四川省遂宁市遂宁中学校2025届高三上学期8月月考数学试题
1．（2024高三上·船山月考）“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：由，解得，
因为，
故“”是“”的必要不充分条件．
故选：A．
【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可．
2．（2024高三上·船山月考）设集合，集合，定义，则中元素个数是（ ）
A．7 B．10 C． D．
【答案】B
【知识点】子集与真子集；集合间关系的判断
【解析】【解答】解：因为集合，集合
所以，
所以，
共有10个元素.
故选：B．
【分析】根据交集（）和并集的定义()求得，再根据的定义求解即可.
3．（2024高三上·船山月考）数学老师从6道题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能正确求解其中的4道题，则该同学能及格的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】超几何分布；超几何分布的应用
【解析】【解答】解：因为从6道题中随机抽3道让同学检测， 规定至少要解答正确2道题才能及格
所以抽取3道题该同学不及格的情况只有：只对一道题一种情况，
则只答对一道题的概率为，所以该同学及格的概率为.
故选：A
【分析】利用超几何分布的概率公式计算即可.
4．（2024高三上·船山月考）某平台设有“人物”“视听学习”等多个栏目．假设在这些栏目中，某时段“人物”更新了2篇文章，“视听学习”更新了4个视频．一位学习者准备从更新的这6项内容中随机选取3个视频和2篇文章进行学习，则这2篇文章学习顺序相邻的学法有（ ）
A．192种 B．168种 C．72种 D．144种
【答案】A
【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式；排列与组合的综合
【解析】【解答】因为总共更新了4个视频和2篇文章， 从更新的这6项内容中随机选取3个视频和2篇文章，
所以分两步进行分析：
第一步，先从4个视频中选3个，有种方法；2篇文章全选，有种方法；
第二步，2篇文章要相邻，则可以先“捆绑”看成一个元素，内部排列，有种方法；
第三步，将“捆绑”元素与3个视频进行全排列，有种方法.
故满足题意的学法有种.
故选：A.
【分析】相邻问题用“捆绑法”，结合排列组合的知识求解即可.
5．（2024高三上·船山月考）若，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．无最小值
【答案】C
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：若，则，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为8．
故选：C．
【分析】将式子配凑成，然后利用基本不等式（两个正数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数）求解即可.
6．（2024高三上·船山月考）如图是函数的部分图象，记的导数为，则下列选项中值最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：已知如图所示：
为负数，为正数，故不选，
设在处的点为，显然的斜率大于，
则，可转化为，
所以的值最大.
故选：A．
【分析】由函数的图象，结合导数的几何意义（导数的几何意义指的就是在曲线上点的切线的斜率.），即可判断.
7．（2024高三上·船山月考）新高考改革后，生物，化学，政治，地理采取赋分制度：原始分排名前的同学赋分分．若原始分的最大值为，最小值为，令为满足，的一次函数．对于原始分为的学生，将的值四舍五入得到该学生的赋分.已知小赵原始分，赋分；小叶原始分，赋分；小林原始分，他的赋分是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【知识点】函数的对应法则
【解析】【解答】解：因为为满足，的一次函数，
所以可设，，，
所以，.
所以赋分是或.
故选：D.
【分析】根据题意设，再利用赋分原理，列出和的范围，并表示，根据不等式，即可求解.
8．（2024高三上·船山月考）在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．在平面直角坐标系中，动点到两个定点，的距离之积等于3，化简得曲线C：，下列结论不正确的是（ ）
A．曲线C关于y轴对称 B．的最小值为
C．面积的最大值为 D．的取值范围为
【答案】C
【知识点】基本不等式；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：对于A：因为用代替，方程不变，所以曲线关于轴对称，故A正确；
对于B：因为，当点在轴上取得等号，故B正确；
对于C：因为，
因为，所以.
所以.故C错误；
对于D：因为；
所以.
所以，所以，故D正确.
故选：C
【分析】用用代替，判断曲线的对称性，判断A的真假；利用基本（均值）不等式（两个正数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数）求的最小值，判断B的真假；利用，可求的取值范围，结合面积公式可求的最大值，判断C的真假；利用先求的取值范围，结合，可得的范围，即的范围，可判断D的真假.
