湖南省长沙市雅礼中学2024-2025学年高三上学期入学考试数学试题
1．（2024高三上·长沙开学考）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三上·长沙开学考）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高三上·长沙开学考）若正数x，y满足则的最小值是（ ）
A． B． C．4 D．6
4．（2024高三上·长沙开学考）过椭圆的中心作直线交椭圆于两点，是的一个焦点，则周长的最小值为（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
5．（2024高三上·长沙开学考）已知圆的方程为，则“”是“函数的图象与圆有四个公共点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2024高三上·长沙开学考）如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．记格子从左到右的编号分别为，用表示小球最后落入格子的号码，若，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．（2024高三上·长沙开学考）以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数为（ ）
A．70 B．64 C．60 D．58
8．（2024高三上·长沙开学考）已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高三上·长沙开学考）已知复数，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．
C． D．
10．（2024高三上·长沙开学考）已知函数（，），函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．的表达式可以写成
B．的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数
C．的对称中心（，1），
D．若方程在（0，m）上有且只有6个根，则
11．（2024高三上·长沙开学考）如图，过点的直线交抛物线于A，B两点，连接、，并延长，分别交直线于M，N两点，则下列结论中一定成立的有（ ）
A．
B．以为直径的圆与直线相切
C．
D．
12．（2024高三上·长沙开学考）已知随机变量服从正态分布，若，则 .
13．（2024高三上·长沙开学考）已知向量，，若，则的值为 .
14．（2024高三上·长沙开学考）设，若存在正实数x，使得不等式成立，则k的最大值为 ．
15．（2024高三上·长沙开学考）平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四边形的顶点在同一平面上，已知．
（1）当长度变化时，是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说明理由．
（2）记与的面积分别为和，请求出的最大值．
16．（2024高三上·长沙开学考）函数的图象在处的切线为.
（1）求的值；
（2）求在上零点的个数.
17．（2024高三上·长沙开学考）如图，四面体中，，E为的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．
18．（2024高三上·长沙开学考）已知双曲线：的渐近线方程为，过点的直线交双曲线于，两点，且当轴时，.
（1）求的方程；
（2）记双曲线的左右顶点分别为，，直线，的斜率分别为，，求的值.
（3）探究圆：上是否存在点，使得过作双曲线的两条切线，互相垂直.
19．（2024高三上·长沙开学考）对于数列，如果存在等差数列和等比数列，使得，则称数列是“优分解”的.
（1）证明：如果是等差数列，则是“优分解”的.
（2）记，证明：如果数列是“优分解”的，则或数列是等比数列.
（3）设数列的前项和为，如果和都是“优分解”的，并且，求的通项公式.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】根据题意，，
所以.
故答案为：C.
【分析】
先确定集合，再根据交集定义求.
2．【答案】B
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设圆锥母线长为，高为，底面半径为，
则由，得，所以，
所以．
故选：B．
【分析】由侧面展开图求得母线长后，进而求得圆锥的高，结合圆锥的体积公式计算，即可求解．
3．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由题设及，可得.
所以，
当且仅当，即时，等号成立，此时符合题意.
所以的最小值为4.
故答案为：C.
【分析】
根据已知条件及基本不等式即可求解.
4．【答案】B
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】设的另一个焦点为，根据椭圆的对称性知，
所以的周长为，
当线段为椭圆短轴时，有最小值6，所以的周长的最小值为14.
故答案为：B
【分析】
利用椭圆的定义和对称性，转化的周长，即可求解.
5．【答案】B
【知识点】函数的图象与图象变化；分段函数的解析式求法及其图象的作法；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：由圆的方程为可得圆心，半径，
若函数的图象与圆有四个公共点，则原点在圆的外部，
即，解得，
若圆与函数相交，则有2个公共点，圆心到直线的距离，即，
同理可得圆与函数相交，也有2个公共点，即，
综上函数的图象与圆有四个公共点则，
所以“”是“函数的图象与圆有四个公共点”的必要不充分条件，
故答案为：B
【分析】由函数的图象与圆有四个公共点，可知原点在圆的外部，且圆与函数、相交，据此结合充分条件、必要条件概念判断即可.
