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专题1观察法求数列的通项公式---自检定时练--详解版
单选题
1.数列的前4项为，，，，则它的一个通项公式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据数列的前项进行猜想，由此求得正确答案.
【详解】将，，，可以写成成，，，
所以的通项公式为.
故选：C
2.数列…的一个通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据分子和分母的数字特征，结合正负交替性进行求解判断即可.
【详解】
该数列的一个通项公式为
故选：D
3．数列的一个通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，化简数列为，根据运算规律，即可求解.
【详解】由数列，可得化为，
可得数列的一个通项公式为.
故选：B.
4．公元前6世纪，希腊的毕达哥拉斯学派研究数的概念时，常常把数描绘成沙滩上的小石子，用它们进行各式各样的排列和分类，叫作“形数”．用3颗石子可以摆成一个正三角形，同样用6颗石子或者10颗石子可以摆成更大的三角形．毕达哥拉斯学派把1，等叫作“三角数”或“三角形数”．同时他们还摆出了正方形数、五边形数、六边形数和其他多边形数．如图所示即摆出的六边形数，那么第20个六边形数为（ ）
A．777 B．778 C．779 D．780
【答案】D
【分析】根据给定图形信息，利用归纳法求出六边形数形成数列的通项公式，即可求出要求的项.
【详解】六边形数从小到大排成一列，形成数列，
依题意，，归纳得，
所以.
故选：D
5.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》.1852年，英国传教士伟烈亚力将该解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.此定理讲的是关于整除的问题，现将1到2031这2031个数中，能被2除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列共有（ ）
A．205项 B．204项 C．203项 D．202项
【答案】B
【分析】将被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列可得，由可得数列的奇数项能被2除余1，，解即可.
【详解】将被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则，
由可得数列的奇数项能被2除余1，
所以，
由可得，
故选：B.
6.图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，第五层有15个球，…，则该“三角垛”第十层的小球个数为（ ）
A．36 B．45 C．55 D．66
【答案】C
【分析】设每一层的小球数构成一个数列，方法1：观察归纳可得答案；方法2：利用累加法可得答案.
【详解】设每一层的小球数构成一个数列，
方法1：
观察归纳发现：
，，，…，
所以.
方法2：
，，，…，所以，
，
所以.
故选：C.
多选题
7.（多选）下列式子可以作为数列，0，，0，，0，…的通项公式的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】利用各选项中的通项公式逐一计算其前6项，再比较判断作答.
【详解】对于A，由知，其前6项依次为，0，，0，，0，A正确；
对于B，由知，其前6项依次为，0，，0，，0，B正确；
对于C，由知，其前6项依次为，0，，0，，0，C正确；
对于D，由知，其前6项依次为0，，0，，0，，D不正确正确.
所以选项A，B，C中的通项公式均可作为数列，0，，0，，0，…的通项公式.
故选：ABC
8.“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦……..”.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上的第一道数列题，大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，从第一项起依次为0，2，4，8，12，18，24，32，40，50………..记大衍数列为，则下列命题正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．当为偶数时，
【答案】CD
【分析】根据所给数列，总结猜想通项公式，进而用通项公式求解A，利用裂项相消可求B，直接求和可求C，根据归纳所得通项公式可求D.
【详解】解：根据数列前项依次是，
则奇数项为：，，，，，，
偶数项为：，，，，，，
所以通项公式为，
所以，A错误，
为奇数且时，，
所以，
B错误；
对于C，，C正确；
对于D，当n为偶数时，，D正确，
故选:CD.
三、填空题
9.画条直线，最多将圆的内部分为 部分．
【答案】
【分析】利用观察归纳法求解即得.
【详解】1条直线将圆的内部分成部分，2条直线将圆的内部分成部分，
3条直线将圆的内部最多分成部分，4条直线将圆的内部最多分成部分，
由此可得条直线将圆的内部最多分成部分.
故答案为：
10.古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成三角形数，如1，3，6，10，15.我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球）.若一“落一形”三角锥垛有10层，则该堆垛第10层球的个数为 .
【答案】55
【分析】根据给定条件归纳总结出“三角形数”的通项公式即可求出第10层球的个数.
