第三章 检测试题
(时间:120分钟 满分:150分)
【选题明细表】
知识点、方法
题号
不等式的性质
1、5
一元二次不等式的解法
3、13、19、22
平面区域与线性规划
2、4、10、17、20
基本不等式
6、8、9、12、14、15、16、18、21
综合应用
7、11、19、22
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.若<<0,则下列结论正确的是( A )
(A)a>b (B)ab
(C)+<-2 (D)a2>b2
解析:因为<<0,
所以b故选A.
2.不在3x+2y<6表示的平面区域内的一个点是( D )
(A)(0,0) (B)(1,1)
(C)(0,2) (D)(2,0)
解析:3×2+2×0=6,故选D.
3.若不等式x2+kx+1<0的解集为空集,则k的取值范围是( A )
(A)[-2,2] (B)(-∞,-2]∪[2,+∞)
(C)(-2,2) (D)(-∞,-2)∪(2,+∞)
解析:因为不等式x2+kx+1<0的解集为空集,对应的二次函数开口向上,
所以判别式Δ=k2-4≤0,
所以k2≤4,
所以-2≤k≤2,
即k∈[-2,2].故选A.
4.(2014高考新课标全国卷Ⅱ)设x,y满足约束条件则z=x+2y的最大值为( B )
(A)8 (B)7 (C)2 (D)1
解析:作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示,
作直线y=-x,
平移直线y=-x,
当直线y=-x+经过点C时在y轴上的截距取得最大值,
即z取得最大值,
由得
即C(3,2),代入z=x+2y得zmax=3+2×2=7,
故选B.
5.已知a,b,c满足c(A)ab>ac (B)c(b-a)>0
(C)cb2>ab2 (D)ac(a-c)<0
解析:因为c所以c<0,a>0.
则ab>ac,故A正确;
因为b-a<0,c<0,所以c(b-a)>0,故B正确;
当b2=0时,C不正确;
因为a-c>0,ac<0,
所以ac(a-c)<0,故D正确.
6.若正实数x,y满足x+y=2,且≥M恒成立,则M的最大值为( A )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:因为x+y≥2,
且x+y=2,
所以2≥2,当且仅当x=y=1时,等号成立,
所以xy≤1,
所以≥1,
所以1≥M,所以Mmax=1.
故选A.
7.若关于x的不等式x2+px+q<0的解集为{x|10的解集是( D )
(A)(1,2)
(B)(-∞,-1)∪(6,+∞)
(C)(-1,1)∪(2,6)
(D)(-∞,-1)∪(1,2)∪(6,+∞)
解析:由题知x2+px+q=(x-1)(x-2),
故>0,
同解于(x-1)(x-2)(x+1)(x-6)>0,
得x<-1,或16.
故选D.
8.已知m>n>0,则m+的最小值为( C )
(A)1 (B)2 (C)4 (D)8
解析:由m>n>0知m-n>0,
m+=m+
=m-n+≥2
=4,
当且仅当m-n=2时取等号.
故选C.
9.已知x>1,y>1,且ln x,,ln y成等比数列,则xy的最小值是( C )
(A)1 (B) (C)e (D)2
解析:依题意得ln x·ln y=,
所以ln x·ln y=,
所以ln(xy)=ln x+ln y≥2=1,
所以xy≥e,
所以xy的最小值是e.故选C.
10.在平面直角坐标系中,不等式组(a为常数)表示平面区域的面积为9,则的最小值为( D )
(A)-1 (B) (C) (D)-
解析:不等式组表示的可行域如图阴影部分所示.
则×a×2a=9,a=3,
则A(3,-3),
点(-4,2)与点(x,y)的连线的斜率为,
当点(x,y)为(3,-3)时,最小,最小值为-.
故选D.
11.若不等式x2+ax+1≥0对一切x∈(0,)都成立,则a的最小值为( D )
(A)0 (B)-2 (C)-3 (D)-
解析:由对一切x∈(0,),不等式x2+ax+1≥0都成立,
所以ax≥-x2-1,
即a≥-x-.
设g(x)=-x-,只需a≥g(x)max,
而g(x)=-x-在x∈(0,)上是增函数,
所以g(x)=-x-的最大值是g()=-.
故选D.
12.已知a>b>1,P=,Q=(lg a+lg b),R=lg(),则P,Q,R的关系是( D )
(A)P>Q>R (B)Q>R>P
(C)P>R>Q (D)R>Q>P
解析:因为a>b>1,
所以lg a>0,lg b>0,
<==lg 即P二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.若关于x的不等式tx2-6x+t2<0的解集是(-∞,a)∪(1,+∞),则a的值为 .?
解析:依题意可得
解得t=-3,a=-3.
答案:-3
14.已知函数f(x)=-+,若f(x)+2x≥0在(0,+∞)上恒成立,则a的取值范围是 .?
解析:因为f(x)+2x=-++2x≥0在(0,+∞)上恒成立,
即≤2(x+)在(0,+∞)上恒成立,
因为2(x+)≥4,当且仅当x=1时等号成立.
所以≤4,解得a<0或a≥.
答案:(-∞,0)∪[,+∞)
15.(2014高考福建卷)要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是 元.?
解析:设底面矩形的一边长为x,
由容器的容积为4 m3,高为1 m得,
另一边长为 m.
记容器的总造价为y元,
则y=4×20+2(x+)×1×10
=80+20(x+)
≥80+20×2
=160(元),
当且仅当x=,即x=2时,等号成立.
因此,当x=2时,y取得最小值160元,
即容器的最低总造价为160元.
答案:160
16.若实数x,y满足x2+y2+xy=1,且x>0,y>0,则x+y的最大值是 .?
解析:由x2+y2+xy=1可得(x+y)2-xy=1,
所以(x+y)2-1=xy,由于xy≤()2,
所以(x+y)2-1≤()2,因此(x+y)2≤,
因为x>0,y>0,
所以x+y≤,
即x+y的最大值是.
答案:
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(本小题满分10分)
已知函数y=的定义域为R.
(1)求a的取值范围;
(2)解关于x的不等式x2-x-a2+a<0.
解:(1)因为函数y=的定义域为R,
所以ax2+2ax+1≥0恒成立.
①当a=0时,1≥0,不等式恒成立;
②当a≠0时,则解得0综上,a的取值范围为[0,1].
(2)由x2-x-a2+a<0得,(x-a)[x-(1-a)]<0.
因为0≤a≤1,
所以①当1-a>a,即0≤a<时,a②当1-a=a,即a=时,(x-)2<0,不等式无解;
③当1-a所以原不等式的解集为
当0≤a<时,为(a,1-a);
当a=时,为;当18.(本小题满分12分)
某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂,经营中,第一年支出12万元,以后每年支出增加4万元,从第一年起每年蔬菜销售收入50万元,设f(n)表示前n年的纯利润总和(f(n)=前n年总收入-前n年的总支出-投资额72万元)
(1)该厂从第几年开始盈利?
(2)该厂前几年平均纯利润达到最大?并求出年平均纯利润的最大值.
解:(1)依题意,根据f(n)=前n年的总收入-前n年的总支出-投资额72万元,
可得f(n)=50n-[12n+×4]-72
=-2n2+40n-72,
由f(n)>0,即-2n2+40n-72>0,解得2由于n∈N+,故从第三年开始盈利.
(2)年平均纯利润=-2n+40-=40-2(n+),
因为n+≥12,=40-2(n+)≤16,
当且仅当n=6时等号成立,此时年平均纯利润最大值为16万元,
即前6年投资商年平均纯利润达到最大,年平均纯利润最大值为16万元.
19.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=(x≠a,a为非零常数).
(1)解不等式f(x)(2)设x>a时,f(x)有最小值为6,求a的值.
解:(1)f(x)整理为(ax+3)(x-a)<0.
当a>0时,(x+)(x-a)<0,
所以解集为{x|-当a<0时,(x+)(x-a)>0,
解集为{x|x>-或x(2)设t=x-a,则x=t+a(t>0).
所以f(x)=
=t++2a
≥2+2a
=2+2a.
当且仅当t=,
即t=时,等号成立,
即f(x)有最小值2+2a.