6．【答案】B
【知识点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；二项分布
【解析】【解答】每下落一层向左或向右落下等可能，概率均为，
每一层均要乘以，共做10次选择，
故服从二项分布，，
又，
令最大，
则，
即，
解得，又因为，所以，
所以，
，且．
故答案为：B．
【分析】
由题意，服从二项分布，，代入公式可得结果．
7．【答案】D
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】由题意知：要使正方体的顶点为顶点构成三棱锥，则4个顶点不共面，
①8个顶点任选4个，有 种，
②8个顶点任选4个，共面的有12种，
∴以正方体的顶点为顶点的三棱锥有 个.
故答案为：D
【分析】根据题意由排列组合以及计数原理，结合已知条件计算出结果即可。
8．【答案】D
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】依题意令，则，
因为在上恒成立，
所以在上恒成立，
故在上单调递减，
所以，，故A不正确；
所以，即，即，故B不正确；
又，即，即，故C错误；
因为，即，即，故D正确；
故答案为：D.
【分析】
构造函数，由得，进而通过导数判断函数的单调性，判断各选项不等式.是否成立.
9．【答案】B,C,D
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模；复数运算的几何意义
【解析】【解答】对于A，设，显然，
但，故A错；
对于B，设，
则，
，
，
所以，故B对；
对于CD，根据复数的几何意义可知，复数在复平面内对应向量，
复数对应向量，复数加减法对应向量加减法，
故和分别为和为邻边构成平行四边形的两条对角线的长度，
所以，，故C对，D对.
故答案为：B、C、D.
【分析】
举出反例即可判断A错误；根据复数的乘法运算及复数的模的公式即可判断B正确；
根据复数加减法的几何意义及坐标表示即可判断C、D正确.
10．【答案】A,B
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数的零点与方程根的关系；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】对A，由图分析可知：得；
由，得，即，
又，所以，又，
所以，即得，，又，所以，
所以，故A正确；
对B，向右平移个单位后得
，为奇函数，故B正确；
对于C，，
令（）得（），
所以对称中心（，1），，故C不正确；
对于D，由，得，
因为，所以，
令，，，，，，解得，，，，，．
又在（0，m）上有6个根，则根从小到大为，，，，，，
再令，解得，则第7个根为，，故D错误．
故答案为：A、B．
【分析】
对于A，可以由两个特值；得到和，判断A正确；
对于B，求出平移后的函数解析式，结合正弦函数性质，判断B正确；
对于C，结合正弦型函数的性质求对称中心，判断C错误；
对于D，结合图象列不等式，解不等式，判断D错误．
11．【答案】A,C,D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：对于A，设直线，
联立，消可得，
则，，
，
则，
故，
同理，故A正确；
对于C，设与轴交于，，
则，，故C正确；
对于D，，
则
，
又因为，
所以，
故D正确；
对于B，中点，即
则到直线的距离，
以为直径的圆的半径，
所以，
当时相切，当时不相切，故B错误.
故答案为：ACD.
【分析】设直线，联立直线与抛物线方程结合判别式法和韦达定理以及代入法，从而由两点求斜率公式得出直线OA的斜率，再利用斜截式方程得出直线OA的方程，再根据代入法得出点M的坐标，则由两点求斜率公式得出直线BM的斜率和直线AN的斜率，再利用两直线平行斜率相等，则判断出选项A；设直线与轴交于，，再根据三角形面积的关系式，则判断出选项C；利用三角形面积公式得出，再利用和三角形的面积公式得出，则判断出选项D；利用中点坐标公式和韦达定理得出点再利用点到直线的距离公式得出点到直线的距离为，再根据弦长公式和直径与半径的关系，得出以为直径的圆的半径，从而得出，则得出当时相切和当时不相切，从而判断出选项B，进而找出结论一定成立的选项.
12．【答案】0.23
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】随机变量服从正态分布，则
又，则，则.
故答案为： 0.23.
【分析】
根据正态分布的概率性质求解即可.
13．【答案】
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】已知向量，，若，则有，
∴.
故答案为：.
【分析】
根据题目条件可得，代入化简即可.
