2024-2025学年辽宁省丹东市高一上学期教学质量调研测试数学试卷（含答案）

2024-2025学年辽宁省丹东市高一上学期教学质量调研测试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，则( )
A. B. C. D.
2.若，则是( )
A. B.
C. D.
3.若函数的定义域为，则的值域为( )
A. B. C. D.
4.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分且必要条件 D. 不充分也不必要条件
5.若某地区第一年的经济增长率为，第二年的经济增长率为其中，则这两年的平均增长率为( )
A. B.
C. D.
6.设函数若，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.设，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，那么不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若幂函数的图像经过点，则( )
A. 的定义域为 B. 的值域为
C. 的图像关于轴对称 D. 当时，
10.若实数满足，则( )
A. 有最大值为 B. 有最小值为
C. 有最大值为 D. 有最小值为
11.设函数，若，则 ( )
A. B.
C. 的最小值为 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.求值： ．
13.设函数，若，则 ．
14.设，若关于的不等式的解集中的整数恰有个，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设全集，集合．
当时，求；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
二次函数满足，且的最小值为．
求的解析式；
若函数在上单调，且在该区间内有且只有一个零点，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知是奇函数．
证明：；
写出的单调区间；
求使成立的值集合．
18.本小题分
定义域为的函数满足．
求证：；
求证：为偶函数；
当时，，求证：在上单调递增，在上单调递减．
19.本小题分
若关于的一元二次方程有两个实根，则称为两根之间的距离，简称“根距”当，其中，则称该一元二次方程有级“根距”例如，则称该一元二次方程有级“根距”．
试用表示根距；
设关于的方程有两个不等实根，判断该方程的根距是多少级？
若，当时，，，求的值，并确定一元二次方程根距级数的最小值，使至少可以取到两个整数值．
参考答案
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14.
15.解：
解不等式得，
当时，，
因此．
由知或．
若，则解得．
因为，
所以的取值范围为或．

16.解：
由知的图象关于直线对称，
从而，则，因此．
因为的最小值为，所以，可得．
于是．
在单调递减，在单调递增．
由，则函数在单调且在该区间内有且只有一个零点等价于
或，解得或，
故的取值范围为．

17.解：
由题意不在定义域内，因为是奇函数，
所以也不在定义域内，
从而当时，，可得．
于是．
因为是定义域为是奇函数，由得．
此时，满足．
因此．
定义域为．
当时，单调递增；
当及时，均单调递减，
因此的单调递增区间为，单调递减区间为．
【解法】令，得，
由可知当时，单调递增；
则，过当时，
当时，单调递减，
当时，，所以
综上成立的值集合为．
【解法】由得
等价于解得．
于是使成立的值集合为

18.解：
取代入，得，
取代入，
得，故．
取代入，得，
取代入，所以，
所以，因为当时，，所以为偶函数．
设，则，由题设．
所以在上单调递增．
因为为偶函数，所以，而，所以在上单调递减．

19.解：
当时，，
故．
由题设，可得，
所以，
设，则，所以，
当且仅当时等号成立，
且满足，所以
因为，所以此方程的根距是级
【小问详解】
由，得或，则，
因为当时，，
所以，因为，所以，，
所以关于的方程根距，
由，得
因为，当，即时，此时少于个整数解，
若，则仅有个整数解，
若，则仅有个整数解，
若，则有个整数解和，
综上，关于的一元二次方程根距级数的最小值为，使至少可以取到两个整数值．

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