2025年中考数学复习--动点中的隐圆问题 课件(共57张PPT)

(共57张PPT)
中考数学复习--动点中的隐圆问题
在中考数学中，有一些高频考题，如线段的最值问题，动点路程问题，几乎每年各地都会有出现。在这些题目中的图形中往往没有出现“圆”，但在解题时却要用到“圆”的知识点，我们把这样类型的题目称之为“隐圆模型”。
----看不见的圆
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是BC边的中点，点P是AC边上一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ，连接CQ．则CQ的最小值是（　　）
A． B．1 C． D．
如图，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点P在线段OD上，连接AP并延长交CD于点E，过点P作PF⊥AP交BC于点F，连接AF、EF，AF交BD于G，现有以下结论：①AP＝PF；②DE+BF＝EF；③PB﹣PDBF；④S△AEF为定值；⑤S四边形PEFG＝S△APG．以上结论正确的有 　 　（填入正确的序号即可）．
主从联动
（瓜豆原理）
隐圆
（四点共圆）
图，直尺AB垂直竖立在水平面上，将一个含45°角的直角三角板CDE的斜边DE靠在直尺的一边AB上，使点E与点A重合，DE＝12cm．当点D沿DA方向滑动时，点E同时从点A出发沿射线AF方向滑动．当点D滑动到点A时，点C运动的路径长为 _______cm．
在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C．
（1）求a，b满足的关系式及c的值；
（2）当a时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求△ABP周长的最小值；
（3）当a1时，求QD的最大值。
点C在∠BAF的平分线上运动
将
军
饮
马
构
造
二
次
函
数
如图，∠ACB＝45°，半径为2的⊙O与角的两边相切，点P是⊙O上任意一点，过点P向角的两边作垂线，垂足分别为E，F，设t＝PEPF，则t的取值范围是 　 　．
如图1，已知线段AB，AC，线段AC绕点A在直线AB上方旋转，连接BC，以BC为边在BC上方作Rt△BDC，且∠DBC＝30°．
（1）略
（2）略
（3）如图3，若∠BCD＝90°，AB＝4，AC＝2，当AD的值最大时，求此时tan∠CBA的值．
胡
不
归
隐
圆
如图，在△ABC中，AB＝5，tan∠C＝2，则ACBC的最大值为 　 　．
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线F：y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，﹣1），与y轴交于点B（0，2）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在直线AB上方抛物线上有一动点C，连接OC交AB于点D，求的最大值及此时点C的坐标；
胡不归+定角定边
构造二次函数
模型背景
定
角
定
边
定
角
定
边
如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝4，点D，E分别在AC，BC边上运动，连结AE，BD交于点F，且始终满足ADCE，则下列结论：①；②∠DFE＝135°；③△ABF面积的最大值是44；④CF的最小值是22．其中正确的是（　　）
A．①③ B．①②④ 、
C．②③④ D．①②③④
如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．在正方形ABCD中，AB＝10．下列三个结论：①若tan∠ADF，则EF＝2；②若Rt△ABG的面积是正方形EFGH面积的3倍，则点F是AG的三等分点；③将△ABG绕点A逆时针旋转90°得到△ADG'，则BG′的最大值为55．其中正确的结论是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
阿氏圆
定角定高
如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点C．以下结论：①a+b+c＝0；②a+3b+2c＜0；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，c；④当c＝3时，在△AOC内有一动点P，若OP＝2，则CPAP的最小值为．其中正确结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
如图，正方形ABCD的边长为1，M、N是边BC、CD上的动点．若∠MAN＝45°，则MN的最小值为 　 　．
定点定长
定角定边