14．【答案】
【知识点】指数式与对数式的互化；导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】不等式，所以，
即为，即有，可令，则成立，
由和互为反函数，可得图象关于直线对称，
可得有解，则，即，
令，则，
当时，，则函数在上递减，
当时，，则函数在上递增，
所以当时，取得最大值，
所以有，所以，可得，即k的最大值为．
故答案为：
【分析】
由题意可得，可令，则成立，由和互为反函数，可得图象关于直线对称，可得有解，通过取对数和构造函数法，求得导数，单调性和最值，即可得到k的最大值．
15．【答案】（1）法一：在中，由余弦定理，
得，即①，
同理，在中，，
即②，
①②得，
所以当长度变化时，为定值，定值为1；
法二：在中，由余弦定理
得，即，
同理，在中，，
所以，
化简得，即，
所以当长度变化时，为定值，定值为1；
（2）
，
令，
所以，
所以，即时，
有最大值为14．
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）法一：在中由余弦定理得，在中由余弦定理得，两式相减可得答案；法二：在中由余弦定理得
，在中由余弦定理得，两式相减可得答案；
（2）由面积公式可得，令转化为二次函数配方求最值即可．
（1）法一：在中，由余弦定理，
得，即①，
同理，在中，，
即②，
①②得，
所以当长度变化时，为定值，定值为1；
法二：在中，由余弦定理
得，即，
同理，在中，，
所以，
化简得，即，
所以当长度变化时，为定值，定值为1；
（2）
，
令，
所以，
所以，即时，
有最大值为14．
16．【答案】（1）解：因为，
所以，所以切线斜率为，即，
所切线方程为
又，所以切点坐标为，代入得
则，解得.
（2）解：由（1）得，
令，则，
当时，恒成立，所以在上递增，
所以，
因此在无零点；
当时，恒成立，所以单调递增，
又，
所以在上存在唯一的零点，
当单调递减；
当单调递增；
又，，
因此在上仅有1个零点；
综上，在上仅有1个零点.
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义，求得切线的斜率，和切点，然后得到切线方程，利用对应相等，即可求得的值；
（2）利用一次求导和二次求导分析原函数和导函数的单调性，分与两种情况讨论，结合单调性和零点存在性定理，即得证.
（1）因为，
所以，所以切线斜率为，即，
所切线方程为
又，所以切点坐标为，代入得
则，解得.
（2）由（1）得，
令，则，
当时，恒成立，所以在上递增，
所以，
因此在无零点；
当时，恒成立，所以单调递增，
又，
所以在上存在唯一的零点，
当单调递减；
当单调递增；
又，，
因此在上仅有1个零点；
综上，在上仅有1个零点.
17．【答案】（1）证明：因为，E为的中点，所以；
在和中，因为，
所以，所以，又因为E为的中点，所以；
又因为平面，，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）解：连接，由（1）知，平面，因为平面，
所以，所以，
当时，最小，即的面积最小.
因为，所以，
又因为，所以是等边三角形，
因为E为的中点，所以，，
因为，所以，
在中，，所以.
以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，所以，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
又因为，所以，
所以，
设与平面所成的角为，
所以，
所以与平面所成的角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）根据已知关系证明，得到，结合等腰三角形三线合一得到垂直关系，结合面面垂直的判定定理即可证明；
（2）根据勾股定理逆用得到，从而建立空间直角坐标系，结合线面角的运算法则进行计算即可.
（1）因为，E为的中点，所以；
在和中，因为，
所以，所以，又因为E为的中点，所以；
又因为平面，，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）连接，由（1）知，平面，因为平面，
所以，所以，
当时，最小，即的面积最小.
因为，所以，
又因为，所以是等边三角形，
因为E为的中点，所以，，
因为，所以，
在中，，所以.
以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，所以，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
又因为，所以，
所以，
设与平面所成的角为，
所以，
所以与平面所成的角的正弦值为.
18．【答案】（1）解：由对称性知，双曲线过点，则，解得，
所以双曲线的方程为.
（2）由（1）得，设，
显然直线不垂直于y轴，设直线的方程为，
由消去x得，
显然，，
则，即，
所以.
（3）解：圆上存在点，使得过作双曲线的两条切线互相垂直.
若双曲线的两条切线有交点，则两条切线的斜率存在且不为0，
设双曲线的两条切线分别为，
将代入消去得：，
由得，解得，
因此，设两条切线的交点坐标为，
则，即有，且，
即，
于是是方程的两根，
而，则，即，从而两条切线们交点的轨迹为圆，
而的圆心为，半径为1，圆的圆心，半径为3，
显然，满足，即圆与圆相交，
所以圆上存在点，使得过作双曲线的两条切线互相垂直.