9．（2024高三上·船山月考）若关于的一元二次不等式的解集为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】二次函数与一元二次不等式的对应关系；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】解：A，由题意，结合二次函数的图象知，抛物线开口应向下，则，A错误；
B，依题意，，且一元二次方程的两根为和3，
由韦达定理，，故，，即，B正确；
C，由上分析可得，C正确；
D，由上分析可得，D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据一元二次不等式和一元二次函数的关系可推出抛物线开口应向下，故，据此可判断A选项；根据一元二次方程、一元二次不等式的关系可列出方程组，解方程组可得，，据此可判断B选项；根据，通过变形可判断C选项；通过化简可得，据此可判断D选项.
10．（2024高三上·船山月考）已知展开式中各项二项式系数之和为128，则（ ）
A．
B．展开式的各项系数之和是
C．展开式中第4项和第5项的二项式系数最大
D．展开式中无常数项
【答案】A,C,D
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式；二项式系数
【解析】【解答】解：由题意可知，则，故选项A正确；
令，则，故选项B错误；
因为，所以由二项式系数的性质可知中间两项系数最大，
即第4、5项二项式系数最大，分别为，故选项C正确；
设展开式的通项为，
显然无整数解，选项项故D正确.
故选：ACD.
【分析】利用二项式系数和公式可先得判定A，利用赋值法可判定B，利用二项式系数的性质（中间两项系数最大）可判定C，利用二项展开式的通项公式可判定D.
11．（2024高三上·船山月考）2024年3月3日，由中国田径协会技术认证，贵州省体育局、黔西南州人民政府共同主办的“加油奔跑·兴义真好”2024万峰林马拉松赛鸣枪开跑.近2万名选手穿行城市间，奔跑峰林中，尽享“万峰成林处、阳光黔西南”的山水画卷.本次马拉松共设置了4个服务站点（真实数据是16个，本题设置为4个），某参赛运动员在第1个服务点停留的概率为，在其他服务点停留的概率均为．用随机变量X表示该运动员会停留的服务点的个数，则下列正确的是（ ）
A． B．
C．一次都不停留的概率为 D．至多停留一次的概率为
【答案】B,C
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：因为随机变量X表示该运动员会停留的服务点的个数，而且共设置了4个服务站点，
所以的所有可能为.
，，
，.
则选项中，错误，正确.
故选：BC.
【分析】运用相互独立事件概率乘法公式（，相互独立），结合组合数公式逐个计算即可.
12．（2024高三上·船山月考）命题，，则命题的否定为 ．
【答案】，
【知识点】全称量词；存在量词；命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：因为命题，为存在量词命题，
所以其否定为：，.
故填：，
【分析】利用命题的否定就是对这个命题的结论进行否定，结合存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可.
13．（2024高三上·船山月考）若存在，使不等式成立，则a的取值范围为 .
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；基本不等式
【解析】【解答】解：由，
因为，所以，令，
由，
构造函数，
即，当且仅当时取等号，
所以
故答案为：.
【分析】本题考查函数的恒成立问题.令则，利用分离参变量思想可得：，构造函数，利用基本不等式可求出的最小值，进而可求出a的取值范围.
14．（2024高三上·船山月考）已知随机变量，且，则函数的最小值为 ．
【答案】
【知识点】基本不等式；概率的应用
【解析】【解答】解：因为随机变量，而且，所以，解得，
当时，
，当且仅当，即时取等号，
所以所求最小值为.
故填：
【分析】利用正态分布的对称性求出，再利用基本不等式（两个正数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数）“1”的妙用求解即得.