如图，在 ABCD中，∠C＝120°，AB＝8，BC＝10，E为边CD的中点，F为边AD上的一动点，将△DEF沿EF翻折得△D′EF，连接AD'，BD'，则△ABD′面积的最小值为 　　．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝3，线段CD绕点C在平面内旋转，过点B作AD的垂线，交射线AD于点E．若CD＝1，则AE的最大值为 　　，最小值为 　　．
最大张角
如图，已知两条平行线l1、l2，点A是l1上的定点，AB⊥l2于点B，点C、D分别是l1，l2上的动点，且满足AC＝BD，连接CD交线段AB于点E，BH⊥CD于点H，则当∠BAH最大时，sin∠BAH的值为 　　．
模型背景
三、顺应《课程标准》
《课标》课程理念要求：课程目标以学生发展为本，以核心素养为导向，进一步获得数学基础知识、基本技能、基本思想和基本经验（简称“四基”），发展运用数学知识与方法发现、提出、分析和解决问题的能力（简称“四能”），形成正确的情感、态度和价值观。
模型背景
三、顺应《课程标准》
课程目标要求：初中阶段，核心素养主要表现为：抽象能力、运算能力、几何直观、空间观念、推理能力、数据观念、模型观念、应用意识，创新意识。
模型背景
三、顺应《课程标准》
课程内容要求：第四学段（7-9年级）掌握（节选）
图形的性质
①掌握基本事实：两点之间线段最短；
②理解垂线段的概念；
③理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念。
模型背景
三、顺应《课程标准》
学业质量标准：第四学段（7-9年级）（节选）
知道运动过程的不变量、图形运动的变化特征，能运用几何图形的基本性质进行推理证明。
模型背景
三、顺应《课程标准》
学业水平考试：第四学段（7-9年级）（节选）
适当提高应用性、探究性和综合性试题比例，题目设置要注重创新真实情境，提出有意义的问题，实现核心素养导向的义务教育数学课程学业质量的全面考查。
有“圆” 千里来相会，无“圆” 对面不相识
寻找圆的“影子”， 使得“圆” 形毕露
常见的隐圆模型
模型1:定点定长型
动点P到定点0的距离为d保持不变，则点P的轨迹为以点0为圆心，d为半径的圆弧.
圆的定义:圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
o
P
d
模型1:定点定长型
若AB=AC=AD.则点B、C、D在以A为圆心，AB为半径的圆上。
1.几个点到某个定点距离相等可用圆(定点为圆心，相等距离为半径)
模型1:定点定长型
1.几个点到某个定点距离相等可用圆(定点为圆心，相等距离为半径)
例1.如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2 ∠ BDC， ∠ BAC=44°，则∠ CAD的度数为_____.
模型1:定点定长型
例2.在矩形ABCD中，已知AB=2cm，BC=3cm，现有一根长为2cm的木棒EF紧贴着矩形的边(即两个端点始终落在矩形的边上)，按逆时针方向滑动一周，则木棒EF的中点P在运动过程中所围成的图形的面积为多少？
2.动点到定点距离保持不变的可用圆
方法:先确定定点，定点为圆心，动点到定点的距离为半径。
A
B
D
C
E
F
P
S=2x3-πx
=6-π
A
B
D
C
E
F
P
模型1:定点定长型
2.动点到定点距离保持不变的可用圆
例3.如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E、F分别为AD、DC边上的点，
且EF=2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为____
分析:
PA+PG=PA'+PG≥A'G
A'G的最小值为
A'D-DG=5-1=4
A’
一箭穿心
模型1:定点定长型
3.过定点作折叠的可用圆(定点为圆心，对应点到定点的距离为半径)
例4.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN，连接A'C，则A'C长度的最小值是____
【分析】考虑△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN，可得MA'=MA=1，所以A'轨迹是以M点为圆心，MA为半径的圆弧，连接CM，与圆的交点即为所求的A'，此时A'C的值最小，构造直角△MHC，勾股定理求CM，再减去A'M即可.
模型1:定点定长型
3.过定点作折叠的可用圆(定点为圆心，对应点到定点的距离为半径)
例5.如图，在Rt △ABC中， ∠ C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并
且CF=2，点E为边BC上的动点，将△ CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处
则点P到边AB距离的最小值是 _____.