依题意有2+2a=6,
解得a=1.
20.(本小题满分12分)
某厂生产甲、乙两种产品,生产每吨产品所需的劳动力、钢材以及耗电量如下表:
产品品种
劳动力(单位:个)
钢材(单位:千克)
电(单位:千瓦)
甲产品
3
9
4
乙产品
10
4
5
已知生产甲产品的利润是每吨3万元,生产乙产品的利润是每吨5万元,现因条件限制,该厂仅有劳动力300个,钢材360千克,并且供电局只能供电200千瓦,试问该厂如何安排生产,才能获得最大利润?
解:设安排生产甲,乙两种产品分别为x吨,y吨,
利润为z万元,
那么
目标函数为z=3x+5y,
作出上述二元一次不等式组所表示的平面区域(图中阴影部分),即可行域.
将直线3x+5y=0向右上方平行移动,经过M(20,24)时,z取最大值180.
答:该厂生产甲,乙两种产品分别为20吨和24吨时,获得最大利润180万元.
21.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=.
(1)若f(x)>k的解集为{x|x<-3或x>-2},求k的值;
(2)对任意x>0,f(x)≤t恒成立,求t的取值范围.
解:(1)f(x)>k?kx2-2x+6k<0.
由已知,得{x|x<-3或x>-2}是其解集,
所以kx2-2x+6k=0的两根是-3,-2.
由根与系数的关系可知(-2)+(-3)=,即k=-.
(2)因为x>0,f(x)==≤=,当且仅当x=时取等号.又已知f(x)≤t对任意x>0恒成立,故t≥,即t的取值范围是[,+∞).
22.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=ax2+a2x+2b-a3,当x∈(-2,6)时,其值为正,而当x∈
(-∞,-2)∪(6,+∞)时,其值为负.
(1)求实数a,b的值及函数f(x)的解析式;
(2)设F(x)=-f(x)+4(k+1)x+2(6k-1),问k取何值时,函数F(x)的值恒为负值?
解:(1)由题意可知-2和6是方程f(x)=0的两根,
所以所以
所以f(x)=-4x2+16x+48.
(2)F(x)=-(-4x2+16x+48)+4(k+1)x+2(6k-1)
=kx2+4x-2.
当k=0时,F(x)=4x-2不恒为负值;
当k≠0时,若F(x)的值恒为负值,
则有
解得k<-2.
课件18张PPT。章末总结 网络建构 主题串讲 网络建构网络点拨
1.一条主线:不等式.
2.两种方法:比较法、图象(解)法.
3.三种最值:截距、斜率、距离的最值问题.
4.四种思想:函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想. 主题串讲规律方法不等式的性质是本章内容的理论基础,是不等式证明和解不等式的主要依据,在应用不等式性质时要特别注意每个性质的使用条件,不要盲目乱用或错用.规律方法 解含参数的不等式,一般分类标准有:
(1)按二次项系数等于0与不等于0分类;
(2)二次项系数不为零时,按判别式Δ进行分类;
(3)当Δ>0时,按根的大小进行分类.规律方法 对于不等式恒成立求参数范围问题常见类型及解法有以下几种:
(1)变更主元法:
根据实际情况的需要确定合适的主元,一般知道取值范围的变量要看作主元.
(2)分离参数法:
若f(a)若f(a)>g(x)恒成立,则f(a)>g(x)max.
(3)数形结合法:
利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化.四、简单的线性规划问题
【典例4】 (2014高考广东卷)若变量x,y满足约束条件且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n,则m-n等于( )
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8规律方法目标函数最值的确定采用的是平面图解法,其解题要点是:①确定可行域;②让动态的目标函数的图象经过可行域;③确定目标函数的最值.当目标函数是非线性时,其函数图象是动态的,且要经过可行域,从图象变化中就可找出最值.规律方法点击进入检测试题 谢谢观赏
Thanks!课件35张PPT。第三章 不等式
3.1 不等关系与不等式 自主预习 课堂探究 自主预习1.通过具体情境,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,会用不等式及不等式组表示不等关系.
2.会用作差法(或作商法)比较两个实数或代数式值的大小.
3.掌握不等式的性质,能运用不等式的性质解决问题.课标要求知识梳理1.比较实数a、b的大小
(1)文字叙述
如果a-b是 ,那么a>b;
如果a-b ,那么a=b;
如果a-b是 ,那么a(2)符号表示
a-b>0?a b;
a-b=0?a b;
a-b<0?a b.正数等于零负数>=c ac>bd 自我检测1.(用不等式表示不等关系)某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌,是指示司机要安全通过隧道,应使车载货物高度h满足关系为( )
(A)h<4.5 (B)h>4.5 (C)h≤4.5 (D)h≥4.5C解析:限高指不超过,所以限高4.5米指h≤4.5.B 4.(用不等式表示不等关系)实数x不大于3,用不等式表示为 .?5.(不等式的性质)已知a+b>0,b<0,那么a,b,-a,-b从小到大的顺序为 .?【例1】 你有过乘坐火车的经历吗?火车站售票处有规定:儿童身高不足1.2 m的免票,身高1.2 m～1.5 m的儿童火车票为半价,身高超过1.5 m的儿童买全价票.你能用不等式表示这些规定吗? 课堂探究用不等式来表示不等关系 题型一题后反思 (1)利用不等式表示不等关系时,应注意必须是具有相同性质,可 以比较大小的两个量才可用,没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示.
(2)在用不等式表示实际问题时,一定要注意单位统一.即时训练1-1:配制A、B两种药剂,需要甲、乙两种原料.已知配一剂A种药需甲料3克,乙料5克;配一剂B种药需甲料5克,乙料4克.今有甲料20克,乙料25克,若A、B两种药至少各配一剂,设A、B两种药分别配x、y剂(x、y∈N),请写出x、y应满足的不等关系式.【备用例1】 用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18 m,要求菜园的面积不小于216 m2,靠墙的一边长为x m.试用不等式表示其中的不等关系.比较大小题型二【教师备用】
常见的比较大小的方法有哪几种?题后反思 (1)利用作差法比较大小的一般步骤为:作差——变形——定号——结论.变形的目的是能判断符号,变形越彻底就越易判断符号.常用方法为配方、平方差公式、立方差、立方和公式、通分、因式分解、分子(或分母)有理化等.
(2)作商法比较大小一般适用于含幂式、积式、分式且符号确定的数或式的大小的比较,作商后可变形为能与1比较大小的式子.A 利用不等式性质证明不等式题型三【教师备用】
在使用不等式的性质时,应注意什么?利用不等式的性质求取值范围 题型四点击进入课时作业 谢谢观赏
Thanks!课件32张PPT。3.2 一元二次不等式及其解法
第一课时 一元二次不等式及其解法 自主预习 课堂探究 自主预习1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.
2.掌握图象法解一元二次不等式.
3.会用分类讨论法解含参数的一元二次不等式.
4.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.课标要求知识梳理1.一元二次不等式
只含有 未知数,并且未知数的最高次数是 的不等式,叫做一元二次不等式.一个22.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系自我检测A解析:因为x2-3x-4=(x+1)(x-4)>0,所以x<-1或x>4.故选A.C B 1.“三个二次”间具有怎样的关系? 课堂探究解不含参数的一元二次不等式 题型一提示:“三个二次”关系的实质是数形结合思想:ax2+bx+c=0(a≠0)的解?y=ax2+bx+c(a≠0)图象上的点(x,0)的横坐标;ax2+bx+c>0(a≠0)的解?y=ax2+bx+c(a≠0)图象上点(x,y)在x轴上方时x的取值范围.可用图表示:【教师备用】 2.画出解一元二次不等式的程序框图.提示:解一元二次不等式的程序框图如图:【例1】 解下列不等式:
(1)-2x2+x-6<0;(2)-x2+6x-9≥0;
(3)x(7-x)>0;(4)13-9x2<0.题后反思求解不含参数的一元二次不等式的一般步骤:
(1)通过对不等式的变形,使不等式右侧为零,使二次项系数为正.
(2)对不等式左侧因式分解,若不易分解,则计算对应方程的判别式.
(3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根.
(4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.