15．（2024高三上·船山月考）已知全集，集合，，
（1）分别求；
（2）若，求的取值范围；
（3）若，求的取值范围．
【答案】（1）解：因为集合
所以或，
所以或
（2）解：因为，所以
①当时，，
②当时，则，
解得，
综上所述，的取值范围为；
（3）解：若，
①当时，，所以
②当时，或，
所以或，
综上所述，若，则的取值范围为，
所以若，则的取值范围．
【知识点】并集及其运算；交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】（1）先根据一元二次不等式和绝对值不等式解得集合，根据集合的运算的定义求出结果；
（2）因为所以对集合分类讨论的取值范围；
（3）若，对集合分类讨论的取值范围；
（1）集合
或，
或
（2），
①当时，，
②当时，则，
解得，
综上所述，的取值范围为；
（3）若，
①当时，，
②当时，或，
或，
综上所述，若，则的取值范围为，
所以若，则的取值范围．
16．（2024高三上·船山月考）某商店对该店某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行分析发现：该款冰雪运动装备的日销售单价（元/套）与时间x（该月的第x天）的函数关系近似满足（k为正常数）.该商品的日销售量（个）与时间x（天）部分数据如下表所示：
x 10 20 25 30
110 120 125 130
已知第10天该商品的日销售收入为121元.
（1）求k的值；
（2）根据上表中数据，用函数模型，（为常数）来描述该商品的日销售量与时间x的关系，试求出函数的解析式；
（3）根据（1）（2）的结论，求该商品的日销售收入（，）（元）的最小值.
【答案】（1）解：因为第10天该商品的日销售收入为121元，
所以，解得.
（2）解：由表中数据可得，，即，
解得，故，（，）
（3）解：因为商品的日销售收入等于日销售量乘以日销售单价，
所以，
因，，由，当且仅当时等号成立，
即该商品的日销售收入在第10天最小，最小值为121元.
【知识点】基本不等式
【解析】【分析】（1）根据第10天该商品的日销售收入为121元，列出方程解之即得；
（2）在表格中任取两组对应值代入，得二元方程组，求解即得；
（3）依题列出的解析式，运用基本不等式（两个正数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数）求出其最小值即得.
（1）因为第10天该商品的日销售收入为121元，
即，解得；
（2）由表中数据可得，，即，
解得，故，（，）
（3）依题意，，
因，，由，当且仅当时等号成立，
即该商品的日销售收入在第10天最小，最小值为121元.
17．（2024高三上·船山月考）设某幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得的一些数据如下表所示：
第天 1 4 9 16 25 36 49
高度 0 4 7 9 11 12 13
作出这组数据的散点图发现：与（天）之间近似满足头系式，其中，均为大于0的常数．
（1）试借助一元线性回归模型，根据所给数据，用最小二乘法对，作出估计，并求出关于的经验回归方程；
（2）在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的4个点，记这4个点中幼苗的高度大于的点的个数为，其中为表格中所给的幼苗高度的平均数，试求随机变量的分布列和数学期望．
附：对于一组数据，，…，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
【答案】（1）解：令，则，根据已知数据表得到如下表：
x
y
则，，
可得，
，
通过上表计算可得：，
因为回归直线过点，则，
所以y关于的回归方程.
（2）解：由题意可知：7天中幼苗高度大于的有4天，小于等于8的有3天，
从散点图中任取4个点，即从这7天中任取4天，
所以这4个点中幼苗的高度大于的点的个数的取值为1，2，3，4，则有：
；；
；；
所以随机变量的分布列为：
1 2 3 4
随机变量的期望值.
【知识点】线性回归方程；离散型随机变量及其分布列；超几何分布
【解析】【分析】（1）换元可得，变为线型回归问题，先根据已知数据得到的对应数据表，计算样本中心，然后利用最小二乘估计公式依次计算b和a的估计值，求得关于的线性回归方程，进而得到y关于x的回归方程；
（2）利用超几何分布概率公式计算，求得随机变量的分布列，并根据分布列，利用数学期望计算公式（随机变量的各个取值乘以对应的概率再相加）求得期望值．
（1）令，则，根据已知数据表得到如下表：
x
y
则，，
可得，
，
通过上表计算可得：，
因为回归直线过点，则，
所以y关于的回归方程.
（2）由题意可知：7天中幼苗高度大于的有4天，小于等于8的有3天，
从散点图中任取4个点，即从这7天中任取4天，
所以这4个点中幼苗的高度大于的点的个数的取值为1，2，3，4，则有：
；；
；；
所以随机变量的分布列为：
1 2 3 4
随机变量的期望值.