【知识点】用斜率判定两直线垂直；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出即可得的方程.
（2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理，结合斜率坐标公式求解即得.
（3）设出双曲线的两条切线方程，与双曲线方程联立，结合判别式求出两条切线交点的轨迹方程，再判断与圆的位置关系即可得解.
（1）由对称性知，双曲线过点，则，解得，
所以双曲线的方程为.
（2）由（1）得，设，
显然直线不垂直于y轴，设直线的方程为，
由消去x得，
显然，，
则，即，
所以.
（3）圆上存在点，使得过作双曲线的两条切线互相垂直.
若双曲线的两条切线有交点，则两条切线的斜率存在且不为0，
设双曲线的两条切线分别为，
将代入消去得：，
由得，解得，
因此，设两条切线的交点坐标为，
则，即有，且，
即，
于是是方程的两根，
而，则，即，从而两条切线们交点的轨迹为圆，
而的圆心为，半径为1，圆的圆心，半径为3，
显然，满足，即圆与圆相交，
所以圆上存在点，使得过作双曲线的两条切线互相垂直.
19．【答案】（1）证明：因为数列是等差数列，所以设，令，
则是等差数列，是等比数列，所以数列是“优分解”的.
（2）解：因为数列是“优分解”的，设，
其中，
则，
当时，；
当时，是首项为，公比为的等比数列.
（3）解：一方面，因为数列是“优分解”的，设，
其中，由（2）知
因为，所以.
所以，所以是首项为2，公比为的等比数列，
另一方面，因为是“优分解”的，设，
其中，
因为是首项为2，公比为的等比数列，
所以，且，
所以
化简得，
即数列是首项，公比为的等比数列，
又因为，所以，
又，所以，因为，所以，
综上所述，.
【知识点】等差数列概念与表示；等比数列概念与表示；等比数列的性质；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）由数列是等差数列，可得，
令，根据等差、等比数列的定义即可证明；
（2）设，可得，分、证明即可；
（3）设，可得是首项为2，公比为的等比数列，
设，可得，可得，可得数列是首项，公比为的等比数列，即可求数列的通项公式．
1 / 1湖南省长沙市雅礼中学2024-2025学年高三上学期入学考试数学试题
1．（2024高三上·长沙开学考）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】根据题意，，
所以.
故答案为：C.
【分析】
先确定集合，再根据交集定义求.
2．（2024高三上·长沙开学考）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设圆锥母线长为，高为，底面半径为，
则由，得，所以，
所以．
故选：B．
【分析】由侧面展开图求得母线长后，进而求得圆锥的高，结合圆锥的体积公式计算，即可求解．
3．（2024高三上·长沙开学考）若正数x，y满足则的最小值是（ ）
A． B． C．4 D．6
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由题设及，可得.
所以，
当且仅当，即时，等号成立，此时符合题意.
所以的最小值为4.
故答案为：C.
【分析】
根据已知条件及基本不等式即可求解.
4．（2024高三上·长沙开学考）过椭圆的中心作直线交椭圆于两点，是的一个焦点，则周长的最小值为（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
【答案】B
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】设的另一个焦点为，根据椭圆的对称性知，
所以的周长为，
当线段为椭圆短轴时，有最小值6，所以的周长的最小值为14.
故答案为：B
【分析】
利用椭圆的定义和对称性，转化的周长，即可求解.
5．（2024高三上·长沙开学考）已知圆的方程为，则“”是“函数的图象与圆有四个公共点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】函数的图象与图象变化；分段函数的解析式求法及其图象的作法；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：由圆的方程为可得圆心，半径，
若函数的图象与圆有四个公共点，则原点在圆的外部，
即，解得，
若圆与函数相交，则有2个公共点，圆心到直线的距离，即，
同理可得圆与函数相交，也有2个公共点，即，
综上函数的图象与圆有四个公共点则，
所以“”是“函数的图象与圆有四个公共点”的必要不充分条件，
故答案为：B
【分析】由函数的图象与圆有四个公共点，可知原点在圆的外部，且圆与函数、相交，据此结合充分条件、必要条件概念判断即可.
