贵州省贵阳市2024-2025学年高二（上）联考数学试卷（二）（PDF版，含答案）

贵州省贵阳市 2024-2025 学年高二（上）联考数学试卷（二）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集 = { 2, 1,0,1, 2}，集合 = { 1, 2}， = { | 2 2 = 0}，则 ( ∪ )( )
A. {1,2} B. {0,2} C. { 2, 1} D. { 2,1}
2.若复数 满足(1 ) = 1 + 2 .则| | =( )
√ 10 √ 5 √ 10 5
A. B. C. D.
4 2 2 2
3.当 , 取下列选项中哪组值时，方程 2 + 2 = 1表示双曲线( )
A. = 1, = 1 B. = 1, = 2 C. = 2, = 1 D. = 2, = 1
4.圆 : 2 + ( 8)2 = 1与圆 : 21 2 +
2 6 8 + 9 = 0的位置关系是( )
A. 相离 B. 外切 C. 相交 D. 内切
2 2
5.过双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)的一个焦点作圆
2 + 2 = 2的两条切线，切点分别为 , ，若∠ =

60 ( 是坐标原点)，则该双曲线的离心率为( )
2√ 3 4
A. B. C. √ 3 D. √ 5
3 3
6.空间直角坐标系 中，经过点 ( 0, 0, 0)且法向量为 = ( , , )的平面方程为 ( 0) +

( 0) + ( 0) = 0，经过点( 0, 0, 0)且方向向量为 = ( , , )( ≠ 0)的直线 的方程为
0 =

0 = 0，阅读上面的材料并解决下列问题：现给出平面 的方程为2 + 3 = 0，经过点 (0,0,0)


的直线 的方程为 = = ，则直线 与平面 所成角的正弦值为( )
1 2 1
1 √ 35 5 √ 11
A. B. C. D.
6 6 6 6
7.某校组织1000名学生参加纪念红军长征90周年知识竞赛，经统计这1000名学生的成绩都在区间[50,100]
内，按分数分成5组：[50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100]，得到如图所示的频率分布直方图 根据图
中数据，下列结论错误的是( )
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A. 成绩在[50,60)上的人数最少
B. 成绩不低于80分的学生所占比例为50%
C. 用分层抽样从该校学生中抽取容量为100的样本，则应在[70,80)内抽取30人
D. 这1000名学生成绩的平均分小于第50百分位数
8.等额分付资本回收是指起初投资 在利率 回收周期数 为定值的情况下，每期期末取出的资金 为多少

(1+ )
时，才能在第 期期末把全部本利取出，即全部本利回收，其计算公式为： = .某农业种植公司
(1+ ) 1
投资28万元购买一大型农机设备，期望投资收益年利率为10%，若每年年底回笼资金5.6万元，则该公司将
至少在( )年内能全部收回本利和．(lg11 ≈ 1.04, lg2 ≈ 0.30, lg5 ≈ 0.70)
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
二、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
9.在平面直角坐标系中，已知点 (2√ 3, 2), (√ 3, 1)，则直线 的倾斜角为 ．
10.如图，已知在平行六面体 1 1 1 1中，底面 是边长为2的正方形，侧棱 1长为4，且
∠ 1 1 = ∠ 1 = 60
则 1 1 1 = ．
2 2
11.已知双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的左 右焦点分别为 1, 2，过点 1的直线 : 7 24 + 28 = 0与
双曲线 交于 ， 两点 若 2 ⊥ 轴，则双曲线 的渐近线方程为 ．
三、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
12.(本小题12分)
已知 的内角 , , 所对的边分别为 , , ，设向量 = (sin , + )， = ( √ 3 , sin sin )，且
⊥ ．
(1)求角 ：
(2)若 = 2√ 3, 的面积为√ 3，求 的周长．
13.(本小题12分)
3
已知抛物线 : 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ，且抛物线上一点 ( , )到焦点的距离为2．
4
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(1)求拋物线的方程 ；