18．（2024高三上·船山月考）已知函数的图象在点处的切线方程为
（1）求的解析式；
（2）若对任意有恒成立，求实数的取值范围；
（3）若函数在内有3个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：因为，则，
依题意，，解得，，
所以；
（2）解：由（1）可得，
当时恒成立，
所以在上单调递减，
所以当时，函数取得最大值，，
因为对任意有恒成立，所以，.
所以.
所以实数的取值范围为.
（3）解：因为，
所以，
令，解得或，
所以、、列表如下：
1
0 0
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
由表格可知：当时，函数取得极小值；当时，函数取得极大值，
且当时，当时，
要满足函数在区间内有3个零点，
则，解得，
所以实数的取值范围.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，依题意，，即可求出、的值，从而得解；
（2）求出函数的导函数，即可得到函数的单调性（如果导函数大于0， 则函数在该区间内单调递增； 如果导函数小于0， 则函数在该区间内单调递减），从而求出函数的最大值（），即可得解；
（3）由（1）可得，利用导数研究函数的单调性极值与最值，根据函数在区间内有3个零点，可得最值满足的条件，进而得出实数的取值范围．
（1）因为，则，
依题意，，解得，，
所以；
（2）由（1）可得，
当时恒成立，
所以在上单调递减，
所以当时，函数取得最大值，，
因为对任意有恒成立，所以，.
.
实数的取值范围为.
（3）由（1）可得：，
，
令，解得或，
所以、、列表如下：
1
0 0
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
由表格可知：当时，函数取得极小值；当时，函数取得极大值，
且当时，当时，
要满足函数在区间内有3个零点，
则，解得，
所以实数的取值范围.
19．（2024高三上·船山月考）某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：.根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值服从正态分布，并把质量指标值不小于80的产品称为等品，其它产品称为等品. 现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.
（1）根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差的近似值为11，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值. 若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)；
(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，. )
（2）（i）从样本的质量指标值在和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为，求的分布列和数学期望；
（ii）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装. 已知一件等品芯片的利润是元，一件等品芯片的利润是元，根据(1)的计算结果，试求的值，使得每箱产品的利润最大.
【答案】（1）解：由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为：
．
即，，所以，
因为质量指标值近似服从正态分布，
所以
，
所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为等品的概率约为.
（2）解：（i），
所以所取样本的个数为20件，质量指标值在的芯片件数为10件，
故可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：
，，
，，
则随机变量的分布列为：
0 1 2 3
所以的数学期望.
（ii）设每箱产品中A等品有件，则每箱产品中等品有件，
设每箱产品的利润为元，由题意知：，
由（1）知：每箱零件中A等品的概率为，
所以，所以，
所以
，
令，
由得，
又因为，，单调递增；
，，单调递减，
所以当时，取得最大值，
所以当时，每箱产品利润最大.
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布；正态密度曲线的特点
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图求出样本平均数，再利用正态分布对应的概率密度函数的图象的对称性，从而估计出该芯片为等品的概率.
（2）（i）利用已知条件得出随机变量的可能的取值，再利用组合数公式和古典概率公式求出对应的概率，从而求出随机变量的分布列，再由期望公式得出随机变量的数学期望.
（ii）先根据二项分布的期望求出，再构造函数，则利用导数判断出函数的单调性，从而得出函数的最大值，进而得出此时对应的的值.
（1）由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为：
．
即，，所以，
因为质量指标值近似服从正态分布，
所以，
所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为等品的概率约为.
（2）（i），所以所取样本的个数为20件，
质量指标值在的芯片件数为10件，故可能取的值为0，1，2，3，
相应的概率为：
，，
，，
随机变量的分布列为：
0 1 2 3
所以的数学期望.
（ii）设每箱产品中A等品有件，则每箱产品中等品有件，
设每箱产品的利润为元，
由题意知：，
由（1）知：每箱零件中A等品的概率为，
所以，所以，
所以
.
令，由得，，
又，，单调递增，，，单调递减，
所以当时，取得最大值.
所以当时，每箱产品利润最大.