(5)根据图象写出不等式的解集. 解下列不等式:
(1)x2+2x-15>0;(2)x2>2x-1;(3)x2<2x-2.即时训练1-1:解含参数的一元二次不等式题型二题后反思解含参数的一元二次不等式时要对参数分类讨论.
(1)讨论二次项系数为零和不为零;
(2)讨论判别式Δ>0,Δ=0,Δ<0;
(3)讨论根的大小.简记为“一a、二Δ、三两根大小”.可化为一元二次不等式的简单分式不等式的解法题型三题后反思点击进入课时作业 谢谢观赏
Thanks!课件25张PPT。第二课时 一元二次不等式及其解法习题课 自主预习 课堂探究 自主预习1.在掌握一元二次不等式解法的基础上,能够根据一元二次不等式的解集,确定不等式中参数的值.
2.能够求解与一元二次不等式相关的不等式恒成立问题.
3.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型,并加以解决.课标要求自我检测CA C 课堂探究已知不等式的解集求参数的值题型一题后反思 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根x1,x2时,二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点(x1,0),(x2,0),不等式ax2+bx+c>0(或ax2+bx+c<0)的解集区间的端点为x1,x2.当已知ax2+bx+c>0(或ax2+bx+c<0)的解集时,也就知道了ax2+bx+c=0的根,求参数时一般需把根代入方程或利用根与系数的关系(韦达定理)得出.即时训练1-1:已知不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}.
(1)求a、b;
(2)解不等式ax2-(ac+b)x+bc<0(c∈R).与一元二次不等式有关的恒成立问题 题型二一元二次不等式的实际应用题型三题后反思 解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型,即分析题目中有哪些未知量,然后选择其中起关键作用的未知量,设此未知量为x,用x来表示其他未知量,再根据题目中的不等关系列不等式. 点击进入课时作业点击进入周练卷 谢谢观赏
Thanks!课件32张PPT。3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域 自主预习 课堂探究 自主预习1.知道什么是二元一次不等式及二元一次不等式组.
2.了解二元一次不等式的几何意义,并会画其表示的平面区域.
3.能从实际情境中抽象出二元一次不等式组,并能用平面区域表示二元一次不等式组的解.课标要求知识梳理1.二元一次不等式(组)的概念
(1)二元一次不等式:我们把含有两个未知数,并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式.
(2)二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组.
(3)二元一次不等式(组)的解集:满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成 ,所有这样的 构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集.有序数对(x,y)有序数对(x,y)2.二元一次不等式表示的平面区域
在平面直角坐标系中,二元一次不等式Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成 ,以表示区域不包括边界.
3.二元一次不等式表示的平面区域的确定
对于直线Ax+By+C=0同一侧的所有点,把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得的符号都 ,因此只需在直线Ax+By+C=0的同一侧取某个特殊点(x0,y0)作为测试点,由Ax0+By0+C的符号就可以断定Ax+By+C>0表示的是直线Ax+By+C=0哪一侧的平面区域.虚线相同自我检测BD B B 课堂探究二元一次不等式(组)表示的平面区域题型一【教师备用】 如何判断一个二元一次不等式表示对应直线的哪一侧?提示:(1)特殊点法 作出直线Ax+By+C=0,在直线的一侧任取一点P(x0,y0).若Ax0+By0+C>0,则包含此点P的半平面为不等式Ax+By+C>0所表示的平面区域,不包含点P的半平面为不等式Ax+By+C≤0所表示的平面区域.题后反思(1)在画二元一次不等式(组)表示的平面区域时,注意区分边界的虚实.Ax+By+C≥0(≤0)表示的平面区域包括直线Ax+By+C=0,该直线要画成实线;Ax+By+C>0(<0)表示的平面区域不包括直线Ax+By+C=0,该直线要画成虚线.
(2)测试点选取要恰当.一般地选原点(0,0)、(0,1)或(1,0),如果测试点的坐标满足不等式,则所求平面区域为包括测试点的直线的一侧,否则在直线的另一侧或直线,最后将平面区域用阴影表示出来.二元一次不等式(组)表示的平面区域的面积与整点个数问题 题型二题后反思 求平面区域面积的一般步骤:
第一步:画出不等式组表示的平面区域;
第二步:根据区域的形状设计计算过程,必要时可采用“割补法”;
第三步:求出区域的顶点坐标;
第四步:通过相应的距离公式、面积公式求出区域的面积.二元一次不等式组表示平面区域的应用 题型三题后反思解决此类问题应先根据问题的需要选取起关键作用的、关联较多的量用两个字母表示,进而问题中的所有量都用这两个字母表示出来,再由实际问题中有关的限制条件或由问题中所有量的实际意义写出所有的不等式,再由这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来即可.点击进入课时作业 谢谢观赏
Thanks!课件28张PPT。3.3.2 简单的线性规划问题
第一课时 简单的线性规划问题 自主预习 课堂探究 自主预习1.了解线性约束条件、目标函数、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念,了解线性规划的意义.
2.能够利用图解法求解基本的线性规划问题.
3.能够利用线性规划知识解决实际优化问题.课标要求知识梳理线性规划中的基本概念一次解集合自我检测CD 课堂探究求线性目标函数的最值问题题型一【教师备用】
1.在线性约束条件下,最优解唯一吗?答案:最优解可能有无数多个,直线l0:ax+by=0与可行域中的某条边界直线平行时求目标函数z=ax+by+c的最值,最优解就可能有无数多个.题后反思(1)一般地,对目标函数z=ax+by,若b>0,则纵截距与z同号,因此,纵截距最大时,z也最大;若b<0,则纵截距与z异号,因此,纵截距最大时,z反而最小.
(2)解二元线性规划问题的一般步骤是:
①画:在直角坐标平面上画出可行域和直线ax+by=0(目标函数为z=ax+by);
②移:平行移动直线ax+by=0,确定使z=ax+by取得最大值或最小值的点;
③求:求出取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及最大值和最小值;
④答:给出正确答案.求非线性目标函数的最值题型二题后反思 (1)本题巧妙利用目标函数z的几何意义,结合可行域把问题解决,这在以后做题时值得借鉴.线性规划中的实际应用问题 题型三题后反思利用线性规划解决实际问题的步骤(1)设出未知数(当数据较多时,可以列表格来分析数据);(2)列出约束条件,确立目标函数;(3)作出可行域;(4)利用图解法求出最优解;(5)得出结论.点击进入课时作业 谢谢观赏
Thanks!课件24张PPT。第二课时 平面区域与线性规划习题课 自主预习 课堂探究 自主预习1.进一步巩固二元一次不等式(组)所表示的平面区域.
2.掌握一些简单的线性规划的逆问题,即求参数值或参数的取值范围问题.
3.了解简单的线性规划最优整数解的求解方法.课标要求知识梳理1.一般地,对于二元一次不等式Ax+By+C>0所表示的平面区域,在A为正数的前提下,当B为正数时,不等式表示对应直线的上方区域,当B为负数时不等式表示对应直线的下方区域;对于二元一次不等式Ax+By+C<0,在A为正数的前提下,当B为正数时不等式表示对应直线的下方区域,当B为负数时,不等式表示对应直线的上方区域,二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.
2.用图解法解线性规划问题的步骤:
(1)确定线性约束条件;
(2)确定线性目标函数;
(3)画出可行域;
(4)利用线性目标函数(直线)求出最优解.
3.在线性规划的实际问题中的题型
主要掌握两种类型;一是给定一定数量的人力、物力资源,问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大,收到的效益最大;二是给定一项任务,问怎样统筹安排,能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小.自我检测DA D 课堂探究二元一次不等式组表示的平面区域 题型一含参数线性规划问题题型二题后反思 含参数的线性规划问题有两种类型,一是约束条件中含有参数,二是目标函数中含有参数.本例属于第一种类型,解题时注意目标函数中斜率与可行域的边界直线的斜率之间的大小关系,有时需分类讨论.线性规划中的整数最优解问题 题型三点击进入课时作业 谢谢观赏
Thanks!课件24张PPT。 自主预习 课堂探究 自主预习1.掌握基本不等式,明确基本不等式成立的条件.
