第二章 检测试题
(时间:90分钟 满分:120分)
【选题明细表】
知识点、方法
题号
通项公式
1、2
等差数列及其性质
4、6、7、11、12
等比数列及其性质
5、15
an与Sn的关系
14
数列求和
3、10、13、16
综合问题
8、9、17、18、19、20
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.数列3,5,9,17,33,…的通项公式an等于( B )
(A)2n (B)2n+1 (C)2n-1 (D)2n+1
解析:由于3=2+1,5=22+1,9=23+1,…,
所以通项公式是an=2n+1,
故选B.
2.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-2n+2,则数列{an}的通项公式为( C )
(A)an=2n-3 (B)an=2n+3
(C)an= (D)an=
解析:当n=1时,a1=S1=1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-3.又当n=1时,a1的值不适合n≥2时的通项公式,故选C.
3.数列{an}的通项公式an=n2+n,则数列{}的前10项和为( B )
(A) (B) (C) (D)
解析:==-,
所以S10=-+-+…+-=.故选B.
4.已知点(n,an)(n∈N*)都在直线3x-y-24=0上,那么在数列{an}中有( C )
(A)a7+a9>0 (B)a7+a9<0
(C)a7+a9=0 (D)a7·a9=0
解析:由题意知,an=3n-24,所以{an}为a1=-21,d=3的等差数列.
所以a8=-21+3×7=0.所以a7+a9=2a8=0.故选C.
5.某种细胞开始有2个,1小时后分裂成4个并死去1个,2小时后分裂成6个并死去1个,3小时后分裂成10个并死去1个,…,按此规律进行下去,6小时后细胞存活的个数是( B )
(A)33个 (B)65个
(C)66个 (D)129个
解析:设开始的细胞数和每小时后的细胞数构成的数列为{an}.
则即=2.
所以an-1=1·2n-1,an=2n-1+1,a7=65.
6.已知{an}为等差数列,其公差为-2,且a7是a3与a9的等比中项,Sn为{an}的前n项和,n∈N*,则S10的值为( D )
(A)-110 (B)-90 (C)90 (D)110
解析:由题意得(a1-12)2=(a1-4)(a1-16),
解得a1=20.
S10=10a1+×(-2)=110.故选D.
7.已知等差数列{an},前n项和用Sn表示,若2a5+3a7+2a9=14,则S13等于( A )
(A)26 (B)28 (C)52 (D)13
解析:因为a5+a9=2a7,
所以2a5+3a7+2a9=7a7=14,所以a7=2,
所以S13==a7×13=26.故选A.
8.已知数列{an}是等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,{an}的前n项和为Sn,则使得Sn达到最大的n是( C )
(A)18 (B)19 (C)20 (D)21
解析:a1+a3+a5=105?a3=35,a2+a4+a6=99?a4=33,则{an}的公差d=33-35=-2,a1=a3-2d=39,Sn=-n2+40n,因此当Sn取得最大值时,n=20.
9.设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数,且对任意的实数x、y∈R,都有f(x)·f(y)=f(x+y),若a1=,an=f(n)(n∈N*),则数列{an}的前n项和Sn的取值范围为( C )
(A)[,2) (B)[,2]
(C)[,1) (D)[,1]
解析:依题意得f(n+1)=f(n)·f(1),即an+1=an·a1=an,所以数列{an}是以为首项,为公比的等比数列,所以Sn==1-,所以Sn∈[,1).
10.一个只有有限项的等差数列,它的前5项和为34,最后5项和为146,所有项的和为234,则它的第7项等于( D )
(A)22 (B)21 (C)19 (D)18
解析:据题意知a1+a2+a3+a4+a5=34,
an-4+an-3+an-2+an-1+an=146,
又因为a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3=a5+an-4,
所以a1+an=36.
又Sn=n(a1+an)=234,
所以n=13,
所以a1+a13=2a7=36,
所以a7=18.故选D.
11.数列{an}满足递推公式an=3an-1+3n-1(n≥2),又a1=5,则使得为等差数列的实数λ等于( C )
(A)2 (B)5 (C)- (D)
解析:a1=5,a2=23,a3=95,令bn=.
则b1=,b2=,b3=
因为b1+b3=2b2,
所以λ=-.
12.已知数阵中,每行的3个数依次成等差数列,每列的3个数也依次成等差数列,若a22=2,则这9个数的和为( B )
(A)16 (B)18 (C)9 (D)8
解析:已知中,每行的3个数依次成等差数列,每列的3个数也依次成等差数列,若a22=2,由等差数列的性质得
a11+a12+a13=3a12,a21+a22+a23=3a22,a31+a32+a33=3a32,又3a12+3a22+3a32=3×3a22=18.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a5=3a3,a10=14,则S12= .?
解析:由a1+a5=3a3,得2a3=3a3,
所以a3=0.
又a10=14,
所以S12===6×14=84.
答案:84
14.设函数f(x)=数列{an}满足an=f(n),n∈N*,且数列{an}是递增数列,则实数a的取值范围是 .?
解析:因为数列{an}是递增数列,又an=f(n)(n∈N*),
所以?2
答案:(2,3)
15.在正项等比数列{an}中,a1和a19为方程x2-10x+16=0的两根,则a8·a10·a12等于 .?
解析:因为a1和a19为方程x2-10x+16=0的两根,
所以a1a19=16,
由等比数列的性质得,
a1a19==16,
又a10>0,
所以a10=4,
a8·a10·a12==64.
答案:64
16.已知{an}是等差数列,a4=-20,a16=16,则|a1|+|a2|+…+|a20|= .?
解析:a16-a4=12d=36,
所以d=3,an=3n-32.
所以当n≤10时,an<0,
当n≥11时,an>0.
|a1|+|a2|+…+|a20|=-(a1+a2+…+a10)+(a11+a12+…+a20)=(a20-a10)+(a19-a9)+…+(a11-a1)=100d=300.
答案:300
三、解答题(本大题共4小题,共40分)
17.(本小题满分10分)
已知数列{an}的前n项和Sn=kcn-k(其中c、k为常数),且a2=4,a6=8a3.
(1)求an;
(2)求数列{nan}的前n项和Tn.
解:(1)由Sn=kcn-k,
得an=Sn-Sn-1=kcn-kcn-1(n≥2).
由a2=4,a6=8a3,
得
解得
所以a1=S1=2,an=kcn-kcn-1=2n(n≥2),
于是an=2n.
(2)Tn=1·a1+2·a2+3·a3+…+n·an,
即Tn=2+2×22+3×23+4×24+…+n·2n, ①
所以2Tn=22+2×23+3×24+…+(n-1)×2n+
n·2n+1, ②
所以①-②,得-Tn=2+22+23+24+…+2n-n·2n+1
=-n·2n+1
=2n+1-n·2n+1-2.
所以Tn=(n-1)2n+1+2.
18.(本小题满分10分)
等差数列{an}中,前三项分别为x,2x,5x-4,前n项和为Sn,且Sk=2550.
(1)求x和k的值;
(2)求T=+++…+的值.
解:(1)由4x=x+5x-4得x=2,
所以an=2n,Sn=n(n+1),
所以k(k+1)=2550,解得k=50.
(2)因为Sn=n(n+1),
所以==-,
所以T=(1-)+(-)+…+(-)=1-=.
19.(本小题满分10分)
已知数列{an}为等差数列,且a1=2,a1+a2+a3=12.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令bn=,求证数列{bn}为等比数列;
(3)令cn=,求数列{cn}的前n项和Sn.
(1)解:因为a1+a2+a3=12,
所以a2=4,所以公差d=2,
所以an=2n;
(2)证明:因为bn=,所以==9,
所以{bn}为首项b1=9,公比q=9的等比数列.
(3)解:因为cn==(-),
所以Sn=c1+c2+…+cn
=(1-+-…+-)
=(1-)
=.
20.(本小题满分10分)
设数列{an}为等差数列,且a3=5,a5=9;数列{bn}的前n项和为Sn,且Sn=2[1-()n].
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)若cn=(n∈N*),Tn为数列{cn}的前n项和,求Tn.
解:(1)数列{an}为等差数列,则公差d=(a5-a3)=2,
因为a3=5,所以a1=1.故an=2n-1,
当n=1时,S1=b1=1,
当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=2[1-()n]-2[1-()n-1]=()n-1,
又n=1时,b1=1适合上式,
所以bn=()n-1.
(2)由(1)知cn==(2n-1)·2n-1,
所以Tn=1·20+3·21+5·22+…+(2n-3)·2n-2+(2n-1)2n-1,
2Tn=1·2+3·22+…+(2n-3)·2n-1+(2n-1)·2n,
所以-Tn=1+2·21+2·22+…+2·2n-1-(2n-1)·2n
=1+2×-(2n-1)·2n
=1-4+(3-2n)·2n,
所以Tn=3+(2n-3)·2n.
课件22张PPT。章末总结 网络建构 主题串讲 网络建构网络点拨
一种思想:函数与方程思想
两种数列:等差数列、等比数列
三种表示方法:图象法、解析法、列表法
四个公式:等差数列通项公式与前n项和公式、等比数列通项公式与前n项和公式 主题串讲规律方法二、等差数列与等比数列的基本运算规律方法 在等差数列{an}中,通常把首项a1和公差d作为基本量,在等比数列{bn}中,通常把首项b1和公比q作为基本量,列关于基本量的方程(组)是解决等差数列和等比数列的常用方法.规律方法 (1)一般地,对于数列{cn},如果cn=anbn,且数列{an}是等差数列,数列{bn}是等比数列,那么可以用错位相减法求数列{cn}的前n项和.
