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专题12 反比例函数的图像和性质及其应用
1．（2024·天津红桥·一模）下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·四川成都·一模）下列函数：，，，，其中，是的反比例函数的有（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·安徽滁州·一模）在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A，B两点，已知点A的坐标为，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·云南昆明·模拟预测）如果反比例函数（k是常数）的图象在第一、三象限，那么k的值可以是（ ）
A． B． C． D．0
5．（2024·湖北武汉·模拟预测）关于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．该函数图象在一、三象限
B．当时，随增大而减小
C．若在该函数图象上，则
D．若点和点在该函数图象上，且，则有且仅有
6．（2024·广东·模拟预测）已知点在反比例函数（）的图像上，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·四川乐山·二模）如图，在直角坐标系中，四边形的顶点都在坐标轴上，若，与的面积分别为和，若双曲线恰好经过的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
8．（2023·广东清远·二模）一次函数与反比例函数的图象的形状大致是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024·甘肃武威·三模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
10．（2023·江西吉安·模拟预测）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．水温从加热到，需要
B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是
C．上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水
D．在一个加热周期内水温不低于的时间为
11．（2024·广东佛山·二模）阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”，这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．若某杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则它的动力F和动力臂l之间的函数图象大致是（ ）
A．B．C． D．
12．（2024·陕西西安·模拟预测）点在反比例函数的图象上，点A关于x轴对称的点在反比例函数的图象上，且，则的值为 ．
13．已知点在反比例函数的图象上，则的值是 ．
14．（2024·陕西咸阳·三模）已知点，都在反比例函数的图象上．若，则的值为 ．
15．（2023·浙江杭州·二模）已知点在反比例函数的图象上，则 ．
16．（2024·湖北武汉·模拟预测）反比例函数图象经过三点,和，若，则，写出一个满足条件的k的值是 ．
18．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边分别在轴、轴上，点的坐标为，双曲线分别与边交于点，则阴影部分的面积是 ．
19．（2024·山东济南·模拟预测）通过课本上对函数的学习，我们积累了一定的经验．以下是探究函数的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列各题．
x … 2 3 4 5 6 7 8 …
y … 9 a 3 2 b …
(1)①列表，表中________，________；
②描点：根据表中数值，描出①中的点；
③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象；
(2)观察画出的图象，请写出该函数的两条性质：① ；② ；
(3)结合函数图象，写出函数的图象可由函数的图象如何变换得到．
20．（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，两点．
(1)求一次函数的表达式；
(2)求△AOB的面积．
21．（2024·湖北恩施·模拟预测）如图，已知反比例函数图象过第二象限内的点，轴于B，直角△AOB的面积为3， 若直线经过点A，并且经过反比例函数的图象上另一点．
(1)求反比例函数的解析式及m、n的值；
(2)求直线的解析式．
22．（2024·青海西宁·三模）如图，直线与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，平行于x轴的直线交反比例函数的图象于点M，交于点N，连接．
(1)求m的值和反比例函数的解析式；
(2)观察图象，直接写出当时不等式的解集；
23．（2024·宁夏银川·一模）如图①，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放实验，记录了桌面所受压强P与受力面积S的数据关系如下表所示(压强的计算公式是：)：
桌面所受压强 250 400 500 800
受力面积 0.8 0.5 a 0.25