【分析】考虑到将△ FCE沿
EF翻折得到△ FPE，可得P点轨迹是以F点为圆心，FC为半径的圆弧:过F点作FH⊥AB,与圆的交点即为所求P点，此时点P到AB的距离最小，由相似或三角函数先求FH，再减去FP，即可得到PH.
一箭穿心+垂线段最短
模型1:定点定长型
例6.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P、Q分别是直线BC、AB上的两个动点，AE=2，△AEQ沿EQ翻折形成△ FEQ，连接PF、PD，则PF+PD的小值是_______.
【分析】F点轨迹是以E点为圆心，EA为半径的圆，作点D关于BC对称点D'，连接PD'，PF+PD化为PF+PD'.连接ED'，与圆的交点为所求F点，与BC交点为所求P点，勾股定理先求ED'再减去EF即可
D'
3.过定点作折叠的可用圆(定点为圆心，对应点到定点的距离为半径)
模型1:定点定长型
4.“瓜豆”里的隐圆(主从联动型，主动点轨迹为圆则从动点的轨迹也是圆)
例7.(泰安)如图，点A，B的坐标分别为A(2，0)，B(0，2)，点C为坐标平面内一点，BC=1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为( )
解析:
连接AB，取 AB的中点E，连接EM.易得EM 为△ABC的中位线，
EM=BC=1,OE=
OM 的最大值为 EM+OE= + .故选 B
主动点--定点定长型 从动点--定点定长型
E
(瓜豆)微课
A.C.2
模型1:定点定长型
方法二：作点A关于y轴的对称点
例7.(泰安)如图，点A，B的坐标分别为A(2，0)，B(0，2)，点C为坐标平面内一点，BC=1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为( )
A.C.2
模型1:定点定长型
4.“瓜豆”里的隐圆(主从联动型，主动点轨迹为圆则从动点的轨迹也是圆)
例8.如图，AB=4，0为AB的中点， ⊙0的半径为1，点P是⊙0上一动点，
以点P为直角顶点的等腰直角△PBC(点P，B，C按逆时针方向排列)，则线
段AC长的取值范围是 ____
O '
分析：连接O ‘C，连接OP，易得∠OBP=∠ O B‘C，所以 所以 O ‘C ，所以点C在以O ‘为圆心， 为半径的圆上运动，可求得A O ‘=2 ，因此AC的最大值为+ ，AC的最小值为 ，所以线段AC长的取值范围是 .
模型2:直角对直径
原理：圆O中，圆周角是90°所对的弦是直径。
固定线段AB所对动角∠C恒为90°，则A、B、C三点共圆，AB为直径。
A
B
C（动点）
A
B
C（动点）
模型2:直角对直径
例9.在正方形ABCD中，AD=2，E，F分别为边DC，CB上的点，且始终保持DE=CF，连接AE和DF交于点P，则线段CP的最小值为_____.
【解析】
如图，在△ADE和△ DCF中，AD=DC，
∠ADE=∠DCE,DE=DF
∴ △ ADE△ DCF(SAS)
∴∠DAE=∠CDF
∴∠DAE+∠AED=90°
∴∠CDF+∠AED=90°
∠APD=90 °保持不变
∴点 P的轨迹为以 AD为直径的一段弧上
取 AD 中点 2，连接 C，与该圆弧交点即为点 P,此时 CP值最小，在 Rt△CQD中，CQ=5，CP=CQ-PQ=
模型2:直角对直径
例10.如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形边长为2，则线段DH长度的最小值是____.
【分析】
根据条件可知:∠DAG=∠DCG=∠ABE
易证AG⊥BE，即∠AHB=90°,
所以H点轨迹是以AB为直径的圆弧
当D、H、0共线时，DH取到最小值
勾股定理可求，答案为-1
o
模型2:直角对直径
例11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=10，点D是AC上的一
个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值_____.