1 / 1四川省遂宁市遂宁中学校2025届高三上学期8月月考数学试题
1．（2024高三上·船山月考）“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024高三上·船山月考）设集合，集合，定义，则中元素个数是（ ）
A．7 B．10 C． D．
3．（2024高三上·船山月考）数学老师从6道题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能正确求解其中的4道题，则该同学能及格的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高三上·船山月考）某平台设有“人物”“视听学习”等多个栏目．假设在这些栏目中，某时段“人物”更新了2篇文章，“视听学习”更新了4个视频．一位学习者准备从更新的这6项内容中随机选取3个视频和2篇文章进行学习，则这2篇文章学习顺序相邻的学法有（ ）
A．192种 B．168种 C．72种 D．144种
5．（2024高三上·船山月考）若，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．无最小值
6．（2024高三上·船山月考）如图是函数的部分图象，记的导数为，则下列选项中值最大的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高三上·船山月考）新高考改革后，生物，化学，政治，地理采取赋分制度：原始分排名前的同学赋分分．若原始分的最大值为，最小值为，令为满足，的一次函数．对于原始分为的学生，将的值四舍五入得到该学生的赋分.已知小赵原始分，赋分；小叶原始分，赋分；小林原始分，他的赋分是（ ）
A． B． C． D．或
8．（2024高三上·船山月考）在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．在平面直角坐标系中，动点到两个定点，的距离之积等于3，化简得曲线C：，下列结论不正确的是（ ）
A．曲线C关于y轴对称 B．的最小值为
C．面积的最大值为 D．的取值范围为
9．（2024高三上·船山月考）若关于的一元二次不等式的解集为，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2024高三上·船山月考）已知展开式中各项二项式系数之和为128，则（ ）
A．
B．展开式的各项系数之和是
C．展开式中第4项和第5项的二项式系数最大
D．展开式中无常数项
11．（2024高三上·船山月考）2024年3月3日，由中国田径协会技术认证，贵州省体育局、黔西南州人民政府共同主办的“加油奔跑·兴义真好”2024万峰林马拉松赛鸣枪开跑.近2万名选手穿行城市间，奔跑峰林中，尽享“万峰成林处、阳光黔西南”的山水画卷.本次马拉松共设置了4个服务站点（真实数据是16个，本题设置为4个），某参赛运动员在第1个服务点停留的概率为，在其他服务点停留的概率均为．用随机变量X表示该运动员会停留的服务点的个数，则下列正确的是（ ）
A． B．
C．一次都不停留的概率为 D．至多停留一次的概率为
12．（2024高三上·船山月考）命题，，则命题的否定为 ．
13．（2024高三上·船山月考）若存在，使不等式成立，则a的取值范围为 .
14．（2024高三上·船山月考）已知随机变量，且，则函数的最小值为 ．
15．（2024高三上·船山月考）已知全集，集合，，
（1）分别求；
（2）若，求的取值范围；
（3）若，求的取值范围．
16．（2024高三上·船山月考）某商店对该店某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行分析发现：该款冰雪运动装备的日销售单价（元/套）与时间x（该月的第x天）的函数关系近似满足（k为正常数）.该商品的日销售量（个）与时间x（天）部分数据如下表所示：
x 10 20 25 30
110 120 125 130
已知第10天该商品的日销售收入为121元.
（1）求k的值；
（2）根据上表中数据，用函数模型，（为常数）来描述该商品的日销售量与时间x的关系，试求出函数的解析式；
（3）根据（1）（2）的结论，求该商品的日销售收入（，）（元）的最小值.
17．（2024高三上·船山月考）设某幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得的一些数据如下表所示：
第天 1 4 9 16 25 36 49
高度 0 4 7 9 11 12 13
作出这组数据的散点图发现：与（天）之间近似满足头系式，其中，均为大于0的常数．
（1）试借助一元线性回归模型，根据所给数据，用最小二乘法对，作出估计，并求出关于的经验回归方程；
（2）在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的4个点，记这4个点中幼苗的高度大于的点的个数为，其中为表格中所给的幼苗高度的平均数，试求随机变量的分布列和数学期望．
附：对于一组数据，，…，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
18．（2024高三上·船山月考）已知函数的图象在点处的切线方程为
（1）求的解析式；
（2）若对任意有恒成立，求实数的取值范围；
（3）若函数在内有3个零点，求实数的取值范围.