(2)已知过抛物线 的焦点 且倾斜角为 的直线 与 交于点 , ，求 的中点到拋物线 的准线的距离．
4
14.(本小题12分)
已知圆 : ( 1)2 + ( 2)2 = 4，点 (0,2)．
(1)若 为过点 的弦且 所在直线 1与直线 2: 2 1 = 0垂直.求 的长；
(2)若 是圆外的一个动点，连接 与圆 交于点 ，且满足点 为线段 的三等分点(靠近点 )，求动点
的轨迹方程，并说明它是什么图形．
15.(本小题12分)
如图.在三棱台 1 1 1中，已知 1 ⊥平面 , ⊥ , = = 1 = 4， 1 1 = 2， 为线段
的中点， 为线段 的中点．
(1)求证： 1 //平面 1 ；
(2)求平面 1 与平面 1 1 夹角的余弦值；
(3)求点 到平面 1 的距离．
16.(本小题12分)
若一个椭圆的焦距为素数(素数又叫质数，即大于1，只能被1和本身整除的自然数)，且离心率的倒数也为
素数，则称这样的椭圆为“朴素椭圆”．
4 2 2
(1)证明：椭圆 + = 1为“朴素椭圆”；
225 54
2 2
(2)是否存在实数 ，使得椭圆 + = 1(0 < < 36)为“朴素椭圆”？若存在，求 的值；若不存在，请
36
说明理由；
2 2 60
(3)设斜率为2的直线 经过椭圆 : + 2 = 1(0 < < 3)的右焦点，且与 交于 , 两点，| | = ，试问 是9 11
否为“朴素椭圆”，说明你的理由．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】

9.【答案】
6
10.【答案】 8
√ 7
11.【答案】 = ±
3
12.【答案】(1)
因为 ⊥ ，则sin ( √ 3 ) + ( + )(sin sin ) = 0，
由正弦定理得 ( √ 3 ) + ( + )( ) = 0，
2 √ 3 + 2 2 = 0， 2 + 2 2 = √ 3 ，
2 2 2 + √ 3 √ 3
则cos = = = ，
2 2 2

因为 ∈ (0, )，则 = ．
6
(2)
1 1
由三角形面积公式，得√ 3 = × 2√ 3 × ，故 = 2，
2 2
2 2 2 2 √ 3 = + 2 cos = 22 + (2√ 3) 2 × 2 × 2√ 3 × = 22，
6 2
∴ = 2，
所以 的周长为2 + 2 + 2√ 3 = 4 + 2√ 3．
13.【答案】(1)
3 5
由题意得 + = 2，解得 = ，
2 4 2
则 : 2 = 5 ．
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(2)
设线段 的中点为 ，分别过点 , , 作准线的垂线，垂足分别为 , , ，
5
因为 : 2 = 5 ，则其焦点坐标为(0, )，
4

因为直线 倾斜角为 ，则其斜率为1，设 ( 1, 1), ( 2, 2)， 4
5 5 2
则直线 的方程为 + = ，联立抛物线方程 2 = 5 得( + ) = 5 ，
4 4
2 15 25 15即 + + = 0，则 1 + 2 = ， 2 16 2
5 5 15 5
| |+| | + + +
根据梯形中位线得 的中点到拋物线 的准线的距离| | = = 1 4 1 4 = 2 2 = 5．
2 2 2
14.【答案】(1)
由题意设直线 的方程为 1: 2 + + = 0，
代入 (0,2)，则2 × 0 + 2 + = 0，解得 = 2，即 1: 2 + 2 = 0．
|2+2 2| 2√ 5
∵ 圆心 (1,2)到直线 1的距离为 = = ， √ 5 5
4 8√ 5
∴ | | = 2√ 4 = ．
5 5
(2)
设 ( , ), ( , )，则
1
= 0 0 ， 3
1 1
1 0 = 0 =
即( 0, 0 2) = ( , 2)，即{
3 ，解得{ 3 ,
3 1 1 4 0 2 = ( 2) 0 = +3 3 3
1 1 2
因为点 在圆 上，则( 0 1)
2 + ( 2)20 = 4，则( 1)
2 + ( )2 = 4，
3 3 3
化简得( 3)2 + ( 2)2 = 36．
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15.【答案】(1)
连接 , 1 , 1 , 1 .由 , 分别是 , 的中点，