6．（2024高三上·长沙开学考）如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．记格子从左到右的编号分别为，用表示小球最后落入格子的号码，若，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【知识点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；二项分布
【解析】【解答】每下落一层向左或向右落下等可能，概率均为，
每一层均要乘以，共做10次选择，
故服从二项分布，，
又，
令最大，
则，
即，
解得，又因为，所以，
所以，
，且．
故答案为：B．
【分析】
由题意，服从二项分布，，代入公式可得结果．
7．（2024高三上·长沙开学考）以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数为（ ）
A．70 B．64 C．60 D．58
【答案】D
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】由题意知：要使正方体的顶点为顶点构成三棱锥，则4个顶点不共面，
①8个顶点任选4个，有 种，
②8个顶点任选4个，共面的有12种，
∴以正方体的顶点为顶点的三棱锥有 个.
故答案为：D
【分析】根据题意由排列组合以及计数原理，结合已知条件计算出结果即可。
8．（2024高三上·长沙开学考）已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】依题意令，则，
因为在上恒成立，
所以在上恒成立，
故在上单调递减，
所以，，故A不正确；
所以，即，即，故B不正确；
又，即，即，故C错误；
因为，即，即，故D正确；
故答案为：D.
【分析】
构造函数，由得，进而通过导数判断函数的单调性，判断各选项不等式.是否成立.
9．（2024高三上·长沙开学考）已知复数，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．
C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模；复数运算的几何意义
【解析】【解答】对于A，设，显然，
但，故A错；
对于B，设，
则，
，
，
所以，故B对；
对于CD，根据复数的几何意义可知，复数在复平面内对应向量，
复数对应向量，复数加减法对应向量加减法，
故和分别为和为邻边构成平行四边形的两条对角线的长度，
所以，，故C对，D对.
故答案为：B、C、D.
【分析】
举出反例即可判断A错误；根据复数的乘法运算及复数的模的公式即可判断B正确；
根据复数加减法的几何意义及坐标表示即可判断C、D正确.
10．（2024高三上·长沙开学考）已知函数（，），函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．的表达式可以写成
B．的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数
C．的对称中心（，1），
D．若方程在（0，m）上有且只有6个根，则
【答案】A,B
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数的零点与方程根的关系；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】对A，由图分析可知：得；
由，得，即，
又，所以，又，
所以，即得，，又，所以，
所以，故A正确；
对B，向右平移个单位后得
，为奇函数，故B正确；
对于C，，
令（）得（），
所以对称中心（，1），，故C不正确；
对于D，由，得，
因为，所以，
令，，，，，，解得，，，，，．
又在（0，m）上有6个根，则根从小到大为，，，，，，
再令，解得，则第7个根为，，故D错误．
故答案为：A、B．
【分析】
对于A，可以由两个特值；得到和，判断A正确；
对于B，求出平移后的函数解析式，结合正弦函数性质，判断B正确；
对于C，结合正弦型函数的性质求对称中心，判断C错误；
对于D，结合图象列不等式，解不等式，判断D错误．
11．（2024高三上·长沙开学考）如图，过点的直线交抛物线于A，B两点，连接、，并延长，分别交直线于M，N两点，则下列结论中一定成立的有（ ）
A．
B．以为直径的圆与直线相切
C．
D．
【答案】A,C,D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：对于A，设直线，
联立，消可得，
则，，
，
则，
故，
同理，故A正确；
对于C，设与轴交于，，
则，，故C正确；
对于D，，
则
，
又因为，
所以，
故D正确；
对于B，中点，即
则到直线的距离，
以为直径的圆的半径，
所以，
当时相切，当时不相切，故B错误.
故答案为：ACD.
【分析】设直线，联立直线与抛物线方程结合判别式法和韦达定理以及代入法，从而由两点求斜率公式得出直线OA的斜率，再利用斜截式方程得出直线OA的方程，再根据代入法得出点M的坐标，则由两点求斜率公式得出直线BM的斜率和直线AN的斜率，再利用两直线平行斜率相等，则判断出选项A；设直线与轴交于，，再根据三角形面积的关系式，则判断出选项C；利用三角形面积公式得出，再利用和三角形的面积公式得出，则判断出选项D；利用中点坐标公式和韦达定理得出点再利用点到直线的距离公式得出点到直线的距离为，再根据弦长公式和直径与半径的关系，得出以为直径的圆的半径，从而得出，则得出当时相切和当时不相切，从而判断出选项B，进而找出结论一定成立的选项.