19．（2024高三上·船山月考）某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：.根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值服从正态分布，并把质量指标值不小于80的产品称为等品，其它产品称为等品. 现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.
（1）根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差的近似值为11，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值. 若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)；
(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，. )
（2）（i）从样本的质量指标值在和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为，求的分布列和数学期望；
（ii）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装. 已知一件等品芯片的利润是元，一件等品芯片的利润是元，根据(1)的计算结果，试求的值，使得每箱产品的利润最大.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：由，解得，
因为，
故“”是“”的必要不充分条件．
故选：A．
【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可．
2．【答案】B
【知识点】子集与真子集；集合间关系的判断
【解析】【解答】解：因为集合，集合
所以，
所以，
共有10个元素.
故选：B．
【分析】根据交集（）和并集的定义()求得，再根据的定义求解即可.
3．【答案】A
【知识点】超几何分布；超几何分布的应用
【解析】【解答】解：因为从6道题中随机抽3道让同学检测， 规定至少要解答正确2道题才能及格
所以抽取3道题该同学不及格的情况只有：只对一道题一种情况，
则只答对一道题的概率为，所以该同学及格的概率为.
故选：A
【分析】利用超几何分布的概率公式计算即可.
4．【答案】A
【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式；排列与组合的综合
【解析】【解答】因为总共更新了4个视频和2篇文章， 从更新的这6项内容中随机选取3个视频和2篇文章，
所以分两步进行分析：
第一步，先从4个视频中选3个，有种方法；2篇文章全选，有种方法；
第二步，2篇文章要相邻，则可以先“捆绑”看成一个元素，内部排列，有种方法；
第三步，将“捆绑”元素与3个视频进行全排列，有种方法.
故满足题意的学法有种.
故选：A.
【分析】相邻问题用“捆绑法”，结合排列组合的知识求解即可.
5．【答案】C
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：若，则，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为8．
故选：C．
【分析】将式子配凑成，然后利用基本不等式（两个正数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数）求解即可.
6．【答案】A
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：已知如图所示：
为负数，为正数，故不选，
设在处的点为，显然的斜率大于，
则，可转化为，
所以的值最大.
故选：A．
【分析】由函数的图象，结合导数的几何意义（导数的几何意义指的就是在曲线上点的切线的斜率.），即可判断.
7．【答案】D
【知识点】函数的对应法则
【解析】【解答】解：因为为满足，的一次函数，
所以可设，，，
所以，.
所以赋分是或.
故选：D.
【分析】根据题意设，再利用赋分原理，列出和的范围，并表示，根据不等式，即可求解.
8．【答案】C
【知识点】基本不等式；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：对于A：因为用代替，方程不变，所以曲线关于轴对称，故A正确；
对于B：因为，当点在轴上取得等号，故B正确；
对于C：因为，
因为，所以.
所以.故C错误；
对于D：因为；
所以.
所以，所以，故D正确.
故选：C
【分析】用用代替，判断曲线的对称性，判断A的真假；利用基本（均值）不等式（两个正数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数）求的最小值，判断B的真假；利用，可求的取值范围，结合面积公式可求的最大值，判断C的真假；利用先求的取值范围，结合，可得的范围，即的范围，可判断D的真假.
9．【答案】B,C,D
【知识点】二次函数与一元二次不等式的对应关系；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】解：A，由题意，结合二次函数的图象知，抛物线开口应向下，则，A错误；
B，依题意，，且一元二次方程的两根为和3，
由韦达定理，，故，，即，B正确；
C，由上分析可得，C正确；
D，由上分析可得，D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据一元二次不等式和一元二次函数的关系可推出抛物线开口应向下，故，据此可判断A选项；根据一元二次方程、一元二次不等式的关系可列出方程组，解方程组可得，，据此可判断B选项；根据，通过变形可判断C选项；通过化简可得，据此可判断D选项.