(2)错位相减法的步骤是:①在等式两边同时乘等比数列{bn}的公比;②将两个等式相减;③利用等比数列的前n项和公式求和.四、数列中的最值
【典例5】 等差数列{an}的首项为a1=14,前n项和为Sn.若S3=S5,当n为何值时,Sn最大?名师导引:根据S3=S5,确定基本量后,根据项的正负求解即可,根据二次函数的性质讨论最值.规律方法 求等差数列前n项和Sn的最值问题的常用方法有:
(1)二次函数法——配方,找对称轴,注意n∈N*.五、数列的应用题
【典例6】 某文具用品商店开业前要购买一批文具,预算需16000元,店主已有现金6000元,尚缺10000元,以月利率1%,每月按复利计息借贷,借款人借贷后第二个月开始以一定金额分6个月付清,则每月应支付多少元?(不满百元凑足百元,lg 1.01≈0.0043,lg 1.061≈0.0257,lg 1.07≈0.0294)名师导引:本题考查分期付款问题.方法一:以该商店的欠款为主线计算.方法二:可以假设该店主不是每个月以一定金额还清贷款,而是每个月将这一固定数目的金额以相同的条件存储在银行,最后再一次还清.规律方法 处理分期付款问题的两种常用方法:
(1)按照事件发生的先后顺序依次求出数列的前几项,并由此归纳得出数列通项的一般表达式.
(2)以贷款和存款的增值两条线索分别计算,并由它们的相等关系(或不等关系)建立方程(或不等式)求解.点击进入检测试题 谢谢观赏
Thanks!课件34张PPT。第二章 数 列
2.1数列的概念与简单表示法
第一课时 数列的概念与通项公式 自主预习 课堂探究 自主预习1.通过实例,了解数列的概念.
2.掌握数列的两种分类,能对具体数列作出判断.
3.理解数列通项公式的概念,能根据数列的前几项写出数列的通项公式.
4.能根据数列的通项公式研究数列中有关项的问题.课标要求知识梳理1.数列的概念
按照 排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的 .数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,an,…,简记为{an}.一定顺序项2.数列的分类
(1)按项的个数分类有限无限(2)按项的变化趋势分类大于小于大于3.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与 之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.序号n相等自我检测1.(数列的概念)下面三个结论:
①1,1,1,1,…是数列;
②cos 0,sin 1,tan 2不是数列;
③-3,-2,1,x,2,3,y,6是一个项数为8的数列.
其中正确的有( )
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个B解析:①正确,是按一定次序排列的一列数,符合定义.
②错误.cos 0,sin 1,tan 2都是数,而且是按一定次序排列的,所以它是数列.③错误.因为数列必须是由一列数按一定次序排列而成,但x,y不一定为数.故选B.C3.(数列的项)若数列{an}的通项公式为an=n2-n+2,则a4等于( )
(A)11 (B)12 (C)13 (D)14D解析:a4=42-4+2=14,故选D.B 【教师备用】
1.数列中的项与集合中的元素相比,性质上有什么异同?
提示: (1)确定性:一个数是或不是某一数列中的项是确定的,集合中的元素也具有确定性.
(2)可重复性:数列中的数可以重复,而集合中的元素不能重复出现(即互异性).
(3)有序性:一个数列不仅与构成数列的“数”有关,而且与这些数的排列次序有关,而集合中的元素没有顺序(即无序性).
(4)数列中的每一项都是数,而集合中的元素还可以代表数字外的其他事物. 课堂探究数列的概念与分类题型一2.两个数列相同的条件是什么?提示:两个数列相同必须同时满足两个条件:
(1)两个数列中的各数都相同;(2)各数的排列次序相同.3.{an}与an表示的含义相同吗?提示: {an}与an表示不同的含义,{an}表示数列a1,a2,…,an,…,是数列的一种简记形式.而an只表示数列{an}的第n项,an与{an}是“个体”与“整体”的从属关系.解析:分析可知:(1)是有穷递增数列;(3)是无穷递减数列;
(4)是摆动数列,是无穷数列;
(5)是摆动数列,是无穷数列;
(6)是常数列,是有穷数列.
答案: (1)(6) (2)(3)(4)(5) (1)(2) (3) (6)
(4)(5)题后反思 (1)判断一个数列是有穷数列还是无穷数列时主要分析它的项数是有限的,还是无限的.
(2)判断一个数列的增减性主要分析每一项与其前一项的大小关系.解: (2)、(4)是有穷数列,(1)、(3)、(5)、(6)是无穷数列,
(4)是递增数列,(1)(2)是递减数列,(3)(5)是摆动数列,
(6)是常数列.解: (1)错.因为数列中的项是有次序的.
(2)错.因为数列中的项可以是相同的,
同一个数在不同位次意义不同.
(3)错.因为数列1,2,3与数列1,2,3,…项数不同.
(4)错.因为如果a=c,那么它们就是同一个数列.【备用例1】 下列说法是否正确,为什么?
(1)数列1,2,3和数列3,2,1是同一数列.
(2)数列1,2,2,3和数列1,2,3实质上是相同的.
(3)数列1,2,3与数列1,2,3,…是同一数列.
(4)数列a,b,c与数列c,b,a一定不是同一数列.根据数列的前几项写出通项公式题型二题后反思 (1)根据数列的前几项写通项公式的方法.
①统一项的结构,如都化成分数、根式等.
②分析这一结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的变化规律与对应序号间的函数关系式.
③对于符号交替出现的情况,可观察其绝对值,再以(-1)n或(-1)n+1(n∈N*)调节符号.
④对于周期出现的数列,可考虑拆成几个简单数列和的形式,或者利用周期函数,如三角函数等求通项.数列通项公式的应用题型三题后反思 (1)数列的通项公式给出的是第n项an与它的位置序号n之间的关系,只要用序号代替公式中的n,就可以求出数列的相应项;反过来,判断一个数是不是该数列的某一项,只要看以n为未知数的方程有没有正整数解,若有就是,否则就不是.
(2)解决是否存在型问题,可先假设存在,然后代入条件或参数的值或范围,若符合题意,则存在;若不合题意,则不存在.【备用例3】 已知数列{an}的通项公式是an=-n2+6n+1.
(1)求{an}的第5项;
(2)-26是否是{an}中的项?
(3)数P(P∈R,P>10)是否是{an}中的项?解: (1){an}的第5项a5=-52+6×5+1=6.
(2)令an=-26,即-n2+6n+1=-26,
所以n2-6n-27=0,解得n=9(n=-3舍去),
故-26是{an}中的项,且是第9项.
(3)令an=P,即-n2+6n+1=P,所以n2-6n+(P-1)=0,
由于判别式Δ=(-6)2-4(P-1)=40-4P,P>10,
所以Δ<0,方程无解,
故数P(P∈R,P>10)不是{an}中的项.点击进入课时作业 谢谢观赏
Thanks!课件29张PPT。第二课时 数列的性质和递推公式 自主预习 课堂探究 自主预习1.了解数列递推公式的概念;知道递推公式是给出数列的一种方法.
2.能根据数列的递推公式写出数列.
3.能根据数列的通项公式研究数列的单调性,会求数列中的最大(小)项.
4.了解数列的周期性,能解决相关的简单问题.课标要求知识梳理1.数列的函数性质
(1)数列可以看成以 (或它的有限子集 )为定义域的函数an=f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值.正整数集N*{1,2,…,n}(2)在数列{an}中,若an+1 an,则{an}是递增数列;若an+1 an,则{an}为递减数列;若an+1=an,则{an}为常数列.><2.数列的递推公式
如果已知数列{an}的第一项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an-1(或前几项)(n≥2,n∈N*)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.自我检测A解析:an+1-an=3>0,所以an+1>an.故选A.1.(数列的单调性)已知an+1-an-3=0,则数列{an}是( )
(A)递增数列 (B)递减数列
(C)常数列 (D)不能确定CC答案:-3答案:4 课堂探究利用数列的函数性质判断数列的单调性题型一【例1】 已知函数f(x)=2x-2-x,数列{an}满足f(log2an)=-2n(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)判断数列{an}的增减性.题后反思 根据函数单调性的定义,采用作差法或作商法比较an与an+1的大小关系,从而判断数列{an}的单调性,若an+1>an恒成立,则{an}是递增数列;若an+1所以an+1-an=2n-2n-1=2n-1>0,所以an+1>an,
所以数列{an}是递增数列.求数列的最大(小)项题型二【例2】 已知数列{an}的通项公式为an=n2-5n+4.
求n为何值时,an有最小值?并求出最小值.题后反思由数列的递推公式求其通项公式题型三【教师备用】
数列的通项公式与递推公式有什么区别?提示:通项公式直接反映an和n之间的关系,即an是n的函数,知道任意一个具体的n值,通过通项公式就可以求出该项的值an;而递推公式则是间接反映数列的式子,它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系,不能由n直接得出an.题后反思点击进入课时作业 谢谢观赏
Thanks!课件25张PPT。2.2 等差数列
第一课时 等差数列的概念与通项公式 自主预习 课堂探究 自主预习1.通过实例,理解等差数列和等差中项的概念,深化认识并能运用.
2.会推导等差数列的通项公式,能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.