12．（2024高三上·长沙开学考）已知随机变量服从正态分布，若，则 .
【答案】0.23
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】随机变量服从正态分布，则
又，则，则.
故答案为： 0.23.
【分析】
根据正态分布的概率性质求解即可.
13．（2024高三上·长沙开学考）已知向量，，若，则的值为 .
【答案】
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】已知向量，，若，则有，
∴.
故答案为：.
【分析】
根据题目条件可得，代入化简即可.
14．（2024高三上·长沙开学考）设，若存在正实数x，使得不等式成立，则k的最大值为 ．
【答案】
【知识点】指数式与对数式的互化；导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】不等式，所以，
即为，即有，可令，则成立，
由和互为反函数，可得图象关于直线对称，
可得有解，则，即，
令，则，
当时，，则函数在上递减，
当时，，则函数在上递增，
所以当时，取得最大值，
所以有，所以，可得，即k的最大值为．
故答案为：
【分析】
由题意可得，可令，则成立，由和互为反函数，可得图象关于直线对称，可得有解，通过取对数和构造函数法，求得导数，单调性和最值，即可得到k的最大值．
15．（2024高三上·长沙开学考）平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四边形的顶点在同一平面上，已知．
（1）当长度变化时，是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说明理由．
（2）记与的面积分别为和，请求出的最大值．
【答案】（1）法一：在中，由余弦定理，
得，即①，
同理，在中，，
即②，
①②得，
所以当长度变化时，为定值，定值为1；
法二：在中，由余弦定理
得，即，
同理，在中，，
所以，
化简得，即，
所以当长度变化时，为定值，定值为1；
（2）
，
令，
所以，
所以，即时，
有最大值为14．
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）法一：在中由余弦定理得，在中由余弦定理得，两式相减可得答案；法二：在中由余弦定理得
，在中由余弦定理得，两式相减可得答案；
（2）由面积公式可得，令转化为二次函数配方求最值即可．
（1）法一：在中，由余弦定理，
得，即①，
同理，在中，，
即②，
①②得，
所以当长度变化时，为定值，定值为1；
法二：在中，由余弦定理
得，即，
同理，在中，，
所以，
化简得，即，
所以当长度变化时，为定值，定值为1；
（2）
，
令，
所以，
所以，即时，
有最大值为14．
16．（2024高三上·长沙开学考）函数的图象在处的切线为.
（1）求的值；
（2）求在上零点的个数.
【答案】（1）解：因为，
所以，所以切线斜率为，即，
所切线方程为
又，所以切点坐标为，代入得
则，解得.
（2）解：由（1）得，
令，则，
当时，恒成立，所以在上递增，
所以，
因此在无零点；
当时，恒成立，所以单调递增，
又，
所以在上存在唯一的零点，
当单调递减；
当单调递增；
又，，
因此在上仅有1个零点；
综上，在上仅有1个零点.
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义，求得切线的斜率，和切点，然后得到切线方程，利用对应相等，即可求得的值；
（2）利用一次求导和二次求导分析原函数和导函数的单调性，分与两种情况讨论，结合单调性和零点存在性定理，即得证.
（1）因为，
所以，所以切线斜率为，即，
所切线方程为
又，所以切点坐标为，代入得
则，解得.
（2）由（1）得，
令，则，
当时，恒成立，所以在上递增，
所以，
因此在无零点；
当时，恒成立，所以单调递增，
又，
所以在上存在唯一的零点，
当单调递减；
当单调递增；
又，，
因此在上仅有1个零点；
综上，在上仅有1个零点.
17．（2024高三上·长沙开学考）如图，四面体中，，E为的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．
【答案】（1）证明：因为，E为的中点，所以；
在和中，因为，
所以，所以，又因为E为的中点，所以；
又因为平面，，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）解：连接，由（1）知，平面，因为平面，
所以，所以，
当时，最小，即的面积最小.
因为，所以，
又因为，所以是等边三角形，
因为E为的中点，所以，，
因为，所以，
在中，，所以.
