湘教版（2024）七下1.2.1 平方差公式 同步探究学案

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1.2.1 平方差公式
学习目标与重难点
学习目标：
1．会推导平方差公式，理解平方差公式的结构特征。
2．能够运用平方差公式进行整式乘法的运算。
学习重点：弄清平方差公式的来源及其结构特点，能用自己的语言说明公式及其特点．
学习难点：准确理解和掌握公式的结构特征．
预习自测
一、单选题
1．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1所示），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2所示），根据图形的变化过程，写出的一个正确的等式是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列各式中不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
4．对于形如（a＋b）的多项式和形如（a－b）的多项式相乘，我们可以直接写出运算结果，即乘法的完全平方差公式：（a＋b）（a－b） ＝
两个数的 与这两个数的 的积，等于这两数的平方差．
教学过程
一、创设情境、导入新课
从前，有一个狡猾的地主，把一块边长为a米的正方形土地租给张老汉种植.第二年，他对张老汉说：“我把这块地的－边减少5米，相邻的另－边增加5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何 ”张老汉－听，觉得好像没有吃亏，就答应道：“好吧.”回到家中，他把这事和邻居们－讲，大家都说：“张老汉，你吃亏了!”他非常吃惊．你知道张老汉是否吃亏了吗
二、合作交流、新知探究
探究：平方差公式
思考：
计算下面多项式的积，你发现什么规律？
规律： 。
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说一说：
多项式x+y与x-y相乘，其积为多少？
(x+y)(x-y)= 。
由此可得到平方差公式
。
即多项式x+y与x-y的乘积，等于多项式 。
设a, b都是正数，且a>b.将平方差公式中的x用a代入，y用b代入，
可得
思考：
如何从几何角度说明平方差公式呢？
如图①，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，则剩余部分的面积为a -b .
将剩余部分沿虚线剪开后，拼成一个如图②所示的长方形，则这个长方形的长为(a+b)，宽为(a-b)，于是，面积为 。
由此可得 。
平方差公式：
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
例1：
计算：（1）(2x+1)(2x-1)；（2）(x+2y)(x-2y).
解：
例2：
运用平方差公式计算：
解：
例3：
运用平方差公式计算：(4a+b)(-b+4a).
例4：
计算：1 002×998
三、自主检测
1．运用乘法公式计算的结果是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，从边长为m的大正方形中剪掉一个边长为n的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开拼成右边的长方形，根据图形的变化过程，写出一个正确的等式是（ ）
A． B．
C． D．
3．乘法公式的探究与运用：
(1)如图①，边长为a的大长方形中有一个边长为b的小正方形，则阴影部分的面积是________；（写成两数平方差的形式）
(2)小颖将阴影部分裁下来，重新拼成一个长方形，如图②，则长方形的长是________，宽是________，面积是________；（写成多项式乘法的形式）
(3)比较图①、图②阴影部分的面积，可以得到恒等式：________；
(4)运用你得到的公式计算：；
(5)若，，则的值为________．
4．在下列（　　）里填上适当的项，使其符合的形式．
(1)；
(2)．
5．运用平方差公式计算：
(1)；
(2)
知识点总结
1.平方差公式：
(a+b)(a-b)= a2 -b2 .
两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差.
2.结构特点：
左边：a符号相同，b符号相反.
右边：符号相同项a的平方减去符号相反项b的平方.
3.公式变形：
(a – b ) ( a + b) = a2 – b2
(b + a )( –b + a ) = a2 – b2
答案
预习：
1．D
【分析】本题考查平方差公式的几何背景．用代数式分别表示图1中阴影部分以及图2的面积即可．
【详解】解：图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，
图2是长为，宽为的长方形，因此面积为，
所以有，
故选：D．
2．D
【分析】本题考查了平方差公式．运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
根据平方差公式对各选项分别进行判断．
【详解】解：A、不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
B、不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
C、不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
D、能用平方差公式计算，故本选项符合题意；
故选：D．
3．D
【分析】根据“式子是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数”进行判断即可．
【详解】解：A．＝（n+m）（n﹣m）＝n2﹣m2，不符合题意；
B．＝（﹣n﹣m）（﹣n+m）＝（﹣n）2﹣m2＝n2﹣m2，不符合题意；
C．＝m2﹣n2，不符合题意；
D．＝﹣（m+n）（m+n）＝﹣（m+n）2，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平方差公式，掌握运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
4． a2－ b2 和 差
自主：
1．A
【分析】本题主要考查了运用平方差公式进行计算，解题的关键是熟练掌握平方差公式，，根据平方差公式进行计算即可．
【详解】解：，
故选：A．
2．B
【分析】本题主要查了平方差公式的应用．根据题意可得左边图形阴影部分的面积为，右边图形阴影部分的面积为，即可求解．
【详解】解：左边图形阴影部分的面积为，右边图形阴影部分的面积为，
∴根据图形的变化过程，得到的等式是．
故选：B
3．(1)
(2)，，
(3)
(4)99.91
(5)5
【分析】本题考查背景了平方差公式的几何背景及其在简算中和代数式求值中的应用．
（1）由图形可知长和宽的值，再根据正方形面积公式可得答案；
（2）由图形可知长方形的长和宽，根据长方形面积公式可得答案；
（3）由（1）（2）结论直接得答案；
（4）应用（3）的公式可简算，从而得答案；
（5）根据（3）中公式可得，再将代入可得答案．
【详解】（1）解：阴影部分的面积大正方形的面积小正方形的面积，
故答案为：；
（2）解：长方形的长是，宽是，面积长宽，
故答案为：，，；
（3）解：∵图①、图②阴影部分的面积相等
，
故答案为：；
（4）解：
；
（5）解：，
故答案为：5．
4．(1)，
(2)，，，
【分析】本题考查了平方差公式、添括号法则，解题的关键是：
（1）根据平方差公式的特点，添括号法则求解即可；
（2）先变形，然后根据平方差公式的特点，添括号法则求解即可
【详解】（1）解：，
故答案为：，；
（2）解：，
故答案为：，，，．
5．(1)
(2)
【分析】本题考查的是平方差公式的灵活应用，熟记平方差公式是解本题的关键；
（1）逐步利用平方差公式计算即可；
（2）逐步利用平方差公式计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
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