2.了解基本不等式的证明过程.
3.会用基本不等式证明一些简单的不等式.
4.能用基本不等式比较代数式的大小.课标要求知识梳理“a=b”时取“=” 自我检测DB 课堂探究对基本不等式的理解 题型一题型二利用基本不等式比较大小 题后反思(1)在应用基本不等式时,一定要注意是否满足条件,即a>0,b>0.
(2)若问题中一端出现“和式”而另一端出现“积式”,这便是应用基本不等式的“题眼”,不妨运用基本不等式试试看.利用基本不等式证明不等式题型三点击进入课时作业 谢谢观赏
Thanks!课件31张PPT。 自主预习 课堂探究 自主预习1.进一步熟练掌握基本不等式,能够通过拼凑、变形等利用基本不等式求最值.
2.能够利用基本不等式解决实际问题.
3.能够利用基本不等式解决一些不等式的恒成立问题.课标要求知识梳理自我检测DD B 课堂探究对基本不等式的理解 题型一【教师备用】
两个正数的积为定值,它们的和一定有最小值吗?题后反思(1)利用基本不等式求最大值或最小值时应注意:
①x,y一定要都是正数;
②求积xy最大值时,应看和x+y是否为定值;求和x+y最小值时,应看积xy是否为定值;
③等号是否能够成立.
以上三点可简记为“一正、二定、三相等”.
(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件,解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件.题型二利用基本不等式求代数式的最值题后反思(1)配凑法即通过对式子进行变形,配凑出满足基本不等式的条件.
(2)通过消元,化二元问题为一元问题,要注意被代换的变量的范围对另一个变量范围的影响.基本不等式的实际应用题型三题后反思在应用基本不等式解决实际问题时,应注意如下思路和方法
(1)先理解题意,设出变量,一般把要求最值的量定为函数.
(2)建立相应的函数关系,把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题.
(3)在定义域内,利用基本不等式求出函数的最大值或最小值.
(4)回到实际问题中,结合实际意义写出正确的答案.利用基本不等式求解恒成立问题 题型四题后反思 a≥f(x)恒成立?a≥[f(x)]max;a>f(x)恒成立?a>[f(x)]max;
a≤f(x)恒成立?a≤[f(x)]min;a Thanks!第三章 不等式
3.1 不等关系与不等式
【选题明细表】
知识点、方法
题号
用不等式(组)表示不等关系
7
不等式的性质
1、2、4、9、12
比较大小
3、6
用不等式性质求范围
5、10
用不等式性质证明不等式
8、11
基础巩固
1.设a,b,c,d∈R.且a>b,c>d,下列结论中正确的是( A )
(A)a+c>b+d (B)a-c>b-d
(C)ac>bd (D)>
解析:根据不等式的性质,因为a,b,c,d∈R.且a>b,c>d,
所以a+c>b+d,故选A.
2.(2015德州高二检测)已知a,b,c∈R,则下列命题正确的是( C )
(A)a>b?ac2>bc2 (B)>?a>b
(C)?> (D)?>
解析:由a>b,ab<0得a>0,b<0,所以>,故选C.
3.若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x)与g(x)的大小关系是( C )
(A)f(x)(C)f(x)>g(x) (D)随x值变化而变化
解析:f(x)-g(x)=(3x2-x+1)-(2x2+x-1)
=x2-2x+2=(x-1)2+1>0,
所以f(x)>g(x).故选C.
4.已知a>b,则下列不等式:①a2>b2;②<;③>.其中不成立的个数是( D )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解析:虽然已知a>b但并不知道a、b的正负,
如有2>-3,但22<(-3)2,故①错;
2>-3?>-,故②错;如有a=1,b=-2,
则=,=1,故③错.故选D.
5.若α,β满足-<α<β<,则2α-β的取值范围是( C )
(A)(-π,0) (B)(-π,π)
(C)（-,） (D)(0,π)
解析:因为-<α<,所以-π<2α<π,
又-<β<,所以-<-β<,
所以-<2α-β<.又α-β<0,α<,
所以2α-β<.故-<2α-β<.故选C.
6.比较大小:x2+y2+z2 2(x+y+z)-4.?
解析:(作差法)x2+y2+z2-[2(x+y+z)-4]
=x2-2x+1+y2-2y+1+z2-2z+1+1
=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+1≥1,
所以x2+y2+z2>2(x+y+z)-4.
答案:>
7.一辆汽车原来每天行驶x km,如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km,那么在8天内它的行程就超过2200 km,写成不等式为 ;如果它每天行驶的路程比原来少12 km,那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间,用不等式表示为 .?
解析:①原来每天行驶x km,现在每天行驶(x+19)km.
则不等关系“在8天内的行程超过2200 km”,
写成不等式为8(x+19)>2200.
②若每天行驶(x-12)km,
则不等关系是“原来行驶8天的路程现在花9天多时间”,
写成不等式为8x>9(x-12).
答案:8(x+19)>2200 8x>9(x-12)
8.(2015洛阳高二检测)已知a0,求证:>.
证明:因为a0.
将不等式a又因为c>0,所以在不等式<的两边同乘c,
得>.
能力提升
9.若-1<α<β<1,则下列各式中恒成立的是( A )
(A)-2<α-β<0 (B)-2<α-β<-1
(C)-1<α-β<0 (D)-1<α-β<1
解析:由-1<α<1,-1<β<1,得-1<-β<1,
所以-2<α-β<2.但α<β,故-2<α-β<0.故选A.
10.已知-1解:设2x-3y=a(x+y)+b(x-y),由待定系数法可得所以
z=-(x+y)+(x-y),
两式相加得z∈(3,8).
11.已知a>0,b>0,求证:+≥+.
证明:因为a>0,b>0,所以+--
=-+-=+
=(a-b)·(-)=≥0
所以+≥+.
探究创新
12.给出以下四个命题:
①a>b?an>bn(n∈N*);②a>|b|?an>bn(n∈N*);③a;④a.其中真命题的序号是 .?
解析:①中取a=-1,b=-2,n=2,不成立;
②a>|b|,得a>0,所以an>bn成立;
③a成立;
④aa,
故<,
④不成立.
答案:②③
3.2 一元二次不等式及其解法
第一课时 一元二次不等式及其解法
【选题明细表】
知识点、方法
题号
一元二次不等式的概念
1
不含参数的一元二次不等式的解法
2、8、9、10、12
含参数的一元二次不等式的解法
3、5、11
分式不等式的解法
4、7
解不等式与函数结合
6、10
基础巩固
1.下列不等式中是一元二次不等式的是( C )
(A)a2x2+2≥0
(B)<3
(C)-x2+x-m≤0
(D)x3-2x+1>0
解析:选项A中,a2=0时不符合;选项B是分式不等式;
选项D中,最高次数为三次;只有选项C符合.故选C.
2.不等式6-x-2x2<0的解集是( D )
(A){x|-(C){x|x<-或x>2} (D){x|x>或x<-2}
解析:不等式变形为2x2+x-6>0,
又方程2x2+x-6=0的两根为x1=,
x2=-2,所以不等式的解集为{x|x<-2或x>}.
故选D.
3.已知00的解集为( A )
(A){x|x} (B){x|x>a}
(C){x|x<或x>a} (D){x|x<}
解析:因为01,所以a<,
所以不等式的解集为{x|x>或x4.不等式≥0的解集是( B )
(A){x|-≤x≤}
(B){x|-≤x<}
(C){x|x>或x≤-}
(D){x|x≥或x≤-}
解析:原不等式可化为
解得-≤x<,
故其解集为{x|-≤x<}.
故选B.
5.若关于x的不等式ax-b>0的解集为(1,+∞),则关于x的不等式>0的解集为( B )
(A)(-1,2) (B)(-∞,-1)∪(2,+∞)
(C)(1,2) (D)(-∞,-2)∪(1,+∞)
解析:由ax-b>0的解集为(1,+∞)知a>0且=1,
∴a=b,
故>0?(ax+b)(x-2)>0?(x+1)(x-2)>0,
∴x>2或x<-1.故选B.
6.(2015滁州联考)函数f(x)=log2(-x2+x+12)的定义域为 .?