(1)求出压强关于受力面积的函数表达式及a的值；
(2)如图②，将另一长、宽、高分别为，，，且与原长方体相同质量的长方体放置于该水平玻璃桌面上．若玻璃桌面能承受的最大压强为，问：这种摆放方式是否安全？若安全，请说明理由，若不安全，请通过计算说明如何摆放更安全．（长方体完全置于玻璃桌面上）
24．（2024·贵州贵阳·一模）某天水温和室温均为，智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系，a分钟时水温下降到室温，水温与通电时间之间的关系如图所示．
(1)当时，求出y与x之间的函数关系式；
(2)求自动停止加热到水温降到室温的时间．
25．（2024·宁夏银川·三模）某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：
(1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少；
(2)若大棚内的温度低于时，水果会受到伤害，问：这天内有多长时间水果生长不受伤害？
26．（2024·河南周口·模拟预测）很多学生由于用眼不科学，导致视力下降，需要佩戴眼镜．研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例函数关系，其函数图象如图所示．
(1)当近视眼镜的度数是200度时，镜片焦距是多少米？
(2)明明原来佩戴275度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗并注意用眼健康，复查验光后，所配镜片的焦距调整到了0.4米，则明明的眼镜度数下降了多少度？
27．（2024·广东佛山·三模）某二手车管理站，用一种一氧化碳（）检测仪测量二手家用汽油小轿车尾气中一氧化碳的含量，这种检测仪的电路图如图1所示，其工作原理为：当尾气中一氧化碳的浓度增加，气敏电阻的阻值变小，电流随之增大，即所显示的一氧化碳含量就越高．已知气敏电阻的阻值随着尾气中一氧化碳的含量变化的关系图象如图2所示，为定值电阻，电源电压恒定不变．
(1)请根据图2，判断气敏电阻与尾气中一氧化碳的含量之间成 函数，并求出它的函数解析式；
(2)该管理站对家用汽油小轿车尾气中一氧化碳检测数据的标准要求为不高于．若某辆小轿车的尾气检测阻值为，则该小轿车尾气中一氧化碳的含量是否达到标准？请说明理由．
28．（2023·广东清远·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点D，与y轴交于点B，与x轴交于点C．
(1)求m的值以及点D坐标；
(2)P为x轴上的一动点，的面积6时，求P点坐标．
29．（2024·山东济南·三模）如图，一次函数与反比例函数交于、两点，延长交反比例函图象于点，连接．
(1)求一次函数与反比例函数表达式．
(2)求△AOB的面积．
(3)在x轴上是否存在点P，使得是直角三角形？若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由．
30．（2024·黑龙江大庆·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于 A，B两点，与x轴交于点 C，与y轴交于点 D，已知点 A的坐标为，点 B的坐标为．
(1)求反比例函数 与一次函数的解析式；
(2)结合图象，请直接写出不等式 的解集；
(3)在y轴上是否存在一点 P，使得 周长最小，若存在，求出点 P的坐标；若不存在，说明理由．
31．（2024·山东济南·二模）如图，反比例函数 的图象经过点，射线与反比例函数的图象的另一个交点为，射线与轴交于点，与轴交于点，轴，垂足为．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求的长；
(3)在x轴上是否存在点P，使得△APE与相似，若存在，请求出满足条件点P的坐标．若不存在说明理由．中小学教育资源及组卷应用平台
专题12 反比例函数的图像和性质及其应用
1．（2024·天津红桥·一模）下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A，是一次函数，不是反比例函数，不合题意；
B，是一次函数，不是反比例函数，不合题意；
C，是二次函数，不是反比例函数，不合题意；
D，是反比例函数，符合题意；
2．（2023·四川成都·一模）下列函数：，，，，其中，是的反比例函数的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵，∴，故是反比例函数；
∵，∴，故是反比例函数；
∵，∴，故是反比例函数；
不是反比例函数；∴是的反比例函数有
3．（2024·安徽滁州·一模）在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A，B两点，已知点A的坐标为，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由题意可知点与关于原点对称，点A的坐标为，
点的坐标为．
4．（2024·云南昆明·模拟预测）如果反比例函数（k是常数）的图象在第一、三象限，那么k的值可以是（ ）
A． B． C． D．0
【答案】D
【详解】解：∵反比例函数（k是常数）的图象在第一、三象限，
∴，∴，∴的值可以是0，
5．（2024·湖北武汉·模拟预测）关于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．该函数图象在一、三象限
B．当时，随增大而减小
C．若在该函数图象上，则
D．若点和点在该函数图象上，且，则有且仅有
【答案】C