以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，所以，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
又因为，所以，
所以，
设与平面所成的角为，
所以，
所以与平面所成的角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）根据已知关系证明，得到，结合等腰三角形三线合一得到垂直关系，结合面面垂直的判定定理即可证明；
（2）根据勾股定理逆用得到，从而建立空间直角坐标系，结合线面角的运算法则进行计算即可.
（1）因为，E为的中点，所以；
在和中，因为，
所以，所以，又因为E为的中点，所以；
又因为平面，，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）连接，由（1）知，平面，因为平面，
所以，所以，
当时，最小，即的面积最小.
因为，所以，
又因为，所以是等边三角形，
因为E为的中点，所以，，
因为，所以，
在中，，所以.
以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，所以，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
又因为，所以，
所以，
设与平面所成的角为，
所以，
所以与平面所成的角的正弦值为.
18．（2024高三上·长沙开学考）已知双曲线：的渐近线方程为，过点的直线交双曲线于，两点，且当轴时，.
（1）求的方程；
（2）记双曲线的左右顶点分别为，，直线，的斜率分别为，，求的值.
（3）探究圆：上是否存在点，使得过作双曲线的两条切线，互相垂直.
【答案】（1）解：由对称性知，双曲线过点，则，解得，
所以双曲线的方程为.
（2）由（1）得，设，
显然直线不垂直于y轴，设直线的方程为，
由消去x得，
显然，，
则，即，
所以.
（3）解：圆上存在点，使得过作双曲线的两条切线互相垂直.
若双曲线的两条切线有交点，则两条切线的斜率存在且不为0，
设双曲线的两条切线分别为，
将代入消去得：，
由得，解得，
因此，设两条切线的交点坐标为，
则，即有，且，
即，
于是是方程的两根，
而，则，即，从而两条切线们交点的轨迹为圆，
而的圆心为，半径为1，圆的圆心，半径为3，
显然，满足，即圆与圆相交，
所以圆上存在点，使得过作双曲线的两条切线互相垂直.
【知识点】用斜率判定两直线垂直；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出即可得的方程.
（2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理，结合斜率坐标公式求解即得.
（3）设出双曲线的两条切线方程，与双曲线方程联立，结合判别式求出两条切线交点的轨迹方程，再判断与圆的位置关系即可得解.
（1）由对称性知，双曲线过点，则，解得，
所以双曲线的方程为.
（2）由（1）得，设，
显然直线不垂直于y轴，设直线的方程为，
由消去x得，
显然，，
则，即，
所以.
（3）圆上存在点，使得过作双曲线的两条切线互相垂直.
若双曲线的两条切线有交点，则两条切线的斜率存在且不为0，
设双曲线的两条切线分别为，
将代入消去得：，
由得，解得，
因此，设两条切线的交点坐标为，
则，即有，且，
即，
于是是方程的两根，
而，则，即，从而两条切线们交点的轨迹为圆，
而的圆心为，半径为1，圆的圆心，半径为3，
显然，满足，即圆与圆相交，
所以圆上存在点，使得过作双曲线的两条切线互相垂直.
19．（2024高三上·长沙开学考）对于数列，如果存在等差数列和等比数列，使得，则称数列是“优分解”的.
（1）证明：如果是等差数列，则是“优分解”的.
（2）记，证明：如果数列是“优分解”的，则或数列是等比数列.
（3）设数列的前项和为，如果和都是“优分解”的，并且，求的通项公式.
【答案】（1）证明：因为数列是等差数列，所以设，令，
则是等差数列，是等比数列，所以数列是“优分解”的.
（2）解：因为数列是“优分解”的，设，
其中，
则，
当时，；
当时，是首项为，公比为的等比数列.
（3）解：一方面，因为数列是“优分解”的，设，
其中，由（2）知
因为，所以.
所以，所以是首项为2，公比为的等比数列，
另一方面，因为是“优分解”的，设，
其中，
因为是首项为2，公比为的等比数列，
所以，且，
所以
化简得，
即数列是首项，公比为的等比数列，
又因为，所以，
又，所以，因为，所以，
综上所述，.
【知识点】等差数列概念与表示；等比数列概念与表示；等比数列的性质；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）由数列是等差数列，可得，
令，根据等差、等比数列的定义即可证明；
（2）设，可得，分、证明即可；
（3）设，可得是首项为2，公比为的等比数列，
设，可得，可得，可得数列是首项，公比为的等比数列，即可求数列的通项公式．
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