3.体会等差数列与一次函数的关系.课标要求知识梳理1.等差数列的定义
如果一个数列从第 项起,每一项与它的前一项的差等于 ,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.2同一个常数3.等差数列的通项公式和递推公式
如果等差数列{an}的首项为a1,公差为d,那么自我检测D解析:由等差数列的定义知强调两个方面:①从第二项起;
②差为同一个常数,故选D.1.(等差数列的概念)下列说法中正确的是( )
(A)一个数列的每一项与它的前一项的差都等于常数,这个数列就叫等差数列
(B)一个数列的每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,这个数列就叫等差数列
(C)一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的和都等于常数,这个数列就叫等差数列
(D)一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,这个数列就叫等差数列A2.(等差中项的概念)方程x2-6x+3=0的两根的等差中项为( )
(A)3 (B)6 (C)-6 (D)-3B3.(等差数列的公差)等差数列{an}的通项公式为an=3-2n,则该数列的公差d等于( )
(A)-1 (B)-2 (C)2 (D)3解析:d=an+1-an=[3-2(n+1)]-(3-2n)=-2.故选B.答案:3n-4 课堂探究等差数列的判定与证明题型一题后反思 判断或证明一个数列{an}为等差数列的常用方法:
(1)定义法:若an-an-1=d(d是常数,n≥2且n∈N*),则数列{an}是等差数列.
(2)等差中项法:若任意连续三项an-1,an,an+1都有:2an=an-1+an+1(n≥2且n∈N*),则数列{an}是等差数列.
(3)通项公式法:若an=kn+b(k,b为常数,n∈N*),则数列{an}是等差数列.解:因为c2-c1=-1-1=-2,
n≥2时,cn+1-cn=2(n+1)-5-2n+5=2,
所以cn+1-cn(n≥1)不等于同一个常数,
不符合等差数列的定义,
所以数列{cn}不是等差数列.等差数列的通项公式题型二【教师备用】
1.从等差数列的通项公式上看,等差数列与一次函数有什么关系?提示:由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d可得an=dn+(a1-d),当d≠0时,an是关于n的一次函数.2.能不能利用等差数列的通项公式判断其增减性?提示:当d>0时,数列{an}为递增数列;当d=0时,数列{an}为常数列;当d<0时,数列{an}为递减数列.题后反思 在等差数列中,首项a1与公差d是两个最基本的元素;若知道等差数列中的任意两项,都可利用方程组的思想求出a1和d.但是,要注意公式的变形及整体求解,以减少计算量.等差中项的应用题型三【例3】 已知等差数列{an}满足a2+a3+a4=18,a2a3a4=66.求数列{an}的通项公式.题后反思 若三个数a、b、c成等差数列,则a+c=2b,即b为a、c的等差中项,这个结论在已知等差数列的题中经常用到.点击进入课时作业 谢谢观赏
Thanks!课件25张PPT。第二课时 等差数列的性质及简单应用 自主预习 课堂探究 自主预习1.能根据等差数列的定义与通项公式,推导出等差数列的重要性质.
2.能够运用等差数列的通项公式和性质解决等差数列中的计算问题.
3.能够运用学过的等差数列知识解决一些实际应用问题.课标要求知识梳理等差数列的常见性质
(1)对称性:a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=am+ (n>m);
(2)an=a1+(n-1)d=a2+(n-2)d=…=am+ ;
(3)若m,n,p,q均为正整数,则m+n=p+q=2k? ;
(4)若m,p,n均为正整数且m,p,n成等差数列,则am,ap,an也成等差数列;an-m+1(n-m)dam+an=ap+aq=2ak(5)若{an}、{bn}分别是公差为d,d′的等差数列,则有(6)单调性:{an}的公差为d,则d 0?{an}为递增数列;d 0?{an}为递减数列;d=0?{an}为常数列.dcd2dpd+qd'><自我检测C1.(由等差数列判定其他的数列)若{an}是等差数列,下列数列中仍为等差数列的有( )
①{|an|} ②{an+1-an} ③{pan+q}(p,q为常数)
④{2an+n}
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
2.(等差数列性质的应用)设数列{an},{bn}都是等差数列,若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5等于( )
(A)30 (B)35 (C)40 (D)45BA3.(等差数列性质的应用)已知等差数列{an}中,a3=1,a7=-9,则a5等于( )
(A)-4 (B)4 (C)-8 (D)8解析:由a3+a7=2a5=1-9=-8得a5=-4.故选A.4.(等差数列性质的应用)已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20等于( )
(A)-1 (B)1 (C)3 (D)7解析:因为a1+a3+a5=3a3=105,
a2+a4+a6=3a4=99,
所以a3=35,a4=33,d=-2.
所以a20=a4+16d=33-32=1.B5.(等差数列单调性的应用)已知三个数成等差数列并且数列是递增的,它们的和为18,平方和为116,则这三个数为 .?答案:4,6,8 课堂探究等差数列性质的应用题型一题后反思 求解等差数列有关计算问题的常用方法:一是基本量方法,即建立关于a1和d的方程组求出a1和d再解决问题;二是运用等差数列的性质,若m+n=p+q=2k,且m,n,p,q,k∈N*,则am+an=ap+aq=2ak.解析: (1)因为a3+a4+a5=12,
所以3a4=12,则a4=4,
又a1+a7=a2+a6=a3+a5=2a4,
故a1+a2+…+a7=7a4=28.故选C.
(2)由于{an}、{bn}都是等差数列,
所以{an-bn}也是等差数列,
而a1-b1=6,a20-b20=6,
所以{an-bn}是常数列,故a10-b10=6.故选B.解析:由等差数列的性质得a1+a4=a2+a3,
又a1+a2+a3+a4=30,所以2(a2+a3)=30,
即a2+a3=15.答案:15巧用“对称”解等差数列问题题型二【例2】 已知四个数成递减等差数列,它们的和为26,中间两项的积为40,求这四个数.题后反思 利用等差数列的定义巧设未知量,从而简化计算.一般有如下规律:当等差数列{an}的项数n为奇数时,可设中间一项为a,再以公差为d向两边分别设项:…a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,…;当项数为偶数时,可设中间两项为a-d,a+d,再以公差为2d向两边分别设项:…a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,这样可减少计算量.等差数列的实际应用题型三【例3】 有一批影碟机原销售价为每台800元,在甲、乙两家商场均有销售.甲商场用如下方法促销:买一台单价为780元,买两台单价为760元,依此类推,每多买一台单价均减少20元,但每台最少不低于440元;乙商场一律都按原价的75%销售.某单位需购买一批此类影碟机,问去哪一家商场购买花费较少?解:设该单位需购买影碟机n台,
在甲商场购买单价不低于440元时,单价依台数成等差数列{an},
则an=780+(n-1)(-20)=800-20n,解不等式an≥440,800-20n≥440,得n≤18.
当购买台数小于18时,单价为(800-20n)元,
当台数大于或等于18时,单价为440元.
到乙商场购买,单价为800×75%=600(元).
又(800-20n)n-600n=20n(10-n),所以,当n<10时,600n<(800-20n)n;
当n=10时,600n=(800-20n)n;当10当n≥18时,440n<600n.
所以当购买台数少于10台时,到乙商场购买花费较少;
当购买10台时,到两商场购买花费相同;
当购买多于10台时,到甲商场购买花费较少.题后反思 (1)在实际问题中,若涉及一组与顺序有关的数的问题,可考虑利用数列方法解决,若这组数依次成直线上升或下降,则可考虑利用等差数列方法解决.
(2)在利用数列方法解决实际问题时,一定要分清首项、项数等关键量.即时训练3-1:某产品按质量分10个档次,生产最低档次的产品的利润是8元/件,每提高一个档次,利润每件增加2元,同时每提高一个档次,产量减少3件,在相同的时间内,最低档次的产品可生产60件.
试问:在相同的时间内,应选择生产第几档次的产品可获得最大利润?(设最低档次为第一档次).解:设在相同的时间内,
从低到高每档产品的产量分别为a1,a2,…,a10,
利润分别为b1,b2,…,b10,
则{an},{bn}均为等差数列,且a1=60,d1=-3,b1=8,d2=2,
所以an=60-3(n-1)=-3n+63,
bn=8+2(n-1)=2n+6,
所以利润f(n)=anbn=(-3n+63)(2n+6)=-6n2+108n+378=-6(n-9)2+864.
显然,当n=9时,f(n)max=f(9)=864.
答:在相同的时间内生产第9档次的产品可以获得最大利润.【备用例题】 甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查,提供两个不同的信息图如图所示.甲调查表明:从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡.乙调查表明:由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个.请根据提供的信息说明,求:
(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数;
(2)到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小了?请说明理由;
(3)哪一年的规模最大?请说明理由.(2)c6=a6b6=2×10=20所以到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了.点击进入课时作业 谢谢观赏
Thanks!课件34张PPT。2.3 等差数列的前n项和 自主预习 课堂探究 自主预习1.掌握等差数列的前n项和公式,了解推导等差数列前n项和公式的方法——倒序相加法.
2.能够利用等差数列的前n项和公式进行有关的计算.
3.掌握等差数列前n项和的最值问题的解法.
4.掌握等差数列前n项和的性质及其应用.