【详解】、由反比例函数可知，则该函数图象在第二、四象限，故不符合题意；
、当时，随增大而增大，故不符合题意;
、若在该函数图象上，则，故符合题意；
、若点和点在该函数图象上，当或时，，当时，，故不符合题意；
6．（2024·广东·模拟预测）已知点在反比例函数（）的图像上，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：∵当时，反比例函数的图像位于第二、四象限，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点在反比例函数（）的图像上，
又，∴．
7．（2022·四川乐山·二模）如图，在直角坐标系中，四边形的顶点都在坐标轴上，若，与的面积分别为和，若双曲线恰好经过的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【详解】解：∵，
∴根据同底等高可得：，
∵与的面积分别为和，
∴，
∵，∴，
∵，∴．
设，∴，∴，
∴，，
∴的中点E点坐标为：，，
把点代入得：．
8．（2023·广东清远·二模）一次函数与反比例函数的图象的形状大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：在选项中，反比例函数图象在一三象限，，则，因而一次函数图象应向右倾斜，故选项不符合题意；
在选项中，反比例函数图象在一三象限，，因而一次函数图象应与轴正半轴相交，故选项不符合题意；
在选项中，反比例函数图象在二四象限，，则，因而一次函数图象应向左倾斜，故选项不符合题意；
在选项中，反比例函数图象在二四象限，，则，因而一次函数图象应向左倾斜，函数图象应与轴负半轴相交，故选项符合题意；
9．（2024·甘肃武威·三模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
【详解】解：在反比例函数上，．
又在反比例函数上，．．
结合图象，当时，或．
10．（2023·江西吉安·模拟预测）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．水温从加热到，需要
B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是
C．上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水
D．在一个加热周期内水温不低于的时间为
【答案】D
【详解】解：∵开机加热时每分钟上升，
∴水温从加热到，所需时间为，故A选项正确，不符合题意；
设水温下降过程中，y与x的函数关系式为，
由题意得，点在反比例函数的图象上，∴，解得：，
∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是，故B选项正确，不符合题意；
令，则，∴，
∴从开机加热到水温降至需要，即一个循环为，
设加热过程中水温与通电时间的函数关系式为：，把代入得：，解得：，
∴此时，
∴水温与通电时间的函数关系式为，
上午10点到共30分钟，，
∴当时，，
即此时的水温为，故C选项正确，不符合题意；
在加热过程中，水温为时，，
解得：，
在降温过程中，水温为时，，
解得：，
∵，
∴一个加热周期内水温不低于的时间为，故D选项错误，符合题意．
11．（2024·广东佛山·二模）阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”，这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．若某杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则它的动力F和动力臂l之间的函数图象大致是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【详解】解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂，阻力和阻力臂分别是和，
∴动力F和动力臂l之间的函数解析式为，
则，是反比例函数，
又∵动力臂，
12．（2024·陕西西安·模拟预测）点在反比例函数的图象上，点A关于x轴对称的点在反比例函数的图象上，且，则的值为 ．
【答案】3
【详解】解：点在反比例函数的图象上，点A关于x轴对称的点在反比例函数的图象上，
点关于x轴对称的点为，
，由，解得
13．已知点在反比例函数的图象上，则的值是 ．
【答案】
【详解】解：是反比例函数，，，
由可得：，解得：，
由可得：或，，
，
反比例函数的解析式为，把点代入，可得：．
14．（2024·陕西咸阳·三模）已知点，都在反比例函数的图象上．若，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：点，都在反比例函数的图象上，
，，，且，．
15．（2023·浙江杭州·二模）已知点在反比例函数的图象上，则 ．
【答案】2
【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，∴．
16．（2024·湖北武汉·模拟预测）反比例函数图象经过三点,和，若，则，写出一个满足条件的k的值是 ．
【答案】1(答案不唯一)
【详解】解：∵反比例函数的图象经过,两点，当时，，
∴此反比例函数的图象在第一、三象限，
∵反比例函数图象经过点，，∴在第一象限，，∴，∴的值可以是1．
故答案为：1(答案不唯一)．
18．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边分别在轴、轴上，点的坐标为，双曲线分别与边交于点，则阴影部分的面积是 ．
