湘教版（2024）七下1.2.2完全平方公式 同步探究学案

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1.2.2完全平方公式
学习目标与重难点
学习目标：
1．通过探索，理解完全平方公式．
2．经历完全平方公式的探索，对于满足完全平方公式特征的多项式的乘法能够利用该公式进行简便计算．
3．经历完全平方公式的探索，进一步发展推理能力、归纳能力．
学习重点：弄清完全平方公式的来源及其结构特点，用自己的语言说明公式及其特点．会用完全平方公式进行运算．
学习难点：会用完全平方公式进行运算．
预习自测
一、单选题
1．下列各式中，的展开式正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各式能用完全平方公式计算的是 （　　　）
A． B．
C． D．
3．如果二次三项式是一个完全平方式，则m的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．
二、填空题
4．完全平方公式的特征：
①两个公式的左边都是一个 的平方，两者仅有 个“符号”不同；
②右边都是 次 项式，其中两项为左边两数的平方和，另一项是左边两数积2倍，且与两数中间的符号相同；
③公式中的字母a，b可以表示数、单项式或多项式．
速记口诀：首平方，尾平方，积的2倍在中央，符号确定看前方．
教学过程
一、创设情境、导入新课
七年级2班的49名同学准备定制统一的T恤去春游，据了解，一件T恤的价格为49元，班长小亮正在计算总的费用时，小明立马给出答案，2401元。你知道小明为什么算这么快吗？
49×49=？
二、合作交流、新知探究
探究：完全平方公式
教材第17页
做一做：
计算：(x+y)
由多项式与多项式相乘的法则可得：
(x+y)
= .
= .
= .
于是得到了完全平方公式1：
即多项式x+y的平方等于x与y的平方和加上x与y的积的2倍。
若将完全平方公式1中的y用-y代替，则可得：
(x-y)
= .
= .
于是得到了完全平方公式2：
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
即多项式x-y的平方等于x与y的平方和减去x与y的积的2倍。
设a, b都是正数，将完全平方公式1中的x用a代入，y用b代入，
可得(a+ b)2= .
如何从几何角度说明完全平方公式呢？
如图，把一个边长为a+b的正方形分割成四部分，这四部分的面积分别为ab，b ，a ，ba.
于是(a+b)2= = 。
完全平方公式：
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
简记为：“首平方，尾平方，积的2倍放中间”
例5：
运用完全平方公式计算：
（1）(a+)2；（2）(3m+n)2；（3）(2x-3y)2.
做一做
填表：
说一说：
怎样计算( x )2 ？
例6：
计算：（1） 1042 （2） 1982
解：
三、自主检测
1．的计算结果是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列计算中：①；②；③；④；⑤；不正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（1）已知，，则的值为 ．
（2）已知，，则的值为 ．
4．已知正数a，b，c，满足，．
（1） ；
（2）图是三张叠放的正方形纸片，其边长分别为，，，若这三张正方形纸片的面积之和为S，则S的值为 ．
5．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
知识点总结
1.完全平方公式：
(a±b)2= a2 ±2ab+b2 .
简记为：“首平方，尾平方，积的2倍放中间”
2.公式特征：
（1）积为二次三项式；
（2）积中两项为两数的平方和；
（3）另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同.
（4）公式中的字母a，b可以表示数、单项式和多项式.
答案
预习：
1．D
【分析】本题考查了完全平方公式，熟记“”是解题关键．
【详解】解：
．
故选：D．
2．C
【分析】根据完全平方公式和平方差公式对各选项进行判断．
【详解】解：A.不能用完全平方公式计算，故本选项不符合题意；
B.能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
C.能用完全平方公式计算，故本选项符合题意；
D.能用平方差公式计算，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方公式：．完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
3．C
【分析】利用完全平方式的结构特征对照可得结果．
【详解】解：是一个完全平方式，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方式，掌握完全平方式的特点是解决问题的关键．
4． 二项式 一 二 三
自主：
1．D
【分析】本题考查多项式乘多项式，将原式转化为，然后利用平方差公式展开，再利用完全平方公式进行运算即可．掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
【详解】解：
．
故选：D．
2．C
【分析】此题考查了整式的乘法运算和乘法公式，根据运算法则和乘法公式进行计算后即可得到结论.
【详解】解：①；故选项不正确；
②；故选项不正确；
③；故选项不正确；
④；故选项不正确；
⑤；故选项正确；
则不正确的个数有4个，
故选：C
3．
【分析】本题考查乘法公式中的完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键．
（1）利用完全平方公式把代数式变形，整体代入求值；
（2）把代数式变形，整体代入求值．
【详解】解：（1），，
，
，
，
，
；
故答案为：．
（2），，
，
即，
，
，
，
，
，
；
故答案为：．
4．
【分析】（1）由等式，得出比大，比大，由此得出比大；
（2）根据，得出，，将其代入，得出，通过计算三张正方形纸片的面积之和，化简后得出，用整体代入法把代入，即可得出的值．
【详解】解：（1），
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）由（1）可知：，，
把，代入，得：
，
即：，
整理，得：，
这三张正方形纸片的面积之和为：
，
把代入，得：
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等式的性质，整式的加减运算，去括号，整式的混合运算，合并同类项，列代数式，完全平方公式，代数式求值等知识点，读懂题意，正确列式计算是解题的关键．
5．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了乘法公式，掌握平方差公式、完全平方公式是解题的关键．
（1）利用完全平方公式计算即可；
（2）利用完全平方公式计算即可；
（3）利用平方差公式、完全平方公式计算即可；
（4）利用平方差公式、完全平方公式计算即可．
【详解】（1）解：
；．
（2）
；
（3）
；
（4）
．
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