甘肃省武威市天祝一中、民勤一中2024-2025学年高一（上）第二次月考数学试卷（PDF版，含答案）

甘肃省武威市天祝一中、民勤一中 2024-2025 学年高一（上）第二次月
考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列关系正确的是( )
5
A. 0 ∈ B. ∈ C. √ 2 ∈ D. 7.8 ∈
2
2.已知幂函数 ( )的图象经过点(2, √ 2)，则 (9) =( )
A. √ 3 B. 3 C. 2 D. 1
1
3.函数 ( ) = + √ 2 的定义域为( )
√ 2 +4
A. ( 2,2) ∪ (2, +∞) B. [2, +∞)
C. ( 2,2] D. [ 2,2]
4.已知函数 ( )满足 (2 ) = 4 2 + 2 ，则( )
A. ( ) = 2 2 + B. ( ) = 2 + 2 C. ( ) = 2 2 + 2 D. ( ) = 2 +
1 2
5.已知正数 ， 满足 + = 1，则2 + + 1的最小值为( )

A. 9 B. 8 C. 7 D. 10
6.定义集合运算： = { | ∈ 且 }，若集合 = { ∈ | 2 < < 4}， = {0,3,5}，则集合 的
真子集的个数为( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
7.已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示假设某商人持有资金6万元，他可以在 1至 4的
任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在 4时刻卖出所有商品，那么他
将获得的最大利润是( )
A. 4万元 B. 4.5万元 C. 5万元 D. 6万元
2 + 2 1, < 2,
8.已知函数 ( ) = { 则“ ≥ 2”是“ ( )在 上单调递增”的( )
( 1) + 2 , ≥ 2,
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A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 > > 0，则下列不等式成立的是( )

A. √ > √ B. > C. 2 > D. 3 > 2

10.下列判断正确的有( )
5 1.4 5 2.1
A. ( ) > ( ) B. 20.3 < 20.5
7 7
C. 2 > √ 3 D. 0. 70.8 < 0. 70.7
11.已知函数 ( ) = 2(√ 2 + 1 ) + 3 ，则下列说法正确的是( )
A. (1) + ( 1) = 6
B. 函数 ( )的图象关于点(0,3)对称
C. 函数 ( )在定义域上单调递增
D. 若实数 ， 满足 ( ) + ( ) > 6，则 + < 0
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.设命题 : ∈ , 2 ≥ ，则命题 的否定为 ．
1 1
13.设函数 ( ) = 2 + (1 ) + 在区间[1, +∞)上是增函数，则实数 的最大值为 ．
2 6
14.已知函数 ( )是定义在 上的偶函数， ( 6) = 0.当 2 > 1 ≥ 0时，( 2 1)[ ( 2) ( 1)] > 0.则不等
( )
式 < 0的解集为 ．