【答案】7
【详解】解：矩形中，，
点A与点P的横坐标相同，点B与点P的纵坐标相同，
将代入得：，将代入得：，
，
，
．
19．（2024·山东济南·模拟预测）通过课本上对函数的学习，我们积累了一定的经验．以下是探究函数的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列各题．
x … 2 3 4 5 6 7 8 …
y … 9 a 3 2 b …
(1)①列表，表中________，________；
②描点：根据表中数值，描出①中的点；
③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象；
(2)观察画出的图象，请写出该函数的两条性质：① ；② ；
(3)结合函数图象，写出函数的图象可由函数的图象如何变换得到．
【答案】(1)①5；；②见解析；③见解析(2)见解析
(3)函数的图象可由函数先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
【详解】（1）解：∵当时，，∴，∴，
∴对应的函数解析式为，
∴当时，，当时，，
故答案为：①5；；
②如图所示，即为所求；
③如图所示，即为所求；
（2）解：由函数图象可知，当时，y随x增大而减小；当，函数有最小值；
（3）解：观察函数图象，可知函数的图象可由函数先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的．
20．（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，两点．
(1)求一次函数的表达式；
(2)求△AOB的面积．
【答案】(1)(2)8
【详解】（1）解：，在的图象上，
，，
则反比例函数表达式为，
，在函数的图象上，，解得：，
则一次函数的解析式是
（2）解：直线与y轴相交于点C，
的坐标是
21．（2024·湖北恩施·模拟预测）如图，已知反比例函数图象过第二象限内的点，轴于B，直角△AOB的面积为3， 若直线经过点A，并且经过反比例函数的图象上另一点．
(1)求反比例函数的解析式及m、n的值；
(2)求直线的解析式．
【答案】(1)，，(2)
【详解】（1）解：面积为3，，，，，
反比例函数为过点，，，
即反比例函数为：，
反比例函数为过点，，；
（2）解：直线经过点、，
，解得：，
直线的解析式为：．
22．（2024·青海西宁·三模）如图，直线与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，平行于x轴的直线交反比例函数的图象于点M，交于点N，连接．
(1)求m的值和反比例函数的解析式；
(2)观察图象，直接写出当时不等式的解集；
【答案】(1)，(2)
【详解】（1）解：∵直线经过点，
∴，解得，∴，
把代入得，
∴反比例函数的解析式为．
（2）解：观察图象，当时不等式的解集为．
23．（2024·宁夏银川·一模）如图①，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放实验，记录了桌面所受压强P与受力面积S的数据关系如下表所示(压强的计算公式是：)：
桌面所受压强 250 400 500 800
受力面积 0.8 0.5 a 0.25
(1)求出压强关于受力面积的函数表达式及a的值；
(2)如图②，将另一长、宽、高分别为，，，且与原长方体相同质量的长方体放置于该水平玻璃桌面上．若玻璃桌面能承受的最大压强为，问：这种摆放方式是否安全？若安全，请说明理由，若不安全，请通过计算说明如何摆放更安全．（长方体完全置于玻璃桌面上）
【答案】(1)；；(2)见解析．
【详解】（1）解：，
压强关于受力面积的满足反比例函数关系，
设压强关于受力面积的函数表达式为，则，
压强关于受力面积的函数表达式为；
把代入，得，解得；
（2）这种摆放方式不安全．
理由：由已知，此时，
∴这种摆放方式不安全．
当将长为60cm，宽为10cm这一面置于玻璃桌面时，
此时，则
∴这种摆放方式不安全．
当将长为60cm，宽为40cm这一面置于玻璃桌面时，
此时，则
∴这种摆放方式是安全的．
24．（2024·贵州贵阳·一模）某天水温和室温均为，智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系，a分钟时水温下降到室温，水温与通电时间之间的关系如图所示．
(1)当时，求出y与x之间的函数关系式；
(2)求自动停止加热到水温降到室温的时间．
【答案】(1)(2)自动停止加热到水温降到室温的时间为32分钟
【详解】（1）设加热过程中函数解析式为，点，在函数图象上，
，解得，
当时，y与x之间的函数关系式为：；
（2）∵点在反比例函数图象上，设反比例函数解析式为，，
反比例函数解析式为：，
当时，，
自动停止加热到水温降到室温的时间为：（分钟），
答：自动停止加热到水温降到室温的时间为32分钟．
25．（2024·宁夏银川·三模）某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：
(1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少；
(2)若大棚内的温度低于时，水果会受到伤害，问：这天内有多长时间水果生长不受伤害？
【答案】(1)这个恒温系统设定的恒定温度为：．(2)这天内有小时水果生长不受伤害．
【详解】（1）解：设线段解析式为，
∵线段过点，，∴，解得，
∴线段的解析式为：
当时，，
∴这个恒温系统设定的恒定温度为：．
（2）解：根据解析（1）可知，线段的解析式为：
当时，，
∴B坐标为，
∴点C的坐标为，
