湘教版（2024）七下1.2.3运用乘法公式进行计算和推理 同步探究学案

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1.2.3运用乘法公式进行计算和推理
学习目标与重难点
学习目标：
1.能灵活运用平方差公式与完全平方公式解决稍复杂的整式乘法问题.
2.会用平方差公式和完全平方公式解决现实生活中的问题.
学习重点：灵活运用平方差公式与完全平方公式.
学习难点：公式变形过程中添括号、变符号等问题.
预习自测
一、单选题
1．计算的结果是（　　）
A． B．1 C．2021 D．
2．的计算结果为（ ）
A． B．
C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
4．＝
＝
教学过程
一、复习回顾
1.平方差公式：
2.完全平方公式：
二、合作交流、新知探究
探究：乘法公式
教材第20页
做一做：
运用乘法公式计算：(x+1)(x2+1)(x-1)
由于多项式的乘法满足交换律和结合律，结合平方差公式，可得
(x+1)(x2+1)(x-1)
= .
= .
= .
上面的计算运用了乘法交换律，两次运用了平方差公式；公式的应用使计算更简便.
例7：
运用乘法公式计算：
（1）(a+b+c) ；（2）(a-b+c)(a+b-c).
解：
例8：
运用乘法公式计算：
（1）(a+b) +(a-b) （2）(a+b) -(a-b)
解：
例题中（2）还有其他解法吗？
例9：
运用乘法公式计算：(x+y)3
解：
思考：
先填空：（1）152=100×1× +25
(2)252=100×2× +25
(3)352=100× × + .
由此猜想，设十位数字是a ，个位数字是5，则这个两位数可以表示为 ，它的平方可表示为 100× × + .
由完全平方公式1得 （10a+5）2 =（10a） 2 +2 10a 5+52=100a2 +100a+25.
又 100a（a+1）+25=100a2 +100a+25，
于是 （10a+5）2 =100a（a+1）+25.
因此，十位数字是a 、 个位数字是5的两位数的平方，等于其十位数字a与a+1 的积的100倍，再加上25的和.
例如， 852 =100×8×9+25=7 225
自主检测
1．下列计算中① ② ③
④ ⑤ 其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．已知实数x，y，z满足，，则 ．
3．我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了 的展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序）．
1
11
121
1331
14641…
根据上述规律，展开式中含项的系数为 ．
4．计算：
（1） ； ； ；
（2） ； ；
（3） ； ； ；
（4） ； ；
（5） ； ；
（6） ； ．
5．先仔细阅读下列例题，再解答问题．
已知，求和的值．
解：把等式左边变形，得，
即．
因为，
所以，即．
仿照以上解法，解答下列问题：
(1)无论取何值，多项式的值总是______；
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
(2)已知的三边长分别为，且，则为　　　　三角形？
(3)已知，求和的值．
知识点总结
1.平方差公式:
(a+b)(a-b)= a2 -b2 .
两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差.
2.完全平方公式:
(a±b)2= a2 ±2ab+b2 .
两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.
遇到多项式的乘法时，我们要先观察式子的特征，看能否运用乘法公式，以达到简化运算的目的.
答案
预习：
1．A
【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
【详解】解：
．
故选：A ．
2．B
【分析】此题考查了平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式的运算法则．
【详解】解：，
故选：B．
3．D
【分析】本题考查整式的乘法-公式法，关键是熟练平方差公式和完全平方公式，再对各项逐一进行检验，具体见详解．
【详解】A．，此项错误；
B．，此项错误；
C．，此项错误；
D．，此项正确．
故选：D．
4．
自主：
1．A
【分析】根据合并同类项法则、幂的乘方、完全平方公式、同底数幂相乘、平方差公式依次进行计算即可得解．
本题主要考查了整式的运算，熟练掌掌握各种运算法则是解题的关键．
【详解】解：，故①正确；
，故②错误；
，故③错误；
，故④错误；
，故⑤错误；
综上，正确的有1个．
故选：A．
2．6
【分析】本题主要考查了整式得混合运算及完全平方公式，求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键，由，，得，从而，根据偶次方的非负性得，，，代入即可得解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
3．
【分析】本题考查整式的混合运算、杨辉三角等知识，首先确定是展开式中第三项，先求出的第三项的系数，再把，代入计算即可．
【详解】解：∵是展开式中第三项，
且第三项系数为1，字母为，
第三项系数为，字母为，
第三项系数为，字母为，
∴第三项系数为，字母为，
当，时第三项系数为，字母为，
即展开式中含项为，
故答案为：．
4．
【分析】利用同底数幂的乘除法，积的乘方，幂的乘方，单项式乘以多项式，平方差公式，完全平方公式化简计算即可．
【详解】解：（1）；；；
（2）；；
（3）；；；
（4）；；
（5）；；
（6）；．
故答案为：；；；；；；；；；；；；；．
【点睛】本题考查了幂的运算，完全平方公式，平方差公式，单项式乘以多项式，熟练掌握知识点是解题的关键．
5．(1)A
(2)等腰
(3)
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，平方的非负性，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）将式子利用完全平方公式变形，再根据平方的非负性得出结果即可；
（2）将式子利用完全平方公式变形，再根据平方和算术平方根的非负性求出a、b、c的值，再利用勾股定理的逆定理进行证明即可；
（3）将式子利用完全平方公式变形，再根据平方的非负性求解即可．
【详解】（1）解：∵
，
又∵，，
∴，
∴值总是正数，
故选：A；
（2）解：∵，
，
即，
，
，
，
是等腰三角形；
故答案为：等腰；
（3）解：，
，
即，
，
解得：．
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