【详解】设“落一形”三角锥垛从顶上一层开始，依次往下的各层球的个数形成数列，
，，，，，…，
由此得，即，
则，
∴堆垛第10层球的个数为55.
故答案为：55.
解答题
11.写出下面各数列的一个通项公式．
(1)；
(2)6，66，666，6666，…；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）分析分子分母的关系结合分母特点写出通项公式；
（2）分析数值的组成形式，得出规律，由此可写出通项公式；
（3）根据奇偶项、分子、分母的规律写出通项公式；
（4）分别考虑分子分母的通项公式，由此可得结果.
【详解】（1）这个数列前5项中，每一项的分子比分母少1，且分母依次为，
所以它的一个通项公式为．
（2）这个数列的前4项可写为，，
所以它的一个通项公式为．
（3）这个数列的奇数项为负，偶数项为正，前6项的绝对值可看作分母依次为，
分子依次为，
所以它的一个通项公式为.
（4）将数列变形为对于分子可得分子的通项公式为，
对于分母联想到数列可得分母的通项公式为，
所以原数列的一个通项公式为．
12.如图所示，第个图形是由正边形拓展而来，则第个图形共有多少个顶点.
【答案】
【分析】根据给定图形，依次分析每个图形的顶点个数并总结规律，利用归纳法求解即得.
【详解】第一个图由正三角形每边中点向外扩展2边，共有个顶点；
第二个图由正方形每边中点向外扩展3边，共有个顶点；
第三个图由正五方形每边中点向外扩展4边，共有个顶点；
第四个图由正六方形每边中点向外扩展5边，共有个顶点；
……
第个图由正方形每边中点向外扩展边，共有个顶点.
所以第个图形共有个顶点.
故答案为：
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专题1观察法求数列的通项公式---自检定时练--学生版
【1】知识清单
①分数的基本性质；②轴线角的正余弦值
【2】微型自检报告
完成时间 不会解答的题号 解答错误的题号 需要重点研究的题目
分钟
【3】自检定时练(建议40分钟)
单选题
1.数列的前4项为，，，，则它的一个通项公式是（ ）
A． B． C． D．
2.数列…的一个通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
3．数列的一个通项公式为（ ）
A． B． C． D．
4．公元前6世纪，希腊的毕达哥拉斯学派研究数的概念时，常常把数描绘成沙滩上的小石子，用它们进行各式各样的排列和分类，叫作“形数”．用3颗石子可以摆成一个正三角形，同样用6颗石子或者10颗石子可以摆成更大的三角形．毕达哥拉斯学派把1，等叫作“三角数”或“三角形数”．同时他们还摆出了正方形数、五边形数、六边形数和其他多边形数．如图所示即摆出的六边形数，那么第20个六边形数为（ ）
A．777 B．778 C．779 D．780
5.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》.1852年，英国传教士伟烈亚力将该解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.此定理讲的是关于整除的问题，现将1到2031这2031个数中，能被2除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列共有（ ）
A．205项 B．204项 C．203项 D．202项
6.图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，第五层有15个球，…，则该“三角垛”第十层的小球个数为（ ）
A．36 B．45 C．55 D．66
多选题
7.（多选）下列式子可以作为数列，0，，0，，0，…的通项公式的是（ ）
A． B．
C． D．
8.“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦……..”.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上的第一道数列题，大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，从第一项起依次为0，2，4，8，12，18，24，32，40，50………..记大衍数列为，则下列命题正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．当为偶数时，
三、填空题
9.画条直线，最多将圆的内部分为 部分．
10.古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成三角形数，如1，3，6，10，15.我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球）.若一“落一形”三角锥垛有10层，则该堆垛第10层球的个数为 .
解答题
11.写出下面各数列的一个通项公式．
(1)；
(2)6，66，666，6666，…；
(3)；
(4)．
12.如图所示，第个图形是由正边形拓展而来，则第个图形共有多少个顶点.
【4】核对简略答案,详解请看解析版！
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D B D B C ABC CD
【答案】
10.【答案】55
11.【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
12.【答案】
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