【分析】
连接 CE，由于 CD为直径，故∠CED=90°，考虑到 CD 是动线段，故可以将此题看成定线段 CB 对直角∠CEB.取 CB 中点 M，所以E点轨迹是以M为圆心、CB为直径的圆弧，连接AM，与圆弧交点即为所求 E点，此时E值最小，AE=AM-EM=2-2.
模型3:定边对定角
模型解读
定边对定角微课
P(动)
固定线段AB所对动角P为定值则点P运动轨迹为过A、B、C三点的圆
P(动)
原理:弦AB所对同侧圆周角恒相等备注:点P在优弧、劣弧上运动皆可
模型3:定边对定角
例12.如图，等边△ABC边长为2，E、F分别是BC、CA上两个动点，且BE=CF，连接AE、BF，交点为P点,则CP的最小值为________.
【分析】由BE=CF可推得三角形ABE≌三角形BCF，所以∠APF=60°但∠APF所对的边AF是变化的:所以考虑∠APB=120°，其对边AB是定值。所以如图所示，P点轨迹是以点O为圆心的圆弧。(构造OA=OB且∠AOB=120°)当0、P、C共线时，可得CP的最小值，利用Rt△OBC勾股定理求得OC，再减去OP即可.
O
模型3:定边对定角
例13.如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P从点P向半径0A引垂线PH交OA于点H，设△OPH的内心为I，当点P在弧AB上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为________.
C
分析：由内心的性质可得∠PIO=135°
连接AI，∵OI平分∠AOP，OP=OA
∴ △AIO△PIO，
∴ ∠AIO=∠PIO=135°
∵ OA为定边，∠AIO=135°为定角
∴ 点P在以OA为弦且圆心角为90°的圆弧上运动
记圆心为点C，易求得
由弧长公式可求得圆心I的运动路径长.
模型3:定边对定角
例14.如图，已知以AB为直径的圆O，C为弧AB的中点，P为弧BC上任意一点，CD垂直CP交AP于D，连接BD，若AB=6.则BD的最小值为_____.
分析:
连接 AC，易得∠P=45°，所以△CDP为等腰直角三角形，
∴∠ADC=135°为定角，AC为定边。
∴圆心角∠AGC=90 °
∵AB=6，∴AC=，∴AG=CG=3
∴BG= =
G
例14.如图，已知以AB为直径的圆O，C为弧AB的中点，P为弧BC上任意一点，CD垂直CP交AP于D，连接BD，若AB=6.则BD的最小值为_____.
“瓜豆”分析--构造“双子型(手拉手模型)”
连接0C,作CG⊥CO,且 CG=C0,连接 0G，OP,易证得COP≌CGD，∴GD=0P=3，为定值。
点D在以G为圆心3为半径的圆弧上。可求得 BG= =
G
方法二:定点定长型
模型4:定角夹定高
【题型背景】
在一些最值问题中，给定一个角，并且过定角的顶点作对边的垂线为定值时，也存在最值问题，面对这种问题我们借助“隐圆”进行说明:我们称这种问题为:“定角夹定高”模型也成“探照灯”模型。
主要解决:(1)线段最短问题:(2)面积最小问题。
[模型]
如右图所示，在△ABC中，∠BAC=为定值，AD为BC边上的高，且AD=h为定值，则底边BC存在最小值，△ABC面积存在最小值, △ABC周长存在最小值。
模型4:定角夹定高
【模型]如右图所示，在三角形ABC中，∠BAC=为定值，AD为BC边上的高且AD=h为定值，则底边BC存在最小值，△ABC面积存在最小值.