5.理解an与Sn的关系,会利用这种关系解决有关的问题.课标要求知识梳理1.数列{an}前n项和的定义及表示
一般地,我们称a1+a2+a3+…+an为数列{an}的前n项和,用Sn表示,即Sn=
.3.等差数列前n项和的性质
记等差数列{an}中,其前n项和为Sn,则{an}中连续的n项之和构成的数列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,…构成公差为n2d的等差数列.a1+a2+a3+…+an自我检测C1.(等差数列前n项和公式)在等差数列{an}中,已知a1=2,d=2,则S5等于( )
(A)10 (B)20 (C)30 (D)40B2.(与等差数列性质结合的前n项和的求法)记在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列的前11项和S11等于( )
(A)58 (B)88 (C)143 (D)176D解析:因为S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,
所以S2+(S6-S4)=2(S4-S2),
所以4+(S6-20)=2(20-4),
所以S6=48.故选D.3.(等差数列前n项和的性质)记等差数列的前n项和为Sn,若S2=4,S4=20,则S6等于( )
(A)42 (B)44 (C)46 (D)48答案:-24.(等差数列前n项和公式的应用)等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=6,a1=4,则公差d= .?答案:288 5.(等差数列前n项和公式的应用)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a8=3,a13=13,则S24= .? 课堂探究等差数列前n项和的基本运算题型一答案: (1)25 (2)110题后反思 a1,n,d称为等差数列的三个基本量,an和Sn都可以用这三个基本量来表示,五个量a1,n,d,an,Sn中可知三求二,即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题,一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解,这种方法是解决数列问题的基本方法,在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体代换思想的运用.答案: (1)A (2)30【备用例1】 已知{an}是等差数列,Sn为其前n项和,n∈N*,a3=16,S20=20,若Sn=110,则n= .?答案:10或11等差数列前n项和的最值问题 题型二【教师备用】 1.等差数列{an}的前n项和公式一定是关于n的二次函数吗?2.设等差数列{an}的前n项和为Sn则Sn的最值情况与首项a1,公差d的正负性有什么关系?提示:【例2】 在等差数列{an}中,若a1=25,且S9=S17,求Sn的最大值.题后反思 求解等差数列{an}前n项和Sn的最值问题常用方法
(1)二次函数法:即先求得Sn的表达式,然后配方.若对称轴恰好为正整数,则就在该处取得最值;若对称轴不是正整数,则应在离对称轴最近的正整数处取得最值,有时n的值有两个,有时可能为1个.(3)寻求正、负项交替点法,即利用等差数列的性质,找到数列中正数项与负数项交替变换的位置,其实质仍然是找到数列中最后的一个非正数项(或非负数项),然后确定Sn的最值.【思维激活】 (2014高考江西卷)在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时Sn取得最大值,则d的取值范围为 .?【备用例2】 在等差数列{an}中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求当n取何值时,Sn有最大值,并求出它的最大值.等差数列前n项和的性质及应用题型三【例3】 已知{an}为等差数列,前10项的和为S10=100,前100项的和S100=10,求前110项的和S110.题后反思 (1)求数列的前n项和有着不同的途径,特别是运用一些等差数列的性质和等差数列前n项和的性质使问题解决变得很简单.an与Sn的关系及其应用题型四题后反思 已知an与Sn的关系,求an的步骤:
(1)当n≥2时,用an=Sn-Sn-1计算得到an;
(2)当n=1时,用a1=S1计算得到a1的值;
(3)检验(2)中a1的值是否满足(1)中得到的an,若满足,则通项公式就是an;若不满足,则用分段的形式表示.点击进入课时作业点击进入周练卷 谢谢观赏
Thanks!课件27张PPT。2.4 等比数列
第一课时 等比数列的概念与通项公式 自主预习 课堂探究 自主预习1.通过实例,理解等比数列和等比中项的概念,深化认识并能运用.
2.探索并掌握等比数列的通项公式,能运用通项公式解决简单的问题.
3.体会等比数列的通项公式与指数函数的关系.课标要求知识梳理1.等比数列的定义
一般地,如果一个数列从第 项起,每一项与它的前一项的比等于 ,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的 ,通常用字母q表示(q≠0).
2.等比中项
如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成 ,那么G叫做a与b的等比中项,这三个数满足关系式G2=ab.
3.等比数列的递推公式与通项公式
已知等比数列{an}的首项为a1,公比为q(q≠0),填表:2同一常数公比等比数列a1qn-1 自我检测1.(等比数列的定义)下面有四个结论:
①由第1项起乘相同常数得后一项,这样所得到的数列一定为等比数列;
②常数列b,…,b一定为等比数列;
③等比数列{an}中,若公比q=1,则此数列各项相等;
④等比数列中,各项与公比都不能为零.
其中正确的结论的个数是( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3C 解析:①错误,当乘以的常数为零时,不是等比数列;②错误,b=0时,不是等比数列;③④正确,故选C.CD解析:an=a1qn-1=4×3n-1.故选D.3.(等比数列的通项)在等比数列{an}中,a1=4,公比q=3,则通项公式an等于( )
(A)3n (B)4n (C)3·4n-1 (D)4·3n-14.(等比数列的公比)在等比数列{an}中,a1=2,a5=162,则数列{an}的公比q= .?解析:因为a5=a1q4,
所以162=2q4,
所以q4=81,
所以q=±3.答案:±3答案:3845.(等比数列通项公式的应用)在等比数列{an}中,a2=6,a5=48,则a8= .? 课堂探究等比数列的判断与证明题型一题后反思解:数列{an}是等比数列.
证明:因为an+1=2Sn+1,
所以an=2Sn-1+1(n≥2).
两式相减,得an+1-an=2an,
即an+1=3an(n≥2),
又a2=2S1+1=3,a1=1,
所以a2=3a1.
所以{an}是首项为1,公比为3的等比数列.等比数列的通项公式及其应用题型二【教师备用】
1.等比数列与指数函数有什么关系?2.能不能利用等比数列的通项公式判断其单调性?【例2】 在等比数列{an}中,
(1)a4=2,a7=8,求an;
(2)a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n.题后反思 等比数列{an}的通项公式an=a1qn-1中含有四个量:首项a1、公比q、项数n和第n项an,只要知道其中的三个,就可以求出另一个.答案: (1)B (2)28-n【思维激活】 (2014高考江苏卷)在各项均为正数的等比数列{an}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是 .?解析:设等比数列{an}的公比为q,q>0.
则a8=a6+2a4,即为a4q4=a4q2+2a4,
解得q2=2(负值舍去),
又a2=1,
所以a6=a2q4=4.答案:4【备用例1】 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18,求它的第1项与第2项.等比中项的应用题型三【教师备用】
若a,b是任意两个实数,则a与b一定有等差中项和等比中项吗?【例3】 等比数列{an}的前三项之和为168,a2-a5=42,求a5与a7的等比中项.题后反思 (1)本题采用方程的思想.点击进入课时作业 谢谢观赏
Thanks!课件23张PPT。第二课时 等比数列的性质及应用 自主预习 课堂探究 自主预习1.掌握等比数列的几个基本性质,能够运用这些性质解决等比数列中的有关问题.
2.能够综合运用等比数列的性质和通项公式解决等比数列中的计算问题.
3.能够运用已学的等比数列知识解决一些实际应用问题.课标要求知识梳理等比数列常见性质
若{an}是等比数列,公比是q,则
(1)an=a1qn-1=a2qn-2=…=am (n>m);
(2)对称性:a1an=a2an-1=a3an-2=…=am (n>m);(4)若m,p,n(m、n、p∈N*)成等差数列,则am,ap,an成等比数列;qn-man-m+1自我检测C 解析:两个等比数列的对应项的和可能为0,即不一定为等比数列,但乘积仍是一个等比数列.故选C.1.(由性质进行等比数列的判定)已知{an}、{bn}都是等比数列,那么( )
(A){an+bn},{an·bn}都一定是等比数列
(B){an+bn}一定是等比数列,但{an·bn}不一定是等比数列
(C){an+bn}不一定是等比数列,但{an·bn}一定是等比数列
(D){an+bn},{an·bn}都不一定是等比数列CB4.(等比数列的性质应用)在1与2之间插入6个正数,使这8个数成等比数列,则插入的6个数的积为 . 解析:设插入的6个正数分别为b2,b3,b4,b5,b6,b7,
则有b2b7=b3b6=b4b5=1×2,
所以b2b3b4b5b6b7=8.答案:83.(等比数列性质的求值)等比数列{an}中,a4=4,则a2·a6等于( )
(A)32 (B)16 (C)8 (D)4 课堂探究等比数列性质的应用题型一题后反思答案:5答案:n2巧设“对称项”解等比数列问题题型二【例2】 有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12.求这四个数.题后反思【备用例2】 有四个实数,前三个数依次成等比数列,它们的积是-8;后三个数依次成等差数列,它们的积为-80,求出这四个数.等比数列的实际应用题型三【例3】 从盛满a(a>1)升纯酒精的容器里倒出1升,然后加满水摇匀,再倒出1升混合溶液后又用水加满摇匀,如此继续下去,问:第n次操作后溶液的浓度是多少?若a=2时,至少应倒几次后才能使酒精的浓度低于10%?题后反思 一般地,涉及递增率或递减率的实际应用问题,要建立等比数列模型求解.解题的关键是弄清楚首项a1,公比q和项数n所对应的实际含义.即时训练3-1:某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩余的这种物质是原来的84%,这种物质的半衰期为多长(精确到1年)?(放射性物质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期)解:设这种物质最初的质量是1,经过n年,剩余量是an,
由条件可得数列{an}是一个等比数列.