∴线段的解析式为：，
设双曲线解析式为：
∵，∴，
∴双曲线的解析式为：，
∵当时，，∴，
∵当时，，∴，
∴气温不低于的适宜温度是：．
答：这天内有小时水果生长不受伤害．
26．（2024·河南周口·模拟预测）很多学生由于用眼不科学，导致视力下降，需要佩戴眼镜．研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例函数关系，其函数图象如图所示．
(1)当近视眼镜的度数是200度时，镜片焦距是多少米？
(2)明明原来佩戴275度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗并注意用眼健康，复查验光后，所配镜片的焦距调整到了0.4米，则明明的眼镜度数下降了多少度？
【答案】(1)0.5米(2)25度
【详解】（1）解：设近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）反比例函数解析式为，
由图可得，当时，，
∴，
∴反比例函数解析式为，
当时，，
答：当近视眼镜的度数是200度时，镜片焦距是0.5米．
（2）解：当时，，
∴（度），
答：明明的眼镜度数下降了25度．
27．（2024·广东佛山·三模）某二手车管理站，用一种一氧化碳（）检测仪测量二手家用汽油小轿车尾气中一氧化碳的含量，这种检测仪的电路图如图1所示，其工作原理为：当尾气中一氧化碳的浓度增加，气敏电阻的阻值变小，电流随之增大，即所显示的一氧化碳含量就越高．已知气敏电阻的阻值随着尾气中一氧化碳的含量变化的关系图象如图2所示，为定值电阻，电源电压恒定不变．
(1)请根据图2，判断气敏电阻与尾气中一氧化碳的含量之间成 函数，并求出它的函数解析式；
(2)该管理站对家用汽油小轿车尾气中一氧化碳检测数据的标准要求为不高于．若某辆小轿车的尾气检测阻值为，则该小轿车尾气中一氧化碳的含量是否达到标准？请说明理由．
【答案】(1)反比例函数，(2)该小轿车尾气中一氧化碳的含量没有达到标准
【详解】（1）解：由图2可知，图象上的点有，
∴，即，
∴与之间成反比例函数，解析式为：．
故答案为：反比例函数，．
（2）将代入函数解析式得：，解得，
∴该小轿车尾气中一氧化碳的含量是，
∵，
∴该小较车尾气中一氧，化碳的含量没有达到标准．
28．（2023·广东清远·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点D，与y轴交于点B，与x轴交于点C．
(1)求m的值以及点D坐标；
(2)P为x轴上的一动点，的面积6时，求P点坐标．
【答案】(1)，(2)或
【详解】（1）解：把点代入，得． 联立，得．
（2）易知，，，
则．
设P点坐标为，故，
解得或．
所以P点坐标为或．
29．（2024·山东济南·三模）如图，一次函数与反比例函数交于、两点，延长交反比例函图象于点，连接．
(1)求一次函数与反比例函数表达式．
(2)求△AOB的面积．
(3)在x轴上是否存在点P，使得是直角三角形？若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为(2)
(3)存在，，或，或或．
【详解】（1）将代入的得，
反比例函数的解析式为，
将代入得，，
将，代入得，解得，
一次函数的解析式为；
（2）过作轴于点，过作轴于点
，，，，
的面积四边形的面积的面积，梯形的面积四边形的面积的面积，
的面积梯形的面积；
（3）延长交反比例函图象于点，
点与点关于原点对称，
，
设，
，，，
①当时，，
，
解得，
，或，；
②当时，，
，
解得，
；
③当时，，
，
解得，
，
综上所述，，或，或或．
30．（2024·黑龙江大庆·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于 A，B两点，与x轴交于点 C，与y轴交于点 D，已知点 A的坐标为，点 B的坐标为．
(1)求反比例函数 与一次函数的解析式；
(2)结合图象，请直接写出不等式 的解集；
(3)在y轴上是否存在一点 P，使得 周长最小，若存在，求出点 P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)；(2)或(3)存在，
【详解】（1）把代入反比例解析式得：，即，
则反比例解析式为；
点的坐标为，，解得：，
，把与坐标代入一次函数解析式得：，解得：，
一次函数的解析式为；
（2）由（1）得，，
，即为直线在反比例函数下面的部分和交点，或；
（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时三角形周长最小，
根据题意和作图可知，，，
设直线解析式为，，解得，
直线解析式为，．
31．（2024·山东济南·二模）如图，反比例函数 的图象经过点，射线与反比例函数的图象的另一个交点为，射线与轴交于点，与轴交于点，轴，垂足为．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求的长；
(3)在x轴上是否存在点P，使得△APE与相似，若存在，请求出满足条件点P的坐标．若不存在说明理由．
【答案】(1)(2)(3)存在，①当时，；②当时，
【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点，
，反比例函数的解析式为．
（2）解：过点作于，
把代入得，
，
，
，
，
，
．
（3）解：存在．理由如下：
，
，
①当轴时，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴ ，
，
②当时，
∵，
∴，
∵，
∴，
，，
，
，
．
综上所述，满足条件点的坐标为，．