[解题突破点]
1.找出“隐圆”——三角形外接圆
2.定高过外心(半径+弦心距>定高)，即AB=AC（等腰三角形）
定角定高微课
模型4:定角夹定高
分析:当高经过外心时，BC最小，此时AB=AC,且∠A=60°，所以ABC为等边三角形，所以可得BC=6.
r
例15.如图在△ABC中，∠A=60°，BC边上的高为求BC的最小值。
∵
∴
∴
∴
模型4:定角夹定高
例16.如图,在四边形ABCD中,AB=AD=CD=4,ADBC,∠B=60°,点E、F分别为边BC、CD上的两个动点,且∠EAF=60°,则AEF的面积是否存在最小值 若存在,求出其最小值;若不存在,请说明理由。
F '
O
H
G
分析：如图，将△ADF绕点A顺时针旋转120°到△ABF′，则∠EAF′=60°
易证△AEF≌△AEF′ ，作△AE F′的外接圆⊙O，作OH⊥BC于点H，AG⊥BC于点G，
则∠F′OH＝60°，AG，
设⊙O的半径为r，则OH，
∵OA+OH,∴，∴，
∵∠FAE=∠F′AE=∠FOE＝60°
∴F′E=
∴S△AEF=S△AEF′EF′ AG，
∴△AEF面积的最小值是4．
模型4:定角夹定高
周长的最小值
某地举办了迎新年大型灯光秀表演．其中一个镭射灯距城墙30米，镭射灯发出的两根彩色光线夹角为60°，如图，若将两根光线（AB，AC）和光线与城墙的两交点的连接的线段（BC）看作一个三角形，记为△ABC，那么该三角形周长有没有最小值？若有，求出最小值，若没有，说明理由．
延长CB至点D，使BD=BA，连接AD，
延长BC至点E，使CE=AC，连接AE。
D
E
当点A、F、G、O四点共线时，半径r最小，r，故DE最小。
解题突破点：AB=AC时，周长最小。
O
F
G
模型4:定角夹定高
定角夹定中线
定角夹定角平分线
中线倍长 定边对定角
作双高 定角夹定高
突破点：AB=AC时,△ABC面积有最大值
突破点：AB=AC时,△ABC面积有最小值
模型5:四点共圆
四点共圆的基本图形
A
B
C
D
C
D
B
A
[对角互补型]
如图，∠A+∠C=180°或∠B+∠D=180°，
则A、B、C、D四点共圆。
[同侧等角型]
如图，∠A=∠C，则A、B、C、D四点共圆。
模型5:四点共圆
例17.如图，在正方形ABCD中，0为AC、BD的交点，△DCE为直角三角形∠CED=90°，∠DCE=30°，若 ，则正方形ABCD的面积为____.
F
分析：过点D作DF⊥OE于点F，设DF=x，则EF=x，OF=
∴
∴
∴
∴
模型5：四点共圆
o
例18.如图，等边△ABC中，AB=6，P为AB边上一动点，PD⊥BC，PE ⊥AC，则DE的最小值为____.
：∵ ∠PEC=∠PDC=90°，
∴ P、D、C、E四点共圆，且CP为直径，O为圆心
∴ ∠EOD=2∠ACB=120°，
∴ DE=要使DE最小，则⊙O的半径r最小，故直径PC最小。
当CP⊥AB时，
∴,，
∴.
模型5：四点共圆
2.手拉手(双子型)中的四点共圆
条件:△0CD∽△0AB
结论:
① △ 0AC ∽ △ 0BD:
②AC与BD交于点E，必有∠AEB=∠AOB;
③点E在△0AB的外接圆上.即O、A、B、E四点共圆. 同理:O、D、C、E也四点共圆.