根据中位线性质， // ，且 = = 2，
2
由棱台性质， 1 1// ，于是 // 1 1，
由 = 1 1 = 2可知，四边形 1 1是平行四边形，则 1 // 1，
又 1 平面 1 ， 1 平面 1 ，于是 1 //平面 1．
(2)
过 作 ⊥ ，垂足为 ，过 作 ⊥ 1，垂足为 ，连接 , 1 ．
由 面 ， 1 ⊥面 ，故 1 ⊥ ，
又 ⊥ ， ∩ 1 = ， , 1 平面 1 1，则 ⊥平面 1 1．
由 1 平面 1 1，故 ⊥ 1，又 ⊥ 1， ∩ = ， , 平面 ，于是 1 ⊥平面 ，
由 平面 ，故 1 ⊥ .于是平面 1与平面 1 1所成角即∠ ．
2 1 1 2
又 = = 2，cos∠ 1 = = ，则sin∠ 1 = 1 √ ( ) = ， 2
√ 22 2
√ 5 √ 5 √ 5
+4
4
故 = 2 × sin∠ 1 = ，在 中，∠ = 90
，
√ 5
16 6 2
则 = √ 22 + = ，于是cos∠ = = ．
5 √ 5 3
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(3)
方法一：几何法
过 1作 1 ⊥ ，垂足为 ，作 1 ⊥ ，垂足为 ，连接 , ，过 作 ⊥ 1 ，垂足为 ．
由题干数据可得， = = 2√ 5， = √ 2 + 21 1 1 1 = 2√ 5，易得三角形 为等腰直角三角形，
1 1
则 = = × 2√ 2 = √ 2，
2 2
2 2
根据勾股定理， √1 = (2√ 5) (√ 2) = 3√ 2，
1 1
则 = = × 2√ 2 = √ 2，
2 2
由 1 ⊥平面 ， 平面 ，则 1 ⊥ ，
又 1 ⊥ ， 1 ∩ 1 = 1， 1 , 1 平面 1 ，于是 ⊥平面 1 ．
又 平面 1 ，则 ⊥ ，又 ⊥ 1 ， 1 ∩ = ， 1 , 平面 1 ，故 ⊥平面 1 ．
4×√ 2 4
在 1 中， =
1 = = ，
1 3√ 2 3
又 = 2 ，故点 到平面 1 的距离是 到平面 1 的距离的两倍，
8
即点 到平面 1的距离是 ． 3
方法二：等体积法
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辅助线同方法一．
设点 到平面 1的距离为 ，易知 为顶点为 的等腰直角三角形，
1 1 1 2 16
则 = × 1 × = × 4 × × (2√ 2) = ， 1 3 3 2 3
1 1
易知 1 = 1 = 2√ 5， 1 = √ 1
2 + 2 = 2√ 5， = = × 2√ 2 = √ 2，
2 2
2 2
则 1 = √ (2√ 5) (√ 2) = 3√ 2，
1 1 1
则 = × × 1 3 = × × × 2√ 2 × 3√ 2 = 2 ． 1 3 2
16 8
由 = 2 = ，即 = ． 1 1 3 3
16.【答案】(1)
4 2 2
由已知椭圆 + = 1，
225 54
15
即 = ， = 3√ 6，
2
225 9 3
则 = √ 2 2 = √ 54 = √ = ，
4 4 2
1 1
所以焦距2 = 3，离心率 = = ，即 = 5，
5
所以该椭圆的焦距为质数，离心率的倒数也为质数，
即椭圆为“朴素椭圆”．
(2)
2 2
椭圆 + = 1(0 < < 36)的焦距为2√ 36 ，
36
√ 36
离心率 = √ 1 = ，
36 6
2 2
若存在实数 ，使得椭圆 + = 1(0 < < 36)为“朴素椭圆”，
36
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6
则2√ 36 ， 均为质数，
√ 36
又0 < 2√ 36 < 12，所以2√ 36 = 2，3，5，7，11，
3 5 7 11
即√ 36 = 1， ， ， ， ，
2 2 2 2
6 12 12 12
则 = 6，4， ， ， ，这些数都不 质数，
√ 36 5 7 11
2 2
所以不存在实数 ，使得椭圆 + = 1(0 < < 36)为“朴素椭圆”；
36
(3)
设 的右焦点为( , 0)( = √ 9 2)，
则直线 方程为 = 2( )，
设直线 与椭圆的交点为 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= 2( )
联立{ 2 2 ,
+
9 2
= 1

得( 2 + 36) 2 72 + 36 2 9 2 = 0， > 0，
2 2 2
72 72√ 9 36 2 9 324 45
则 1 + 2 = 2 = 2 ， 1 2 = 2 = 2 ，
+36 +36 +36 +36
2
72√ 9 2 2 2
| | = √ 1 + 22 √
324 45 30 60
( 2 ) 4 2 = 2 = ，
+36 +36 +36 11
解得 2 = 8，
则 的焦距为2 = 2√ 9 2 = 2为质数，
2
√ 1 1离心率 = = 1 2 = ，其倒数 = 3为质数， 3
所以 为“朴素椭圆”．
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