解析:由-x2+x+12>0,得x2-x-12<0,解得-3答案: (-3,4)
7.(2015蚌埠铁路中学模拟)不等式≤的解集为 .?
解析:不等式≤可化为≤2-2,
因为函数y=2x为增函数,所以x--4≤-2,
移项、通分整理为≤0,
此不等式等价于或
解得x≤-1或0所以原不等式的解集为(-∞,-1]∪(0,3].
答案:(-∞,-1]∪(0,3]
8.解下列不等式:
(1)2x2-3x-2>0;
(2)x2-3x+5>0;
(3)-6x2-x+2≥0;
(4)2x2-4x+7<0.
解:(1)法一 原不等式可化为(2x+1)(x-2)>0,
即(x+)(x-2)>0,
所以不等式的解集为{x|x<-或x>2}.
法二 因为Δ=(-3)2-4×2×(-2)=25>0,
所以方程2x2-3x-2=0有两个不同实根,分别是-,2,
所以原不等式的解集为{x|x>2或x<-}.
(2)因为Δ=(-3)2-4×5=9-20<0,
且其对应函数的图象开口向上,
所以x2-3x+5>0的解集为R.
(3)法一 原不等式可化为6x2+x-2≤0,
即(2x-1)(3x+2)≤0,可化为(x-)(x+)≤0,
所以原不等式解集为{x|-≤x≤}.
法二 原不等式可化为6x2+x-2≤0,
因为Δ=12-4×6×(-2)=49>0,
所以方程6x2+x-2=0有两个不同实根,分别是-,,
所以原不等式的解集为{x|-≤x≤}.
(4)因为Δ=(-4)2-4×2×7=-40<0,
且其对应函数的图象开口向上,
所以不等式2x2-4x+7<0的解集为?.
能力提升
9.不等式3+5x-2x2≤0的解集为( C )
(A){x|x>3或x<-}
(B){x|-≤x≤3}
(C){x|x≥3或x≤-}
(D)R
解析:-2x2+5x+3≤0,2x2-5x-3≥0,
(2x+1)(x-3)≥0,
所以x≥3或x≤-.故选C.
10.设函数f(x)=则不等式f(x)>f(1)的解集是 .?
解析:f(1)=12-4×1+6=3,不等式即为f(x)>3.
①当x≥0时,不等式即为
解得
即x>3或0≤x<1;
②当x<0时,不等式即为
解得-3综上,原不等式的解集为(-3,1)∪(3,+∞).
答案:(-3,1)∪(3,+∞)
11.已知不等式ax2>3x-2的解集为{x|x<1或x>b}.
(1)求a,b;
(2)解不等式acx2-(ac+b)x+b<0.
解:(1)因为不等式ax2-3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b},
所以x1=1与x2=b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根,且b>1,a>0.
由根与系数的关系,得解得
(2)由(1)知不等式acx2-(ac+b)x+b<0为cx2-(c+2)x+2<0,
即(cx-2)(x-1)<0.
①当c=0时,不等式为x-1>0,解集为{x|x>1}.
②当c>0时,不等式为(x-)(x-1)<0.
(ⅰ)c=2时,解集为.
(ⅱ)c>2时,<1,此时解集为{x|(ⅲ)当01,此时解集为{x|1③当c<0时,不等式为(x-)(x-1)>0,
此时不等式解集为{x|x>1或x<}.
综上所述:当c<0时,解集为{x|x>1或x<};
当c=0时,解集为{x|x>1};
当0当c=2时,解集为;
当c>2时,解集为{x|探究创新
12.设x满足不等式组则点P(x+2,x-2)在第 象限.?
解析:解不等式(2x-1)(x-3)>0得x>3或x<,
解不等式2(x+2)<得x<-6.
综上得不等式组的解集为(-∞,-6).
所以x+2<0,x-2<0,则点P(x+2,x-2)在第三象限.
答案:三
第二课时 一元二次不等式及其解法习题课
【选题明细表】
知识点、方法
题号
已知不等式的解集求参数值
2、4、7、8、9
与一元二次不等式有关的恒成立问题
1、3、5、10
一元二次不等式的实际应用
11
综合应用
6、12
基础巩固
1.已知不等式x2+ax+4<0的解集为空集,则a的取值范围是( A )
(A)[-4,4] (B)(-4,4)
(C)(-∞,-4]∪[4,+∞) (D)(-∞,-4)∪(4,+∞)
解析:由条件可知,Δ=a2-4×4≤0,所以-4≤a≤4.
2.已知不等式ax2-bx-1≥0的解集是[-,-],则不等式x2-bx-a<0的解集是( A )
(A)(2,3)
(B)(-∞,2)∪(3,+∞)
(C)(,)
(D)(-∞,)∪(,+∞)
解析:依题意知a<0且方程ax2-bx-1=0的两根是-和-.
所以解得
则不等式x2-bx-a<0即为x2-5x+6<0,
故其解集为{x|23.(2015锦州高二期末)若不等式x2-kx+k-1>0对x∈(1,2)恒成立,则实数k的取值范围是( A )
(A)(-∞,2] (B)(1,+∞)
(C)(-∞,2) (D)[1,+∞)
解析:x2-1>kx-k对于x∈(1,2)恒成立.
所以k所以k≤2.故选A.
4.不等式f(x)=ax2-x-c>0的解集为{x|-2解析:由题意得
解得a=-1,c=-2.则函数y=f(-x)=-x2+x+2,
故选C.
5.对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立,则实数a的取值范围是( D )
(A)(-∞,2) (B)(-∞,2]
(C)(-2,2) (D)(-2,2]
解析:当a-2≠0时,
??-2当a-2=0时,-4<0恒成立.
综上所述,-26.若方程x2+(m-3)x+m=0有实数解,则m的取值范围为 .?
解析:方程x2+(m-3)x+m=0有实数解,
则Δ=(m-3)2-4m≥0,
解得m≤1或m≥9.
答案:(-∞,1]∪[9,+∞).
7.不等式x2-2x+3≤a2-2a-1在R上的解集为,则实数a的取值范围是 .?
解析:因为x2-2x-(a2-2a-4)≤0的解集为,
所以Δ=4+4(a2-2a-4)<0,
所以a2-2a-3<0,
所以-1答案:(-1,3)
8.已知关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为(1,2),试求关于x的不等式bx2+ax+1>0的解集.
解:由根与系数的关系,可得
即
所以不等式bx2+ax+1>0,就是2x2-3x+1>0.
由于2x2-3x+1>0?(2x-1)(x-1)>0?x<或x>1.
所以bx2+ax+1>0的解集为(-∞,)∪(1,+∞).
能力提升
9.若不等式ax2+bx+1>0的解集是(-,),则≥0的解集为( B )
(A)(-∞,0)∪(,+∞) (B)(0,)
(C)(-∞,0)∪[,+∞] (D)[0,]
解析:由题知-,是方程ax2+bx+1=0的两根.
所以-×=,所以a=-6.
-+=-,所以b=1.
所以≥0的解集为(0,].故选B.
10.如果关于x的不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则k的取值范围是 .?
解析:当k=0,原不等式变为-<0恒成立;
当k≠0时,
解之得-3答案:(-3,0]
11.某地区上年度电价为0.8元/千瓦时,年用电量为a千瓦时.本年度计划将电价降价到0.55元/千瓦时至0.75元/千瓦时之间,而用户期望电价为0.4元/千瓦时.经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k).该地区电力的成本价为0.3元/千瓦时.
(1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式;
(2)设k=0.2a,当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?
注:收益=实际用电量×(实际电价—成本价)
解:(1)设下调后的电价为x元/千瓦时,依题意知,用电量增至+a,电力部门的收益为
y=(+a)(x-0.3)(0.55≤x≤0.75).
(2)依题意,有
整理,得
解此不等式,得0.60≤x≤0.75.
所以当电价最低定为0.60元/千瓦时时,
仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.
探究创新
12.若不等式>1的解集为R,求k的取值范围.
解:因为x2-3x+3恒为正,
所以原不等式等价于kx2-3kx+4>x2-3x+3,
即(k-1)x2+(3-3k)x+1>0的解集为R,
若k-1=0,即k=1,则显然符合条件,
若k≠1,则
即1综上1≤k<.