模型5：四点共圆
2.手拉手(双子型)中的四点共圆
例19.如图①，在钝角△ABC中，∠ABC=30°，AC=4，点D为边AB中点，点E为边BC中点，将△ BDE绕点B逆时针方向旋转a度(0大于a小于180)；
(1)如图②，当0(2)如图③，直线CE、AD交于点G.在旋转过程中，∠AGC的大小是否发生变化
如变化，请说明理由;如不变，请求出这个角的度数;
(3)将△BDE从图①位置绕点B逆时针方向旋转180°，求点G的运动路程
模型5：四点共圆
例19.如图①，在钝角ABC中，∠ABC=30°，AC=4，点D为边AB中点，点E为边BC中点，将BDE绕点B逆时针方向旋转a度(0a≤180)
(1)如图②，当0(2)如图③，直线CE、AD交于点G.在旋转过程中，∠AGC的大小是否发生变化
如变化，请说明理由;如不变，请求出这个角的度数;
(3)将ΔBDE从图①位置绕点B逆时针方向旋转180°，求点G的运动路程.
H
K
的长
点G的运动路程是的长的两倍．
米勒(Johannes Miier 1436--1476)德国数学家，对三角做出了巨大贡献,是欧洲最有影响的数学家之一。米勒发表的《三角全书》，是使得三角学在欧洲取得独立地位的第一部系统性著作。
1471年，米勒提出了一个有趣的问题:在地球表面什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长 即在什么部位，视角最大 最大视角问题是数学史上100个著名的极值问题之一。
模型6：“米勒问题”之最大张角
米勒问题一般的描述是:
已知，点A、B是∠MON的OM边上的两个定点，C是ON边上的一个动点，当C在何处时，∠ACB最大
问题解决:
当且仅当△ABC的外接圆与边ON
相切于点C时，角ACB最大。
模型6：“米勒问题”之最大张角
最大张角微课
如何确定点C
问题解决:
1.C为切点。
2.∠OCB=∠OAC
3.=
模型6：“米勒问题”之最大张角
例20.如图，顶点为M的抛物线y=+bx+3与x轴交于A(-1.0)，B两点,与y轴交于点C,过点C作CD⊥y轴交抛物线与另一个点D，作DE ⊥ x轴，垂足为点E.双曲线y=(x>0)经过点D，连接MD，BD.
(1)求抛物线的解析式.
(2)动点P从点0出发,以每秒1个单位长度的速度沿 0C方向运动,运动时间为t秒,当t为何值时,∠BPD的度数最大 (请直接写出结果)
(1)A(-1，0)、C(0,3)、D(2，3)
y +2x+3
模型6：“米勒问题”之最大张角
例20.如图，顶点为M的抛物线y= y=+bx+3与x轴交于A(-1.0)，B两点,与y轴交于点C,过点C作CD⊥y铀交抛物线与另一个点D，作DE ⊥ x轴，垂足为点E.双曲线y= (x>0)经过点D，连接MD，BD.
(1)求抛物线的解析式.
(2)动点P从点0出发,以每秒1个单位长度的速度沿 0C方向运动,运动时间为t秒,当t为何值时,∠BPD的度数最大 (请直接写出结果)
思路1：找思路
G
P
模型6：“米勒问题”之最大张角
作△PBD的外接圆⊙G，使⊙G与y轴相切于点P,连接GP,GB,GD,
∵ P（0，t）,∴ 设G（r，t），由两点间的距离公式可得：
解得：= =(舍去)
∴∴时， ∠BPD的度数最大。
G
P
例20.如图，顶点为M的抛物线y= y=+bx+3与x轴交于A(-1.0)，B两点,与y轴交于点C,过点C作CD⊥y铀交抛物线与另一个点D，作DE ⊥ x轴，垂足为点E.双曲线y= (x>0)经过点D，连接MD，BD.
(2)动点P从点0出发,以每秒1个单位长度的速度沿 0C方向运动,运动时间为t秒,当t为何值时,∠BPD的度数最大 (请直接写出结果)
模型6：“米勒问题”之最大张角
H
思路2：切割线定理
作△PBD的外接圆⊙G与y轴相切于点P，延长BD交y轴于点H，
由B（3,0）、D(2.3)可求得直线BD为：
y=-3x+9
∴H（0,9），HD=2， HB=3，
由切割线定理可得：=60
∴
∴
常见的“隐圆”模型思维导图