,小船宽1.2m,工人直立在小船中间,
由题意得：工人距O点距离为,
∴将代入,
解得：,
∵,
∴此时工人不会碰到头.