其中a1=0.84,q=0.84.
设an=0.5,则0.84n=0.5.
两边取对数,得nlg 0.84=lg 0.5,用计算器算得n≈4.
故这种物质的半衰期大约为4年.【备用例3】 某工厂2015年1月的生产总值为a万元,计划从2015年2月起,每月生产总值比上一个月增长m%,那么到2016年8月底该厂的生产总值为多少万元?点击进入课时作业 谢谢观赏
Thanks!课件29张PPT。2.5 等比数列的前n项和
第一课时 等比数列的前n项和 自主预习 课堂探究 自主预习1.掌握等比数列的前n项和公式,了解推导等比数列前n项和公式的过程与方法.
2.能够运用等比数列的前n项和公式进行有关的计算.
3.掌握等比数列的前n项和的性质及其应用.课标要求知识梳理2.等比数列的前n项和的性质
(1)在公比不等于-1的等比数列{an}中,连续相同项数和也成等比数列,即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…仍成等比数列,其公比为qk.(3)若一个非常数列{an}的前n项和Sn=Aqn-A(A≠0,q≠0,n∈N*),则数列{an}为等比数列,即Sn=Aqn-A?数列{an}为等比数列.自我检测D解析:因为{an}为等比数列,
所以S2,S4-S2,S6-S4成等比数列.
所以2(S6-8)=(8-2)2.
所以S6=26.1.(等比数列前n项和性质的应用)在等比数列{an}中,S2=2,S4=8,则S6等于( )
(A)32 (B)18 (C)24 (D)26C2.(利用等比数列前n项和公式求公比)等比数列{an}中,已知前4项之和为1,前8项和为17,则此等比数列的公比q为( )
(A)2 (B)-2
(C)2或-2 (D)2或-13.(等比数列前n项和公式的直接应用)等比数列{2n}的前n项和Sn= .?答案:2n+1-2答案:8 课堂探究等比数列的前n项和的基本运算题型一题后反思(1)解答关于等比数列的基本运算问题,通常是利用a1,an,q,n,Sn这五个基本量的关系列方程组求解,而在条件与结论间联系不很明显时,均可用a1与q列方程组求解.
(2)运用等比数列的前n项和公式要注意公比q=1和q≠1两种情形,在解有关的方程组时,通常用两式相除约分的方法进行消元.等比数列前n项和的性质题型二【例2】 在等比数列{an}中,已知Sn=48,S2n=60,求S3n.题后反思 法一是等比数列前n项和公式的直接应用,属通性通法;法二利用等比数列前n项和的“片断和”性质,方法灵活,技巧性强.等比数列的综合应用题型三题后反思 等比数列问题求解的关键是找出首项和公比,然后再利用其公式和性质准确计算.即时训练3-1:已知数列{an}的前n项和Sn=2n-n2,an=log5bn,其中bn>0,求数列{bn}的前n项和Tn.点击进入课时作业 谢谢观赏
Thanks!课件27张PPT。第二课时 数列求和习题课 自主预习 课堂探究 自主预习1.通过具体实例,理解并掌握数列的分组求和法.
2.通过具体实例,理解并掌握数列的裂项求和法.
3.通过具体实例,理解并掌握数列求和的错位相减法.课标要求知识梳理2.分组法求和
有些数列,通过适当分组,可把它拆分成等差数列和等比数列求和.
3.裂项相消法求和
把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.
4.错位相减法求和
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,在求和式子的左、右两边同乘等比数列的公比,然后错位相减,使其转化为等比数列的求和问题.自我检测BB2.(分组法求和)已知数列{an}的通项公式为an=2n+n,前n项和为Sn,则S6等于( )
(A)282 (B)147 (C)45 (D)70B 课堂探究分组求和题型一题后反思 某些数列,通过适当分组,可把它拆分成两个或两个以上的等差数列或等比数列求和问题,那么我们可利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和,进而得出原数列的和.【备用例1】 求数列1,1+a,1+a+a2,…,1+a+a2+…+an-1,…的前n项和Sn(其中a≠0).裂项求和题型二题后反思错位相减法求和 题型三即时训练3-1:求和:Sn=x+2x2+3x3+…+nxn(x≠0).点击进入课时作业点击进入周练卷 谢谢观赏
Thanks!第二章 数 列
2.1数列的概念与简单表示法
第一课时 数列的概念与通项公式
【选题明细表】
知识点、方法
题号
数列的有关概念
1、5
数列的分类
3
数列的通项公式
2、6、8、9、11
数列通项公式的应用
4、7、10、12、13
基础巩固
1.下列说法中正确的是( C )
(A)数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}
(B)数列1,0,-1,-2与-2,-1,0,1是相同的数列
(C)数列{}的第k项为1+
(D)数列0,2,4,6,…可记为{2n}
解析:{1,3,5,7}是一个集合,故选项A错;数虽相同,
但顺序不同,不是相同的数列,故选项B错;
数列0,2,4,6,…可记为{2n-2},故选项D错,故选C.
2.下列解析式中不是数列1,-1,1,-1,1,…的通项公式的是( A )
(A)an=(-1)n (B)an=(-1)n+1
(C)an=(-1)n-1 (D)an=
解析:对于选项A,a1=-1,与数列不符合,
选项B、C、D都与数列符合.故选A.
3.已知数列{an}满足an>0,且an+1=an,则数列{an}是( D )
(A)常数列 (B)摆动数列
(C)递增数列 (D)递减数列
解析:因为an+1=an,
所以an+1-an=-an<0,
即an+1所以数列{an}是递减数列.
4.设数列,,2,,…,则2是这个数列的( B )
(A)第6项 (B)第7项 (C)第8项 (D)第9项
解析:数列可变为,,,,…,
故通项公式an=.
令2=,得n=7.故选B.
5.已知一组数1,1,2,3,5,8,x,21,34,55,按这组数规律,x应为( C )
(A)11 (B)12 (C)13 (D)14
解析:由题意得1+1=2,1+2=3,2+3=5,3+5=8.
即数列从第3项开始,任意一项都是它前两项的和,
所以x=5+8=13.故选C.
6.数列0,,,,,…的通项公式为 .?
解析:数列可写为,,,,,…,
则其通项公式为an=.
答案:an=
7.已知数列{an}的通项公式为an=,那么是它的第 项.?
解析:令=,
解得n=4(n=-5舍去),所以是第4项.
答案:4
8.已知数列2,,2,…的通项公式为an=,求a4、a5.
解:将a1=2,a2=代入通项公式得
?
所以an==.
所以a4=,a5=.
能力提升
9.一张长方形桌子可坐a1=6人,按如图所示把桌子拼在一起,n张桌子可坐人数an等于( B )
(A)2n+2 (B)2n+4 (C)4n+2 (D)4n+4
解析:一张桌子可坐2×1+4人,
两张桌子可坐2×2+4人,
三张桌子可坐2×3+4人,
依此类推,n张桌子可坐2n+4人.故选B.
10.已知数列{an}中,a1=1,以后各项由公式a1·a2·a3·…·an=n2给出,则a3+a5等于( C )
(A) (B) (C) (D)
解析:由a1·a2=4,得a2=4,
由a1·a2·a3=32,得a3=.
因为a1·a2·a3·a4=42,
又a1·a2·a3·a4·a5=52,
所以42·a5=52,所以a5=,
所以a3+a5=+=.
11.黑白两种颜色的正六边形地面砖按下图的规律拼成若干个图案,则第n个图案中有白色地面砖 块.?
解析:第1个图案有白色地面砖6块,
第2个图案有10块,第3个图案有14块,……
可以看出每个图案较前一个图案多4块白色地面砖.
所以第n个图案有6+4(n-1)=4n+2块.
答案:(4n+2)
12.已知数列{an}的通项公式为an=pn+q(p,q∈R),且a1=-,a2=-.
(1)求{an}的通项公式;
(2)-是{an}中的第几项?
(3)该数列是递增数列还是递减数列?
解:(1)因为an=pn+q,
又a1=-,a2=-,
所以解得
因此{an}的通项公式是an=（）n-1.
(2)令an=-,即（）n-1=-,
所以（）n=,n=8.
故-是{an}中的第8项.
(3)由于an=（）n-1,且（）n随n的增大而减小,
因此an的值随n的增大而减小,故{an}是递减数列.
探究创新
13.已知数列{an}中,a1=2,a17=66,通项公式是项数n的一次函数.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)88是否是数列{an}中的项?
解:(1)设an=an+b,所以a1=a+b=2,①
a17=17a+b=66,②
②-①得16a=64,所以a=4,b=-2,所以an=4n-2.
(2)令4n-2=88,得n=?N*,
所以88不是数列{an}中的项.
第二课时 数列的性质和递推公式
【选题明细表】
知识点、方法
题号
递推公式的简单应用
1、5、7
利用递推公式求通项公式
4、10
数列的单调性
2、8、12
数列的周期性
6、9、11
数列的最大(小)项问题
3
基础巩固
1.已知数列{an}满足a1=,an=2an-1+1(n>1),那么a4等于( B )
(A)5 (B)11 (C)23 (D)8
解析:由已知可得a2=2a1+1=2,a3=2a2+1=5,a4=2a3+1=11,故选B.