10．【答案】A,C,D
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式；二项式系数
【解析】【解答】解：由题意可知，则，故选项A正确；
令，则，故选项B错误；
因为，所以由二项式系数的性质可知中间两项系数最大，
即第4、5项二项式系数最大，分别为，故选项C正确；
设展开式的通项为，
显然无整数解，选项项故D正确.
故选：ACD.
【分析】利用二项式系数和公式可先得判定A，利用赋值法可判定B，利用二项式系数的性质（中间两项系数最大）可判定C，利用二项展开式的通项公式可判定D.
11．【答案】B,C
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：因为随机变量X表示该运动员会停留的服务点的个数，而且共设置了4个服务站点，
所以的所有可能为.
，，
，.
则选项中，错误，正确.
故选：BC.
【分析】运用相互独立事件概率乘法公式（，相互独立），结合组合数公式逐个计算即可.
12．【答案】，
【知识点】全称量词；存在量词；命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：因为命题，为存在量词命题，
所以其否定为：，.
故填：，
【分析】利用命题的否定就是对这个命题的结论进行否定，结合存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可.
13．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；基本不等式
【解析】【解答】解：由，
因为，所以，令，
由，
构造函数，
即，当且仅当时取等号，
所以
故答案为：.
【分析】本题考查函数的恒成立问题.令则，利用分离参变量思想可得：，构造函数，利用基本不等式可求出的最小值，进而可求出a的取值范围.
14．【答案】
【知识点】基本不等式；概率的应用
【解析】【解答】解：因为随机变量，而且，所以，解得，
当时，
，当且仅当，即时取等号，
所以所求最小值为.
故填：
【分析】利用正态分布的对称性求出，再利用基本不等式（两个正数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数）“1”的妙用求解即得.
15．【答案】（1）解：因为集合
所以或，
所以或
（2）解：因为，所以
①当时，，
②当时，则，
解得，
综上所述，的取值范围为；
（3）解：若，
①当时，，所以
②当时，或，
所以或，
综上所述，若，则的取值范围为，
所以若，则的取值范围．
【知识点】并集及其运算；交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】（1）先根据一元二次不等式和绝对值不等式解得集合，根据集合的运算的定义求出结果；
（2）因为所以对集合分类讨论的取值范围；
（3）若，对集合分类讨论的取值范围；
（1）集合
或，
或
（2），
①当时，，
②当时，则，
解得，
综上所述，的取值范围为；
（3）若，
①当时，，
②当时，或，
或，
综上所述，若，则的取值范围为，
所以若，则的取值范围．
16．【答案】（1）解：因为第10天该商品的日销售收入为121元，
所以，解得.
（2）解：由表中数据可得，，即，
解得，故，（，）
（3）解：因为商品的日销售收入等于日销售量乘以日销售单价，
所以，
因，，由，当且仅当时等号成立，
即该商品的日销售收入在第10天最小，最小值为121元.
【知识点】基本不等式
【解析】【分析】（1）根据第10天该商品的日销售收入为121元，列出方程解之即得；
（2）在表格中任取两组对应值代入，得二元方程组，求解即得；
（3）依题列出的解析式，运用基本不等式（两个正数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数）求出其最小值即得.
（1）因为第10天该商品的日销售收入为121元，
即，解得；
（2）由表中数据可得，，即，
解得，故，（，）
（3）依题意，，
因，，由，当且仅当时等号成立，
即该商品的日销售收入在第10天最小，最小值为121元.
17．【答案】（1）解：令，则，根据已知数据表得到如下表：
x
y
则，，
可得，
，
通过上表计算可得：，
因为回归直线过点，则，
所以y关于的回归方程.
（2）解：由题意可知：7天中幼苗高度大于的有4天，小于等于8的有3天，
从散点图中任取4个点，即从这7天中任取4天，
所以这4个点中幼苗的高度大于的点的个数的取值为1，2，3，4，则有：
；；
；；
所以随机变量的分布列为：
1 2 3 4
随机变量的期望值.