即k的取值范围为[1,).
3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域
【选题明细表】
知识点、方法
题号
二元一次不等式(组)表示的平面区域
1、2、11
平面区域中的整点问题
3、6、12
参数(范围)
9、10、11、12
平面区域的面积
5、7
实际应用问题
4、8
基础巩固
1.(2015新余高二期末)在直角坐标系中,满足不等式|y|≥|x|的点(x,y)的集合(用阴影表示)是( B )
解析:点(0,1),(0,-1)满足不等式|y|≥|x|.故选B.
2.不等式组表示的平面区域是( D )
(A)矩形 (B)三角形
(C)直角梯形 (D)等腰梯形
解析:作出平面区域如图,所以平面区域为等腰梯形.
3.设点P(x,y),其中x,y∈N,满足x+y≤3的点P的个数为( A )
(A)10 (B)9 (C)3 (D)无数个
解析:作表示的平面区域,
如图所示,符合要求的点P的个数为10,故选A.
4.完成一项装修工程,需木工和瓦工的比例为2∶3,请木工需付工资每人50元,请瓦工需付工资每人40元,现有工资预算2000元,设请木工x人,瓦工y人,则请工人数的限制条件是( C )
(A) (B)
(C) (D)
解析:排除法:因为x,y∈N*,
所以排除选项B、D.
又因为x与y的比例为2∶3,
所以排除选项A.故选C.
5.(2015宁德质检)若平面区域Ω:的面积为3,则实数k的值为( B )
(A) (B) (C) (D)
解析:
平面区域Ω如图阴影部分所示.
则有3=×（-1）×2,
解得k=.故选B.
6.已知不等式组表示的平面区域S的面积为4,则a等于( B )
(A)-2 (B)2 (C)-4 (D)4
解析:画出不等式组表示的平面区域,如图,
因为S=×2a×a=a2=4,所以a=2.
7.如果点(5,b)在两条平行直线6x-8y+1=0和3x-4y+5=0之间,则b应取的整数值为 .?
解析:由已知得(6×5-8b+1)(3×5-4b+5)<0,
即(8b-31)(b-5)<0,
所以又b∈Z,
所以b=4.
答案:4
8.某校食堂基本以面食和米食为主,面食每百克含蛋白质6个单位,含淀粉4个单位,售价0.5元;米食每百克含蛋白质3个单位,含淀粉7个单位,售价0.4元.学校要求给学生配制成盒饭,每盒至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉,请在直角坐标系中画出每份盒饭中面食、米食的含量所满足的范围.
解:
设每份盒饭中面食为x百克,米食为y百克,则由题意得:
作出不等式组所表示的平面区域如图.
能力提升
9.若不等式组表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是( C )
(A)a<5 (B)a≥7
(C)5≤a<7 (D)a<5或a≥7
解析:
不等式组表示的平面区域如图所示:
当y=a过A(0,5)时表示的平面区域为△ABC.
当5综上,当5≤a<7时表示三角形.
10.已知点P(1,-2)及其关于原点的对称点中有且只有一个在不等式2x-by+1>0表示的平面区域内,则b的取值范围是 .?
解析:设P(1,-2)关于原点的对称点为P′(-1,2),
因为点P与点P′有且只有一个适合不等式,
所以或
得b≥-或b≤-.
答案:（-∞,-]∪[-,+∞）
11.已知D是以点A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部),如图所示.
(1)写出表示区域D的不等式组;
(2)设点B,C分别在直线4x-3y-a=0的异侧,求a的取值范围.
解:(1)用两点式求得直线AB,AC,BC的方程分别为
7x-5y-23=0,x+7y-11=0,4x+y+10=0.
因为原点(0,0)在区域D内,
所以表示区域D的不等式组为
(2)将B的坐标代入4x-3y-a,
得14-a.
将C的坐标代入4x-3y-a,得-18-a.
根据题意,得(14-a)(-18-a)<0.
解得-18故a的取值范围为(-18,14).
探究创新
12.设平面点集A={(x,y)|(y-x)·(y-)≥0},B={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤1},则A∩B所表示的平面图形的面积为( D )
(A)π (B)π
(C)π (D)
解析:
平面点集A表示的平面区域就是不等式组
与表示的两块平面区域,而平面点集B表示的平面区域为以点(1,1)为圆心,以1为半径的圆及圆的内部,作出它们所表示的平面区域如图所示,图中的阴影部分就是A∩B所表示的平面图形.由于圆和曲线y=关于直线y=x对称,因此,阴影部分所表示的图形面积为圆面积的,即为,故选D.
3.3.2 简单的线性规划问题
第一课时 简单的线性规划问题
【选题明细表】
知识点、方法
题号
线性目标函数的最值问题
1、2、3、6
非线性目标函数的最值
5、7、8、9、10、12
线性规划中的实际应用问题
4、11
基础巩固
1.(2014高考天津卷)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=x+2y的最小值为( B )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
解析:
不等式组表示的可行域如图所示.
由得A(1,1).
由图知,当z=x+2y经过A(1,1)时,z有最小值为3.故选B.
2.(2015德州联考)设实数x,y满足约束条件则z=3x-2y的最小值为( A )
(A)-2 (B)1 (C)8 (D)13
解析:不等式组表示的可行域如图阴影部分所示.由z=3x-2y得y=x-,平移直线y=x,经过A(0,1)时,-最大,此时z最小,
z最小=3×0-2×1=-2.故选A.
3.(2015泉州质检)若点(x,y)在曲线y=-|x|与y=-2所围成的封闭区域内(包括边界),则2x-y的最大值为( C )
(A)-6 (B)4 (C)6 (D)8
解析:如图点(x,y)在阴影部分区域内,
设2x-y=z,
则y=2x-z.
当直线y=2x-z过点A(2,-2)时-z最小,此时z最大.
z最大=2×2-(-2)=6.故选C.
4.(2013湖北卷)某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行,A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1600元/辆和2400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B型车不多于A型车7辆,则租金最少为( C )
(A)31200元 (B)36000元 (C)36800元 (D)38400元
解析:设租用A型车x辆,B型车y辆(x,y∈N),租金为z元,则即
画出可行域,
则目标函数z=1600x+2400y=800(2x+3y)在点N(5,12)处取得最小值36800,故选C.
5.已知x,y满足约束条件则(x+3)2+y2的最小值为( D )
(A) (B)2 (C)8 (D)10
解析:
画出可行域(如图所示).(x+3)2+y2即点A(-3,0)与可行域上点(x,y)间距离的平方.显然|AC|长度最小,所以|AC|2=(0+3)2+(1-0)2=10.故选D.
6.实数x、y满足不等式组则目标函数z=x-y取得最大值时的最优解为 .?
解析:
不等式组表示的可行域如图阴影部分所示,由z=x-y得y=x-z.当直线过点(1,0)时,-z最小,此时z最大.
答案:(1,0)
7.已知实数x,y满足则b=的取值范围是 .?
解析:画出可行域如图,
b=表示可行域内的点P(x,y)与原点O(0,0)连线的斜率,当P在点A(1,2)时,b取得最大值2,当P在点B时,b取得最小值.
所以b∈[,2].
答案:[,2]
8.如果点P在平面区域上,点Q在曲线x2+(y+2)2=1上,求|PQ|的最小值.
解:
画出不等式组所表示的平面区域,x2+(y+2)2=1所表示的曲线为以(0,-2)为圆心,1为半径的一个圆.
如图所示,只有当点P在点A(0,),点Q在点B(0,-1)时,
|PQ|取最小值.
能力提升
9.已知O是坐标原点,点A(-1,1),若点M(x,y)为平面区域上的一个动点,则|AM|的最小值是( A )
(A) (B) (C) (D)
解析:作出表示的平面区域为如图所示的阴影部分,|AM|的最小值为点A到直线2x+y-2=0的距离d==.故选A.
10.若实数x,y满足则z=的取值范围为 .?
解析:画出可行域如图,
z=表示可行域内的点P(x,y)与点(1,-2)连线的斜率,
因为kAB=,kOA=-2,
由图知,z=的取值范围为(-∞,-2]∪[,+∞).