2.已知数列{an}满足a1>0且an+1=an,则数列{an}是( B )
(A)递增数列 (B)递减数列
(C)常数列 (D)摆动数列
解析:因为a1>0,an+1=an,所以an>0.
又因为an+1-an=an-an=-an<0,所以an+1故数列{an}是递减数列.故选B.
3.数列{an}的通项公式为an=-2n2+21n,则该数列中最大的项为( B )
(A)第4项 (B)第5项 (C)第6项 (D)第7项
解析:因为f(n)=-2n2+21n=-2(n-)2+(n∈N*),
所以n=5时,an最大.
因为a5=55,所以最大项为第5项.故选B.
4.已知a1=1,an=n(an+1-an)(n∈N*),则数列{an}的通项公式是( D )
(A)2n-1 (B)()n-1 (C)n2 (D)n
解析:因为an=n(an+1-an),所以=,
所以an=×××…×××a1
=×××…×××1=n.故选D.
5.(2015开封高二期末)数列{an}满足an+1+an=2n-3,则a8-a4等于( D )
(A)7 (B)6 (C)5 (D)4
解析:a8-a4=a8+a7-a7+a6-a6+a5-a5-a4
=(a8+a7)+(a6+a5)-(a7+a6)-(a5+a4)
=2×7-3+2×5-3-(2×6-3)-(2×4-3)=4.
故选D.
6.(2014高考新课标全国卷Ⅱ)数列{an}满足an+1=,a8=2,则a1= .?
解析:将a8=2代入an+1=,可求得a7=;
再将a7=代入an+1=,可求得a6=-1;
再将a6=-1代入an+1=,可求得a5=2;
由此可以推出数列{an}是一个周期数列,且周期为3,
所以a1=a7=.
答案:
7.在数列{an}中,已知a1=2,an+1=an+n+1,则a10= .?
解析:a10=a10-a9+a9-a8+…+a2-a1+a1=10+9+8+…+2+2=56.
答案:56
8.数列{an}中,an=(a2-1)(n3-2n)(a≠±1)且数列{an}为递增数列.试确定实数a的取值范围.
解:因为数列{an}是递增数列,所以an+1>an.
所以an+1-an=(a2-1)(3n2+3n-1)>0.
因为n∈N*,所以3n2+3n-1=3(n+)2-≥5>0,
所以a2-1>0,所以a>1或a<-1.
故a的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞).
能力提升
9.数列{an}满足an+2an=2an+1(n∈N*),且a1=1,a2=2,则数列{an}的前2014项的乘积为( D )
(A)22012 (B)22013 (C)22014 (D)22015
解析:由an+2an=2an+1(n∈N*),
得an+2=(n∈N*),
由a1=1,a2=2,得a3=4,a4=4,a5=2,a6=1,a7=1,
a8=2,a9=4,a10=4…
数列中的项呈周期出现,周期为6,
又一个周期的乘积为26,
因为2014=335×6+4,
所以前2014项的乘积为×1×2×4×4=22015.
10.如图是第七届国际数学教育大会(简称ICME-7)的会徽图案,会徽的主体图案是由如图(2)的一连串直角三角形演化而成的,其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,如果把图(2)中的直角三角形继续做下去,记OA1,OA2,…,OAn,…的长度构成数列{an},则此数列的通项公式为an= .?
解析:因为OA1=1,OA2=,OA3=,…,OAn=,…,所以a1=1,a2=,a3=,…,an=.
答案:
11.已知数列{an}满足a1=2,an=1-(n∈N*,n≥2),则a3= ,a2014= .?
解析:因为a1=2,
所以a2=1-=1-=,
从而a3=1-=1-=1-2=-1,
a4=1-=1-=2,
a5=1-=,a6=1-=-1,….
由此可知数列{an}各项的值以3为周期重复出现,
于是a2014=a3×671+1=a1=2.
答案:-1 2
探究创新
12.已知an=a()n(a为常数且a≠0),试判断{an}的单调性.下面是一学生的解法,这种解法对吗?如果不对,给出你的结论.
因为an-an-1=a()n-a()n-1=-a()n<0,
所以{an}是递减数列.
解:这种解法误认为a>0,所以不对,对于非零实数a应讨论a>0和a<0两种情况.
因为an-an-1=-a()n(n≥2),
所以当a>0时,an-an-1<0.
所以an所以{an}是递减数列;
当a<0时,an-an-1>0,
所以an>an-1.
所以{an}是递增数列.
2.2 等差数列
第一课时 等差数列的概念与通项公式
【选题明细表】
知识点、方法
题号
等差数列的定义
1、5、6、10
等差数列的通项公式
3、4、7、8、10
等差中项的概念
2
等差数列的综合应用
8、9、11、12
基础巩固
1.已知数列{an}的通项公式为an=3n-5,则此数列是( A )
(A)公差为3的等差数列 (B)公差为-5的等差数列
(C)首项为3的等差数列 (D)首项为-5的等差数列
解析:因为当n≥2时,an-an-1=3n-5-[3(n-1)-5]=3,
所以此数列是公差为3的等差数列.故选A.
2.(2015福建宁德市高二期中)已知实数m是1和5的等差中项,则m等于( C )
(A) (B)± (C)3 (D)±3
解析:根据等差中项的定义得2m=1+5,所以m=3.故选C.
3.在数列{an}中,a1=3,an+1=an+4,则该数列的通项公式an等于( B )
(A)4n+3 (B)4n-1
(C)3n+3 (D)3n+1
解析:因为an+1=an+4,即an+1-an=4,
所以数列{an}是首项为a1=3,公差d=4的等差数列,
所以an=3+4(n-1)=4n-1.故选B.
4.等差数列{an}中,已知a1=,a2+a5=4,an=33,则n为( A )
(A)50 (B)49 (C)48 (D)47
解析:设数列{an}的公差为d,
则a2+a5=2a1+5d=2×+5d=4,
所以d=,
所以33=+(n-1)×,
所以n=50.
5.在等差数列{an}中,已知a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6等于( A )
(A)42 (B)40 (C)43 (D)45
解析:由等差数列的通项公式得,
a2+a3=2a1+3d=4+3d=13,d=3,
所以a4+a5+a6=3a1+12d=6+36=42.
6.(2013高考重庆卷)若2,a,b,c,9成等差数列,则c-a= .?
解析:设等差数列的公差为d,则9=2+4d,d=.
故c-a=2d=.
答案:
7.已知等差数列{an}中,a4=8,a8=4,则其通项公式an= .?
解析:由a4=a1+3d=8,
a8=a1+7d=4,
则d=-1,得a1=11,
所以an=a1+(n-1)d=11+(n-1)×(-1)=-n+12.
答案:-n+12
8.已知递减等差数列{an}的前三项和为18,前三项的乘积为66.求数列的通项公式,并判断-34是该数列的项吗?
解:法一 设等差数列{an}的前三项分别为a1,a2,a3.
依题意得
所以
解得或
因为数列{an}是递减等差数列,所以d<0.
故取a1=11,d=-5,
所以an=11+(n-1)·(-5)=-5n+16,
即等差数列{an}的通项公式为an=-5n+16.
令an=-34,即-5n+16=-34,得n=10.
所以-34是数列{an}的项,且为第10项.
法二 设等差数列{an}的前三项依次为a-d,a,a+d,
则解得
又因为{an}是递减等差数列,即d<0.
所以取a=6,d=-5.
所以{an}的首项a1=11,公差d=-5.
所以通项公式an=11+(n-1)·(-5),
即an=-5n+16.
令an=-34,解得n=10.
即-34是数列{an}的项,且为第10项.
能力提升
9.一个首项为23,公差为整数的等差数列,第7项开始为负数,则它的公差是( C )
(A)-2 (B)-3 (C)-4 (D)-6
解析:设此等差数列{an}的公差为d.
则有a7=23+6d<0,a6=23+5d>0,
-又d是整数,所以d=-4,选C.
10.已知数列{an}满足=+4,且a1=1,an>0,则an= .?
解析:根据已知条件=+4,即-=4,
得数列{}是公差为4的等差数列,
所以=+(n-1)·4=4n-3.
因为an>0,所以an=.
答案:
11.(2015福州八县一中高二联考)已知函数f(x)=,数列{xn}的通项由xn=f(xn-1)(n≥2且n∈N*)确定.
(1)求证:{}是等差数列;
(2)当x1=时,求x100.
(1)证明:xn=f(xn-1)=(n≥2且n∈N*),
所以==+,
所以-=(n≥2且n∈N*),
所以{}是等差数列.
(2)解:由(1)知=+(n-1)×=2+=.
所以==35.
所以x100=.
探究创新
12.数列{an}满足a1=1,an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…),λ是常数.
(1)当a2=-1时,求λ及a3的值;
(2)是否存在实数λ使数列{an}为等差数列?若存在,求出λ及数列{an}的通项公式;若不存在,请说明理由.
解:(1)由于an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…),
且a1=1.所以当a2=-1时,得-1=2-λ,故λ=3.
从而a3=(22+2-3)×(-1)=-3.
(2)数列{an}不可能为等差数列,证明如下:
由a1=1,an+1=(n2+n-λ)an,
得a2=2-λ,a3=(6-λ)(2-λ),
a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ).
若存在λ,使{an}为等差数列,则a3-a2=a2-a1,
即(5-λ)(2-λ)=1-λ,
解得λ=3.于是a2-a1=1-λ=-2,
a4-a3=(11-λ)(6-λ)(2-λ)=-24.
