2.2 基本不等式 教学设计（表格式）

基本不等式 教学设计
课型 新授课
教学内容分析
从代数运算、几何意义等角度认识基本不等式， 证明基本不等式。
学习目标
1.掌握重要不等式及基本不等式的形式及其成立的条件，了解基本不等式的证明过程及几何解释。 2.在经历观察，分析，猜想，论证的过程中，探索基本不等式；在利用图形感知基本不等式的过程中，感受到数形结合等数学思想方法；在经历不等式的证明过程中，体会分析法的证明思路。 3.在利用赵爽弦图引出不等式的过程中，感受数学的文化价值，增强爱国热情；在探索基本不等式几何意义的过程中，体会数形结合的思想。
学习重、难点
学习重点： 正确把握基本不等式的结构特征以及从不同的角度探索基本不等式的证明过程。 学习难点： 从不同的角度探索基本不等式的证明。
学习评价设计
1、能否提炼、描述重要不等式，运用不等式性质证明重要不等式； 2、能否运用文字语言描述基本不等式； 3、能否从“数”、“形”两个角度解释基本不等式，即运用不等式性质证明基本不等式，并用几何图形解释基本不等式。
学习活动设计
环节一：创设情境
【探究一】如右图所示，同学们，这是北京召开的第 24 届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客. 弦图是由四个全等的直角三角形以及中间的小正方形构成的一个大正方形. (师)问题1：设每个直角三角形两条直角边的长分别为，那么大正方形的边长为多少？面积为多少呢？ (生)边长：； 面积: (师)问题2：4 个直角三角形的面积之和为多少呢？ (生) (师)问题3：根据图形，大正方形的面积与4 个直角三角形的面积和之间存在怎样的大小关系？我们可得到一个怎样的不等式呢？ (生) (师)问题4：大正方形的面积与4个小直角三角形的面积之和能否相等？如果能，什么情况下它们会相等？ (生)当直角三角形变成等腰直角三角形，即时，正方形 EFGH 变成一个点，这时有，那么。
环节二：新课讲授
（1）认识重要不等式 (师)问题5：证明不等式，当且仅当时，等号成立.（老师与学生共同完成） (生)证明（作差法）：， 当时， 当时， （当时等号成立） 注意强调：当且仅当时，. （设计意图：这里主要介绍一个重要的不等式，从赵爽弦图引入，让学生感受到中国数学辉煌历史的同时，也蕴含着数形结合的思想.另一方面，该不等式的证明方法，为后面基本不等式的学习做铺垫.） 重要不等式：一般地，对于任意实数，我们有，当且仅当时，等号成立。 注：在引入重要不等式时，是作为直角三角形的边长引入的，此时隐含着的条件，教师要引导学生将重要不等式成立的条件推广到任意实数。 （2）学习基本不等式 【探究二】先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠）．假设两个正方形的面积分别为和（），考察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发现一个不等式吗？ (生)通过学生动手操作，探索发现： (师)问题6：我们刚刚得到的不等式与重要不等式有什么关系呢？ (生)用、分别代替重要不等式中的，则有 ， 当且仅当，即时，等号成立. （设计意图：通过重要不等式导出基本不等式，思路清晰连贯，便于学生理解，同时，取等条件的推导过程对学生掌握基本不等式的取等有很大的帮助.） (师)问题7：同学们，我们可以用哪些证明方法来证明上述不等式？（小组讨论） (生)作差法、作商法 分析法：要证 ① 只要证 ② 要证②，只要证 ③ 要证③，只要证 ④ 显然，④是成立的，当且仅当时，④的等号成立。 综合法： 即 （设计意图：通过多种方法证明基本不等式，加深学生对基本不等式的理解，同时巩固证明不等式的几种方法.） 基本不等式：当，时，有，当且仅当时，等号成立. 我们常把叫做正数的算术平均数，把叫做正数的几何平均数. （3）理解基本不等式 文字叙述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数（板书）. 数列观点：两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项.（板书） 在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=，BC=。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD，则 CD= ， 半径R= 。 (师)问题8：如果我们把CD称为DE的半弦，你们能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？ (生)几何解释：在一个圆中，半径不小于半弦（板书） （设计意图：进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性） （4）理解基本不等式的常用变形式： ，
环节三：归纳小结
1、重要不等式：若，则（当且仅当时，等号成立）； 2、基本不等式：若，则（当且仅当时，等号成立）； 3、基本不等式的代数证明、几何解释（数形结合思想）。