答案:(-∞,-2]∪[,+∞)
11.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元,该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨.那么该企业分别生产多少吨的甲、乙两种产品,可获得最大利润,且最大利润是多少?
解:设该企业生产甲、乙两种产品分别为x,y吨,可获利润z万元,则z=5x+3y.
由图可知,当x=3,y=4时,z最大,且zmax=27(万元).
即该企业生产甲产品3吨,乙产品4吨时,可获利润最大,最大利润为27万元.
探究创新
12.若函数f(x)=x2+ax+2b在区间(0,1),(1,2)内各有一个零点,求的取值范围.
解:由已知得:?
?
其表示的区域M如图所示:
表示C(1,2)与M区域中的点(a,b)连线的斜率.
因为A(-3,1),B(-1,0),kCA=,kCB=1,
从图中可知∈(,1),
所以的取值范围为(,1).
第二课时 平面区域与线性规划习题课
【选题明细表】
知识点、方法
题号
二元一次不等式组表示平面区域
5
目标函数的最值(范围)问题
1、6、9
参数(范围)问题
2、3、4、7、8、10、11
最优整数解问题
12
基础巩固
1.若变量x,y满足约束条件则z=3x+4y的最大值是( C )
(A)12 (B)26 (C)28 (D)33
解析:如图画出可行域,
画直线y=-x,平移直线y=-x,当它经过点A(4,4)时z取得最大值,所以z的最大值为28.故选C.
2.(2015洛阳高二期末)设实数x,y满足不等式组则的取值范围是( B )
(A)[0,] (B)[,]
(C)[0,] (D)[,]
解析:不等式组表示的可行域如图阴影部分所示,点A(-3,0)与点(x,y)连线的斜率为,
则kAC≤≤kAB,
而kAC==,kAB==.
故选B.
3.若函数y=2x图象上存在点(x,y)满足约束条件则实数m的最大值为( B )
(A) (B)1 (C) (D)2
解析:如图,
当y=2x经过且只经过x+y-3=0和x=m的交点时,即三条曲线有唯一公共点,m取到最大值,此时,即(m,2m)在直线x+y-3=0上,由选项知选B.
4.(2015山东师大附中模拟)实数x,y满足若目标函数z=x+y取得最大值4,则实数a的值为( C )
(A)4 (B)3 (C)2 (D)
解析:
作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示.
当z=x+y过点A时z最大,
又由得A(a,a),
故由题意可得2a=4,a=2.故选C.
5.已知O是坐标原点,点A(-1,1),若点M(x,y)为平面区域上的一个动点,则·的取值范围是( C )
(A)[-1,0] (B)[0,1]
(C)[0,2] (D)[-1,2]
解析:
作出可行域,如图所示,
·=-x+y.设z=-x+y,作l0:x-y=0,易知,过点(1,1)时,z有最小值,zmin=-1+1=0;过点(0,2)时,z有最大值,zmax=0+2=2,所以·的取值范围是[0,2].故选C.
6.若实数x,y满足则z=3x+2y的最小值是 .?
解析:不等式组表示的可行域如图阴影部分所示.
设t=x+2y,则y=-x+.
当x=0,y=0时t最小=0.
z=3x+2y的最小值为1.
答案:1
7.已知x,y满足约束条件如果(2,)是z=ax-y取得最大值时的最优解,则实数a的取值范围是 .?
解析:画出可行域如图,将目标函数化为直线的斜截式方程y=ax-z,当目标函数的斜率大于等于3y-x=2的斜率时,直线y=ax-z在点(2,)处截距最小,即a≥时,(2,)是目标函数z=ax-y取得最大值时的最优解.
答案:[,+∞)
8.设z=kx+y,其中实数x,y满足若z的最大值为12,求实数k的值.
解:作出可行域如图中阴影所示,
由图可知,当0≤-k<时,直线y=-kx+z经过点M(4,4)时z最大,所以4k+4=12,解得k=2(舍去);当-k≥时,直线y=-kx+z经过点N(2,3)时z最大,所以2k+3=12,解得k=(舍去);当-k<0时,直线y=-kx+z经过点M(4,4)时z最大,所以4k+4=12,解得k=2,符合.综上可知,k=2.
能力提升
9.已知a>0,b>0,且满足2(A)（,） (B)（,16）
(C)（1,16) (D)（,4）
解析:可行域如图阴影部分所示.
点O到AB的距离
d==.
OD=4.
所以10.(2014高考湖南卷)若变量x,y满足约束条件且z=2x+y的最小值为-6,则k= .?
解析:
画出可行域,由题意可知不等式组表示的区域为阴影部分,平移直线2x+y=0,可知在点(k,k)处z=2x+y取得最小值,故zmin=2k+k=-6,解得k=-2.
答案:-2
11.若对满足不等式组的任意实数x,y,都有2x+y≥k成立,则实数k的最大值为 .?
解析:令目标函数z=2x+y,可行域为如图所示的阴影部分,由得当目标函数图象经过点A（,1）时,z取得最小值为2,故k≤2,则k的最大值为2.
答案:2
探究创新
12.要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格,每张钢板可同时截得三种规格的小钢板块数如表所示:
钢板类型
规格类型
A规格
B规格
C规格
第一种钢板
2
1
1
第二种钢板
1
2
3
今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块,问各截这两种钢板多少张可得所需的三种规格成品,且使所用钢板张数最少?
解:设需截第一种钢板x张,第二种钢板y张(x,y∈N).
可得求目标函数z=x+y取得最小值时的x、y.
作可行域如图所示,平移直线z=x+y,可知直线经过A点（,）,此时x+y=,但与都不是整数,所以可行域内的点A（,）不是最优解,
可在可行域内打网格,描出A（,）附近的所有整点,接着平移直线l:x+y=0,会发现当移至B(3,9)、C(4,8)时,z取得最小值12.
故有两种截法.
第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张;第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张.两种方法最少要截两种钢板共12张.
3.4 基本不等式:≤
第一课时 基本不等式
【选题明细表】
知识点、方法
题号
对基本不等式的理解
1、3、9、10、13
利用基本不等式证明不等式
2、5、8、11、12
利用基本不等式比较大小
4、6、7、12
基础巩固
1.下列各式中,对任何实数x都成立的一个式子是( C )
(A)lg(x2+1)≥lg(2x) (B)x2+1>2x
(C)≤1 (D)x+≥2
解析:对于A,当x≤0时,无意义,故A不恒成立;对于B,当x=1时,x2+1=2x,故B不成立;对于D,当x<0时,不成立.对于C,x2+1≥1,所以≤1,成立.故选C.
2.四个不相等的正数a,b,c,d成等差数列,则( A )
(A)> (B)<
(C)= (D)≤
解析:因为a+d=b+c,a,b,c,d均是正数且互不相等,
所以=>.故选A.
3.若函数f(x)=x+(x>2)在x=a处取最小值,则a等于( C )
(A)1+ (B)1+ (C)3 (D)4
解析:因为x>2,所以x-2>0,所以f(x)=x+=x-2++2≥2+2=4,当且仅当x-2=,即x=3时,等号成立,所以a=3.故选C.
4.已知a,b∈(0,1),且a≠b,下列各式中最大的是( D )
(A)a2+b2 (B)2
(C)2ab (D)a+b
解析:因为a,b∈(0,1),所以a2所以a2+b22ab(因为a≠b),
所以2ab又因为a+b>2(因为a≠b),所以a+b最大.故选D.
5.(2015宿州二中月考)设a、b∈R,且a≠b,a+b=2,则必有( B )
(A)1≤ab≤ (B)ab<1<
(C)ab<<1 (D)解析:若a>0,b>0,a≠b,则ab<（）2=1,又=>=
（）2=1,所以ab<1<.故选B.
6.设a>1,且m=loga(a2+1),n=loga(a+1),p=loga(2a),则m,n,p的大小关系是 (用“>”连接).?
解析:因为a>1,所以a2+1>2a>a+1,
所以loga(a2+1)>loga(2a)>loga(a+1),
所以m>p>n.
答案:m>p>n
7.已知0”“≥”“<”“≤”)填空.