四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
(1)解方程： 2[ 3(3 6)] = 1．
1 1 1 16 1
(2)求值：(2 )2 [( 3)2] 2 + 0.01 0.5 ( ) 4．
4 81
16.(本小题15分)
已知 > 0， > 0，且 + 2 = 4．
(1)求 的最大值；
(2)求 2 + 2 2的最小值．
17.(本小题15分)
已知指数函数 ( ) = (3 2 10 + 4) 在其定义域内单调递增．
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(1)求函数 ( )的解析式；
(2)设函数 ( ) = (2 ) 4 ( ) 3，当 ∈ [0,2]时．求函数 ( )的值域．
18.(本小题17分)
已知函数 ( ) = 1(6 ) 1(6 + )．
4 4
(1)判断函数 ( )的奇偶性；
(2)判断函数 ( )的单调性；
(3)若 (2 + 1) < (5 )，求实数 的取值范围．
19.(本小题17分)
2
已知幂函数 ( ) = ( + 1)2 4在(0, +∞)上单调递增，函数 ( ) = 2 + ．
(1)求 的值;
(2)当 ∈ [ 1,3)时，记 ( )， ( )的值域分别为集合 ， ，设 : ∈ ， : ∈ ，若 是
成立的必要条件，求实数 的取值范围;
(3)设 ( ) = ( ) + (1 )(1 + )，且 ( )在[0,2]上的最小值为 2，求实数 的值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 ∈ , 2 <
13.【答案】6
14.【答案】( ∞, 6) ∪ (0,6)
15.【答案】(1)由指数式与对数式的互化关系，得 3(3 6) = 2，则3 6 = 9，
解得 = 5，经检验，符合题意，
所以原方程的解为5．
9 1 1 2 1 3 3
(2)原式= ( )2 3 + (10 2) 2 [( )4] 4 = 3 + 10 = 7．
4 3 2 2
16.【答案】解：(1)因为 > 0, > 0，所以 + 2 = 4 ≥ 2√ 2 ，得 ≤ 2，
当且仅当 = 2 = 2时，等号成立，
所以 的最大值为2；
(2) 2 + 2 2 = (4 2 )2 + 2 2 = 6 2 16 + 16，
4 2 16
= 6 ( ) + ，
3 3
4 4 16
当 = ， = 时， 2 + 2 2取得最小值，为 ．
3 3 3
17.【答案】解：(1) ∵ ( )是指数函数，且在其定义域内单调递增，
∴ 3 2 10 + 4 = 1，
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1
解得 = 3或 = (舍)，∴ ( ) = 3 ;
3
(2) ( ) = 32 4 3 3 = (3 )2 4(3 ) 3，∵ ∈ [0,2]，
∴ 3 ∈ [1,9]，令 = 3 ， ∈ [1,9]，
∴ ( ) = 2 4 3， ∈ [1,9]，
∴ ( )min = (2) = 7，
( )max = (9) = 9
2 4 × 9 3 = 42，
∴ ( )的值域为[ 7,42]．
18.【答案】(1)
6 > 0
函数 ( ) = 1(6 ) 1(6 + )中，{ ，解得 6 < < 6，
4 4 6 + > 0
函数 ( )的定义域为( 6,6)， ( ) = 1(6 + ) 1(6 ) = ( )，
4 4
所以函数 ( )是奇函数．
(2)
6 12 12
函数 ( ) = 1( ) = 1( 1 + )，而函数 = 1 + 在( 6,6)上递减，
6+ 6+ 6+
4 4
函数 = 1 在(0, +∞)上递减，所以函数 ( )在( 6,6)上递增．
4
(3)
4
2 + 1 < 5 < 3 4
由已知及(2)得， (2 + 1) < (5 )，则{ 6 < 2 + 1 < 6，即{ 7 5 < < ，解得 1 < < ， 3
6 < 5 < 6 2 2
1 < < 11
4
所以实数 的取值范围是 1 < < ．
3
19.【答案】解(1)由幂函数的定义得( + 1)2 = 1 = 0或 = 2，
当 = 2时， ( ) = 2在(0, +∞)上单调递增，符合题意;
当 = 0时， ( ) = 4在(0, +∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去．
综上可知： = 2;
(2)由(1)得 ( ) = 2，
当 ∈ [ 1,3)时， ( ) ∈ [0,9)，即 = [0,9);
当 ∈ [ 1,3)时， ( ) ∈ [ 2 + , 6 + )，即 = [ 2 + , 6 + )，
2 + ≥ 0, ≥ 2,
由命题 是 成立的必要条件，则 ，显然 ≠ ，则{ 即{
6 + ≤ 9, ≤ 3,
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所以实数 的取值范围为2 ≤ ≤ 3;

(3)根据题意得 ( ) = 2 + 1 2， ( )的对称轴为 = ，
2

当 ≤ 0时，即 ≤ 0， ( )min = (0) = 1
2 = 2，得 = √ 3(舍)， = √ 3，
2
2 2
2√ 15 2√ 15
当0 < < 2时，即0 < < 4， ( ) 2min = ( ) = + 1 = 2，得 = ， = (舍)， 2 2 4 2 5 5

当 ≥ 2，即 ≥ 4时， ( ) 2min = (2) = 4 2 + 1 = 2，得 = 1 ± 2√ 2(舍) 2
2√ 15
综上所述， = √ 3或 ．
5
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