这与{an}为等差数列矛盾.所以,
不存在λ使{an}是等差数列.
第二课时 等差数列的性质及简单应用
【选题明细表】
知识点、方法
题号
等差数列性质的简单应用
1、2、3、6、10、13
巧用“对称”解等差数列问题
8
等差数列性质的综合应用
4、5、7、9、11
实际应用题
12
基础巩固
1.(2015葫芦岛六校协作体第二次考试)如果等差数列{an}中,a2+a8=10,那么a3+a4+a5+a6+a7等于( C )
(A)15 (B)20 (C)25 (D)30
解析:因为a2+a8=2a5=10,
所以a5=5,所以a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25.
2.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),且a3+a6+a10+a13=32,若am=8,则m为( B )
(A)12 (B)8 (C)6 (D)4
解析:因为a3+a6+a10+a13=32,
所以4a8=32,所以a8=8,又d≠0,am=8,所以m=8.
3.若{an}是等差数列,且a1+a4+a7=45,a2+a5+a8=39,则a3+a6+a9等于( D )
(A)39 (B)20 (C)19.5 (D)33
解析:因为a1+a4+a7=3a4=45,所以a4=15.
因为a2+a5+a8=39,所以3a5=39,所以a5=13,
所以d=a5-a4=-2,所以a6=a5+d=11,
a3+a6+a9=3a6=3×11=33.
4.等差数列{an}中,a2+a5+a8=9,那么关于x的方程x2+(a4+a6)x+10
=0( A )
(A)无实根 (B)有两个相等实根
(C)有两个不等实根 (D)不能确定有无实根
解析:由a2+a5+a8=9得3a5=9,a5=3,
所以a4+a6=2a5=6,
于是方程的判别式Δ=(a4+a6)2-4×10=62-4×10<0,故方程无实根,故选A.
5.下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个说法.
p1:数列{an}是递增数列;
p2:数列{nan}是递增数列;
p3:数列{}是递增数列;
p4:数列{an+3nd}是递增数列.
其中正确的为( D )
(A)p1,p2 (B)p3,p4 (C)p2,p3 (D)p1,p4
解析:因为an=a1+(n-1)d,d>0,
所以an-an-1=d>0,命题p1正确.
nan=na1+n(n-1)d,
所以nan-(n-1)an-1=a1+2(n-1)d与0的大小和a1的取值情况有关.
故数列{nan}不一定递增,命题p2不正确.
对于p3:=+d,
所以-=,
当d-a1>0,即d>a1时,数列{}递增,
但d>a1不一定成立,则p3不正确.
对于p4:设bn=an+3nd,
则bn+1-bn=an+1-an+3d=4d>0.
所以数列{an+3nd}是递增数列,p4正确.
综上,正确的命题为p1,p4.
6.在等差数列{an}中,a10=10,a20=20,则a30= .?
解析:法一 d===1,
a30=a20+10d=20+10=30.
法二 由题意可知,a10、a20、a30成等差数列,
所以a30=2a20-a10=2×20-10=30.
答案:30
7.已知数列{an}为等差数列且a1+a7+a13=4π,则tan(a2+a12)的值为 .?
解析:因为a1+a7+a13=3a7=4π,
所以a7=,a2+a12=,
所以tan(a2+a12)=tan=tan
=-tan=-.
答案:-
8.四个数成递增等差数列,中间两数的和为2,首末两数的积为-8,求这四个数.
解:法一 设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d),
依题意得,2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-8,
即a=1,a2-9d2=-8,
所以d2=1,所以d=1或d=-1.
又四个数成递增等差数列,所以d>0.
所以d=1,故所求的四个数为-2,0,2,4.
法二 设这四个数为a,a+d,a+2d,a+3d(公差为d),
依题意得,2a+3d=2,且a(a+3d)=-8,
把a=1-d代入a(a+3d)=-8,
得(1-d)(1+d)=-8,
即1-d2=-8.
化简得d2=4,
所以d=2或-2.
又四个数成递增等差数列,所以d>0,
所以d=2,a=-2.
故所求的四个数为-2,0,2,4.
能力提升
9.若a,b,c成等差数列,则二次函数y=ax2-2bx+c的图象与x轴的交点的个数为( D )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)1或2
解析:因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,
所以Δ=4b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2≥0.
所以二次函数y=ax2-2bx+c的图象与x轴的交点个数为1或2.故选D.
10.等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,则2a9-a10的值是( C )
(A)20 (B)22 (C)24 (D)-8
解析:因为a1+3a8+a15=5a8=120,
所以a8=24,而2a9-a10=a10+a8-a10=a8=24.
11.已知数列-1,x1,x2,9和-1,y1,y2,y3,9都是等差数列,则= .?
解析:设两个等差数列的公差分别为d1和d2,
则3d1=9-(-1)=10,d1=,
4d2=9-(-1)=10,d2=,
于是===.
答案:
12.某单位用分期付款方式为职工购买40套住房,共需1150万元,购买当天先付150万元,以后每月这一天都交付50万元,并加付欠款利息,月利率为1%.若交付150万元后的第一个月算分期付款的第一个月,求分期付款的第10个月应付多少钱?最后一次应付多少钱?
解:购买时先付150万元,还欠款1000万元.
依题意知20次可付清.
设每次交付的欠款依次为a1,a2,a3,…,a20,构成数列{an},
则a1=50+1000×0.01=60;
a2=50+(1000-50)×0.01=59.5;
a3=50+(1000-50×2)×0.01=59;
…
an=50+[1000-50(n-1)]×0.01
=60-(n-1)(1≤n≤20).
所以{an}是以60为首项,-为公差的等差数列.
则a10=60-9×=55.5,
a20=60-19×=50.5,
故第10个月应付55.5万元,最后一次应付50.5万元.
探究创新
13.已知{an}是等差数列,且a1+a2+a3=12,a8=16.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若从数列{an}中,依次取出第2项,第4项,第6项,…,第2n项,按原来顺序组成一个新数列{bn},试求出{bn}的通项公式.
解:(1)由a1+a2+a3=12,所以3a2=12,
所以a2=4.又因为a8=16,所以d===2.
所以an=a2+(n-2)d=4+2(n-2)=2n.
(2)a2=4,a4=8,a6=12,a8=16,…,a2n=2×2n=4n.
当n>1时,a2n-a2(n-1)=4n-4(n-1)=4.
所以{bn}是以4为首项,4为公差的等差数列,
所以bn=b1+(n-1)d=4+4(n-1)=4n.
2.3 等差数列的前n项和
【选题明细表】
知识点、方法
题号
等差数列前n项和公式的基本应用
1、2、3、9、13
等差数列前n项和的性质
5、10、11
等差数列前n项和的最值
4、7、12
an与Sn的关系及应用
6、8
基础巩固
1.(2015滁州高二期末)设Sn是等差数列{an}的前n项和,S15=30,则a8等于( C )
(A) (B)1 (C)2 (D)4
解析:因为S15==15a8=30,
所以a8=2.故选C.
2.(2015惠州一模)设Sn是等差数列{an}的前n项和,a1=2,a5=3a3,则S9等于( B )
(A)-72 (B)-54 (C)54 (D)72
解析:a1=2,a5=3a3得a1+4d=3(a1+2d),
即d=-a1=-2,所以S9=9a1+d=9×2-9×8=-54,故选B.
3.等差数列{an}中,a1=1,a3+a5=14,其前n项和Sn=100,则n等于( B )
(A)9 (B)10 (C)11 (D)12
解析:因为a3+a5=2a4=14,
所以a4=7,
d==2,
Sn=na1+·d
=n+×2
=n2=100,
所以n=10.故选B.
4.已知等差数列{an}中,|a5|=|a9|,公差d>0,则使得前n项和Sn取得最小值时的正整数n的值是( C )
(A)4和5 (B)5和6
(C)6和7 (D)7和8
解析:依题意a5<0,a9>0,且a5+a9=0?2a1+12d=0?a1+6d=0,即a7=0,故前6项与前7项的和最小,故选C.
5.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则S9等于( B )
(A)45 (B)81 (C)27 (D)54
解析:因为数列{an}是等差数列,
所以S3,S6-S3,S9-S6成等差数列.
所以S3+(S9-S6)=2(S6-S3),
即9+S9-36=2(36-9),
解得S9=81.故选B.
6.Sn为等差数列{an}的前n项和,S2=S6,a4=1,则Sn= .?
解析:由题意知S6-S2=a3+a4+a5+a6=2(a4+a5)=0,
又a4=1,
所以a5=-1,
所以d=-2,a1=a4-3d=1+6=7.
所以Sn=7n+n(n-1)·(-2)
=-n2+n+7n
=-n2+8n.
答案:-n2+8n
7.在等差数列{an}中,a1=32,an+1=an-4,则当n= 时,前n项和Sn取最大值,最大值是 .?
解析:因为d=an+1-an=-4,
所以an=-4n+36.
令an=-4n+36≥0,得n≤9,
所以n=8或9时,Sn最大,且S8=S9=144.
答案:8或9 144
8.已知数列{an}中,a1=1,前n项和Sn=an.
(1)求a2,a3;
(2)求{an}的通项公式.
解:(1)由S2=a2得3(a1+a2)=4a2,
解得a2=3a1=3,
由S3=a3,得3(a1+a2+a3)=5a3,
解得a3=(a1+a2)=6.
(2)由题设知当n=1时,a1=1.