(1)log2a+log2b -2;?
(2)log2（+） 1.?
解析:(1)因为0所以log2a+log2b=log2(ab)(2)因为02,
所以log2（+）>1.
答案:(1)< (2)>
8.已知a,b,c为不全相等的三个正数,
求证:++>3.
证明:++
=+++++-3
=（+）+（+）+（+）-3,
因为a,b,c都是正数,所以+≥2,
即+≥2 ①
同理可证:+≥2, ②
+≥2. ③
①②③式两边分别相加得
（+）+(+)+(+)≥6. ④
因为a,b,c不全相等,所以①②③不能同时取到等号,
所以④取不到等号,
所以(+)+(+)+(+)>6.
所以++>3.
能力提升
9.(2015辽宁师大附中期中)已知x>0,y>0,且+=1,若x+2y>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是( D )
(A)(-∞,-2]∪[4,+∞) (B)(-∞,-4]∪[2,+∞)
(C)(-2,4) (D)(-4,2)
解析:因为+=1,所以x+2y=(x+2y)(+)=4++≥4+2=8,
因为x+2y>m2+2m恒成立,
所以m2+2m<8,求得-410.已知x>0,y>0,lg 2x+lg 8y=lg 2,则+的最小值是 .?
解析:因为lg 2x+lg 8y=lg 2,
所以x+3y=1,
+=(+)(x+3y)=2++≥2+2=4,
当且仅当
即时,+取得最小值4.
答案:4
11.(2014高考四川卷)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|·|PB|的最大值是 .?
解析:易求定点A(0,0),B(1,3).当P与A和B均不重合时,不难验证PA⊥PB,所以|PA|2+|PB|2=|AB|2=10,所以|PA|·|PB|≤=5(当且仅当|PA|=|PB|=时,等号成立),当P与A或B重合时,|PA|·|PB|=0,故|PA|·|PB|的最大值是5.
答案:5
12.已知函数f(x)=lg x,若x1,x2∈(0,+∞),判断[f(x1)+f(x2)]与f()的大小并加以证明.
解:[f(x1)+f(x2)]≤f().
证明如下:f(x1)+f(x2)=lg x1+lg x2=lg(x1·x2),
F()=lg().
因为x1,x2∈(0,+∞),所以≥,
所以lg≤lg(),
即lg(x1·x2)≤lg(),
所以(lg x1+lg x2)≤lg().
故[f(x1)+f(x2)]≤f().
探究创新
13.已知不等式(x+y)(+)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为( B )
(A)2 (B )4 (C)9 (D)16
解析:(x+y)(+)=1+a++≥1+a+2=(1+)2.
当且仅当=时取等号.
所以(1+)2≥9,
所以a≥4,故选B.
第二课时 基本不等式的应用习题课
【选题明细表】
知识点、方法
题号
利用基本不等式求最值
1、2、6、9、12
利用基本不等式求解实际应用题
8、11
利用基本不等式求解恒成立问题
3、4
综合问题
5、7、10
基础巩固
1.(2015邯郸市高二期末)已知正数a,b满足a+2b=1,则+的最小值为( B )
(A)8 (B)8+4
(C)8+2 (D)20
解析:因为a,b∈(0,+∞),且a+2b=1,
所以+=(a+2b)(+)=8++
≥8+2=8+4,
当且仅当即时取“=”.故选B.
2.已知x>1,y>1且xy=16,则log2x·log2y( D )
(A)有最大值2 (B)等于4
(C)有最小值3 (D)有最大值4
解析:因为x>1,y>1,
所以log2x>0,log2y>0.
所以log2x·log2y≤()2=[]2=4,
当且仅当x=y=4时取等号.
故选D.
3.当x>1时,不等式x+≥a恒成立,则实数a的取值范围是( D )
(A)(-∞,2] (B)[2,+∞)
(C)[3,+∞) (D)(-∞,3]
解析:由于x>1,
所以x-1>0,>0,
于是x+=x-1++1≥2+1=3,
当=x-1即x=2时等号成立,
即x+的最小值为3,要使不等式恒成立,应有a≤3,
故选D.
4.若对所有正数x,y,不等式x+y≤a都成立,则a的最小值是( A )
(A) (B)2 (C)2 (D)8
解析:因为x>0,y>0,
所以x+y=≤=·,
当且仅当x=y时等号成立,
所以使得x+y≤a都成立的a的最小值是.故选A.
5.(2015辽宁师大附中期中)函数y=loga(x+3)-1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中m,n均大于0,则+的最小值为( C )
(A)2 (B)4 (C)8 (D)16
解析:因为x=-2时,y=loga1-1=-1,
所以函数y=loga(x+3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点(-2,-1),即A(-2,-1),
因为点A在直线mx+ny+1=0上,所以-2m-n+1=0,即2m+n=1.
因为m>0,n>0,所以+=+=2+++2≥4+2·=8,当且仅当m=,n=时取等号.故选C.
6.已知正数a、b满足+=3,则ab的最小值为 .?
解析:+=3≥2?≥2?ab≥4.
当且仅当=,即a=6,b=时取等号.
答案:4
7.若关于x的不等式ax+b>0的解集为(1,+∞),则a-+1的最小值为 .?
解析:由题意可得a·1+b=0,a>0,
所以a-+1=a++1≥3,
当且仅当a=1,b=-1时取等号.
答案:3
8.某公司今年3月欲抽调一批销售员推销A产品,根据过去的经验,每月A产品销售数量y(万件)与销售员的数量x(人)之间的函数关系式为y=(x>0).
(1)若要求在该月A产品的销售量大于10万件,销售员的数量应在什么范围内?
(2)在该月内,销售员数量为多少时,销售的数量最大?最大销售量为多少?(精确到0.1万件)
解:(1)由已知得>10.
整理得x2-89x+1600<0,
即(x-25)(x-64)<0,解得25所以若要求产品的销售量大于10万件,则销售员应大于25人小于64人.
(2)依题意y=(x∈N*),
因为x+≥2=80,
当且仅当x=,
即x=40时上式等号成立,
所以ymax=≈11.1(万件).
所以当销售员为40人时,销售量最大,最大销售量约为11.1万件.
能力提升
9.已知x≥,则f(x)=有( D )
(A)最大值 (B)最小值
(C)最大值1 (D)最小值1
解析:f(x)=
=+
=+
≥2
=1.
当且仅当=,
即x=3时取“=”.
故选D.
10.(2013高考山东卷)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当取得最大值时,+-的最大值为( B )
(A)0 (B)1 (C) (D)3
解析:由x2-3xy+4y2-z=0(x,y,z>0),
得3xy+z=x2+4y2≥2x·2y,
即xy≤z,≤1当且仅当x=2y时等号成立,
当x=2y时,z=4y2-6y2+4y2=2y2.
则+-=+-=-+
=-(-)
=-(-1)2+1.
故当=1,即y=1时,+-的最大值为1.故选B.
11. 如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求B点在AM上,D点在AN上,且对角线MN过点C,已知AB=2米,AD=1米.
(1)要使矩形AMPN的面积大于9平方米,则DN的长应在什么范围内?
(2)当DN的长度为多少时,矩形花坛AMPN的面积最小?并求出最小值.
解:(1)设DN的长为x(x>0)米,
则|NA|=(x+1)米,
因为=,
所以|AM|=,
所以S矩形AMPN=|AN|·|AM|=
由S矩形AMPN>9,
得>9,
又x>0,
所以2x2-5x+2>0,
解得02.
即DN的长的取值范围是(0,)∪(2,+∞).(单位:米)
(2)矩形花坛AMPN的面积为
y=
=
=2x++4(x>0)
≥2+4=8.
当且仅当2x=即x=1时,
矩形花坛AMPN的面积最小为8平方米.
探究创新
12.已知a>0,b>0,若不等式--≤0恒成立,则m的最大值为 .?
解析:由a>0,b>0,--≤0,
得m≤(+)(3a+b),
即m≤(+)(3a+b)min,
又因为(+)(3a+b)=10++≥10+6=16,
当且仅当a=b时等号成立.
所以m≤16,m的最大值为16.
答案:16