【知识点】线性回归方程；离散型随机变量及其分布列；超几何分布
【解析】【分析】（1）换元可得，变为线型回归问题，先根据已知数据得到的对应数据表，计算样本中心，然后利用最小二乘估计公式依次计算b和a的估计值，求得关于的线性回归方程，进而得到y关于x的回归方程；
（2）利用超几何分布概率公式计算，求得随机变量的分布列，并根据分布列，利用数学期望计算公式（随机变量的各个取值乘以对应的概率再相加）求得期望值．
（1）令，则，根据已知数据表得到如下表：
x
y
则，，
可得，
，
通过上表计算可得：，
因为回归直线过点，则，
所以y关于的回归方程.
（2）由题意可知：7天中幼苗高度大于的有4天，小于等于8的有3天，
从散点图中任取4个点，即从这7天中任取4天，
所以这4个点中幼苗的高度大于的点的个数的取值为1，2，3，4，则有：
；；
；；
所以随机变量的分布列为：
1 2 3 4
随机变量的期望值.
18．【答案】（1）解：因为，则，
依题意，，解得，，
所以；
（2）解：由（1）可得，
当时恒成立，
所以在上单调递减，
所以当时，函数取得最大值，，
因为对任意有恒成立，所以，.
所以.
所以实数的取值范围为.
（3）解：因为，
所以，
令，解得或，
所以、、列表如下：
1
0 0
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
由表格可知：当时，函数取得极小值；当时，函数取得极大值，
且当时，当时，
要满足函数在区间内有3个零点，
则，解得，
所以实数的取值范围.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，依题意，，即可求出、的值，从而得解；
（2）求出函数的导函数，即可得到函数的单调性（如果导函数大于0， 则函数在该区间内单调递增； 如果导函数小于0， 则函数在该区间内单调递减），从而求出函数的最大值（），即可得解；
（3）由（1）可得，利用导数研究函数的单调性极值与最值，根据函数在区间内有3个零点，可得最值满足的条件，进而得出实数的取值范围．
（1）因为，则，
依题意，，解得，，
所以；
（2）由（1）可得，
当时恒成立，
所以在上单调递减，
所以当时，函数取得最大值，，
因为对任意有恒成立，所以，.
.
实数的取值范围为.
（3）由（1）可得：，
，
令，解得或，
所以、、列表如下：
1
0 0
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
由表格可知：当时，函数取得极小值；当时，函数取得极大值，
且当时，当时，
要满足函数在区间内有3个零点，
则，解得，
所以实数的取值范围.
19．【答案】（1）解：由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为：
．
即，，所以，
因为质量指标值近似服从正态分布，
所以
，
所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为等品的概率约为.
（2）解：（i），
所以所取样本的个数为20件，质量指标值在的芯片件数为10件，
故可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：
，，
，，
则随机变量的分布列为：
0 1 2 3
所以的数学期望.
（ii）设每箱产品中A等品有件，则每箱产品中等品有件，
设每箱产品的利润为元，由题意知：，
由（1）知：每箱零件中A等品的概率为，
所以，所以，
所以
，
令，
由得，
又因为，，单调递增；
，，单调递减，
所以当时，取得最大值，
所以当时，每箱产品利润最大.
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布；正态密度曲线的特点
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图求出样本平均数，再利用正态分布对应的概率密度函数的图象的对称性，从而估计出该芯片为等品的概率.
（2）（i）利用已知条件得出随机变量的可能的取值，再利用组合数公式和古典概率公式求出对应的概率，从而求出随机变量的分布列，再由期望公式得出随机变量的数学期望.
（ii）先根据二项分布的期望求出，再构造函数，则利用导数判断出函数的单调性，从而得出函数的最大值，进而得出此时对应的的值.
（1）由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为：
．
即，，所以，
因为质量指标值近似服从正态分布，
所以，
所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为等品的概率约为.
（2）（i），所以所取样本的个数为20件，
质量指标值在的芯片件数为10件，故可能取的值为0，1，2，3，
相应的概率为：
，，
，，
随机变量的分布列为：
0 1 2 3
所以的数学期望.
（ii）设每箱产品中A等品有件，则每箱产品中等品有件，
设每箱产品的利润为元，
由题意知：，
由（1）知：每箱零件中A等品的概率为，
所以，所以，
所以
.
令，由得，，
又，，单调递增，，，单调递减，
所以当时，取得最大值.
所以当时，每箱产品利润最大.
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