当n≥2时,有an=Sn-Sn-1=an-an-1
整理得an=an-1
于是a2=a1,a3=a2,…,an-1=an-2,
an=an-1,
将以上n-1个等式中等号两端分别相乘,
整理得an=.
综上可知,{an}的通项公式为an=.
能力提升
9.等差数列{an}的前n项和是Sn,若a1+a2=5,a3+a4=9,则S10的值为( B )
(A)55 (B)65 (C)60 (D)70
解析:设a1+a2=b1=5,a3+a4=b2=9,则{bn}是以首项b1=5,公差为4的等差数列,b5=b1+4×4=21,所以S10=b1+b2+…+b5===65.故选B.
10.在等差数列{an}中,已知S4=1,S8=4,设S=a17+a18+a19+a20,则S等于( B )
(A)8 (B)9 (C)10 (D)11
解析:S4=1,S8=4?S8-S4=3?S12-S8=5?S16-S12=7?S=S20-S16=9.故选B.
11.等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn、Tn,且=,则= .?
解析:=====.
答案:
12.在等差数列{an}中,已知a4=7,S6=45.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)当n取何值时,Sn取最大值,并求出最大值.
解:(1)联立
解得所以an=a1+(n-1)d=11-n.
(2)由(1)知Sn=
=-n2+n(n∈N*)
所以当n=10或11时Sn最大,且(Sn)max=S10=S11=55.
探究创新
13.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1=1,a3=5,Sk+2-Sk=36,则k的值为( A )
(A)8 (B)7 (C)6 (D)5
解析:设等差数列{an}的公差为d,
则2d=a3-a1=4,得d=2,
所以an=1+2(n-1)=2n-1,
由Sk+2-Sk=ak+2+ak+1=2(k+2)-1+2(k+1)-1=4k+4=36,解得k=8.故选A.
2.4 等比数列
第一课时 等比数列的概念与通项公式
【选题明细表】
知识点、方法
题号
等比数列的定义
1、10
等比数列的通项公式
2、4、6、8、9、10、11
等比中项
7
综合问题
3、5、12、13
基础巩固
1.(2015洛阳高二检测)数列a,a,a,…,a,…(a∈R)必为( D )
(A)等差数列但不是等比数列
(B)等比数列但不是等差数列
(C)既是等差数列,又是等比数列
(D)以上都不正确
解析:当a≠0时,该数列是等差数列,也是等比数列,当a=0时,是等差数列,但不是等比数列,故选D.
2.若等比数列的首项为,末项为,公比为,则这个数列的项数为( B )
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
解析:·()n-1=,
所以()n-1==()3,
所以n=4,故选B.
3.若方程x2-5x+m=0与x2-10x+n=0的四个根适当排列后,恰好组成一个首项为1的等比数列,则的值为( A )
(A) (B) (C)2 (D)4
解析:设方程x2-5x+m=0的两根为x1,x2,
方程x2-10x+n=0的两根为x3,x4,
则
令x1=1,由题意知x2=4,x3=2,x4=8,
所以m=4,n=16,
所以=.故选A.
4.各项均为正数的等比数列{an}中,2a1+a2=a3,则的值为( D )
(A)-1 (B)-1或2 (C)3 (D)2
解析:设{an}的公比为q(q>0),
则2a1+a1q=a1q2,
所以q2-q-2=0,
所以q=2或q=-1(舍去),
所以==q=2.故选D.
5.(2015灵璧中学抽测)数列{an}为等差数列,a1,a2,a3成等比数列,a5=1,则a10等于( D )
(A)5 (B)-1 (C)0 (D)1
解析:设公差为d,由已知得
解得
所以a10=a1+9d=1,故选D.
6.在数列{an}中,a1=2,且对任意正整数n,3an+1-an=0,则an= .?
解析:因为3an+1-an=0,
所以=,因此{an}是以为公比的等比数列,
又a1=2,所以an=2×()n-1.
答案:2×()n-1
7.若x,2x+2,3x+3是一个等比数列的连续三项,则x的值为 .?
解析:由于x,2x+2,3x+3成等比数列,
所以==且x≠-1,0.
所以2(2x+2)=3x,
所以x=-4.
答案:-4
8.在等比数列中:
(1)若a4=27,q=-3,求a7;
(2)若a2=18,a4=8,求a1与q;
(3)若a5-a1=15,a4-a2=6,求a3.
解:(1)a7=a4q3=27×(-3)3=-729.
(2)由得
解得或
(3)法一 由
得
即
解得或
所以a3=a1q2=-4或4.
法二 由已知得可解得a3=±4.
能力提升
9.已知正项等比数列{an}满足:a7=a6+2a5,若存在两项am、an,使得=4a1,则m+n的值为( B )
(A)10 (B)6
(C)4 (D)不存在
解析:因为a7=a6+2a5,所以a5q2=a5q+2a5,
又a5≠0,
所以q2=q+2,
所以q=2或q=-1,
又an>0,所以q=2.
又=4a1,所以aman=16,
所以qm-1·qn-1=16,
所以qm+n-2=16,即2m+n-2=24,
所以m+n-2=4,所以m+n=6.故选B.
10.如果数列a1,,,…,,…是首项为1,公比为-的等比数列,那么a5等于( A )
(A)32 (B)64
(C)-32 (D)-64
解析:由已知得=(-)n-1,
则=-,
=(-)2,
=(-)3,
=(-)4,
以上四式相乘得a5=(-)1+2+3+4,
解得a5=32.故选A.
11.若数列{an}的前n项和为Sn,且an=2Sn-3,则{an}的通项公式是 .?
解析:由an=2Sn-3得an-1=2Sn-1-3(n≥2),两式相减得an-an-1=2an(n≥2),
所以an=-an-1(n≥2),=-1(n≥2).
故{an}是公比为-1的等比数列,
令n=1得a1=2a1-3,
所以a1=3,故an=3·(-1)n-1.
答案:an=3·(-1)n-1
12.已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1.
(1)求证:数列{an+1}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
(1)证明:因为an+1=2an+1,
所以an+1+1=2(an+1).
由a1=1,知a1+1=2≠0,
可得an+1≠0.
所以=2(n∈N*).
所以数列{an+1}是等比数列.
(2)解:由(1)知{an+1}是以a1+1=2为首项,以2为公比的等比数列.
所以an+1=2·2n-1=2n,即an=2n-1.
探究创新
13.已知两个等比数列{an},{bn},满足a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3.
(1)若a=1,求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{an}唯一,求a的值.
解:(1)设等比数列{an}的公比为q,
则b1=1+a=2,b2=2+aq=2+q,b3=3+aq2=3+q2,
由b1,b2,b3成等比数列,
得(2+q)2=2(3+q2),
即q2-4q+2=0解得q1=2+,q2=2-,
所以{an}的通项公式为an=(2+)n-1或an=(2-)n-1.
(2)设{an}的公比为q,
则由=b1b3得(2+aq)2=(1+a)(3+aq2),
得aq2-4aq+3a-1=0,(*)
由a>0得Δ=4a2+4a>0,故方程(*)有两个不同的实根,
由数列{an}唯一,知方程(*)必有一根为0,将q=0代入方程(*)得a=.
第二课时 等比数列的性质及应用
【选题明细表】
知识点、方法
题号
等比数列的性质及应用
1、2、3、5、6、8
等比数列与等差数列综合
4、9、10、11、12
实际应用
7
基础巩固
1.公比为的等比数列{an}的各项都是正数,且a4a6=16,则a7等于( B )
(A) (B)1 (C)2 (D)4
解析:由a4a6=16得=16,
所以a5=4,
所以a7=a5q2=4×()2=1.故选B.
2.已知{an}为等比数列,且an>0,若a2a4+2a3a5+=16,那么a3+a5等于( D )
(A)±4 (B)2 (C)±2 (D)4
解析:由a2a4+2a3a5+=16得+2a3a5+=16,
所以(a3+a5)2=16,
因为an>0,
所以a3+a5=4.故选D.
3.已知各项均为正数的等比数列{an}中,lg(a3a8a13)=6,则a1a15的值为( C )
(A)100 (B)-100
(C)10000 (D)-10000
解析:由lg(a3a8a13)=6,
得a3a8a13=106,
所以=106,所以a8=100,
a1a15==10000,故选C.
4.已知等比数列{an}中,a3a11=4a7,数列{bn}是等差数列,且b7=a7,则b5+b9等于( C )
(A)2 (B)4 (C)8 (D)16
解析:等比数列{an}中,a3a11==4a7,解得a7=4.等差数列{bn}中,b5+b9=2b7=2a7=8.故选C.
5.(2015临沂高二学分认定)记等比数列{an}的前n项积为Ⅱn,若a4·a5=2,则Ⅱ8等于( C )
(A)256 (B)81 (C)16 (D)1
解析:由题意可知a4a5=a1a8=a2a7=a3a6=2,则Ⅱ8=a1a2a3a4a5a6a7a8=(a4a5)4=24=16.
故选C.
6.在等比数列{an}中,a7a11=6,a4+a14=5,则= .?
解析:因为a7a11=a4a14=6,
又a4+a14=5,
所以或
所以=q10=,
所以=或=.
答案:或
7.某单位某年十二月份的产值是同年一月份产值的m倍,那么该单位此年的月平均增长率是 .?
解析:设一月份产值为1,此年的月平均增长率为x,则(1+x)11=m,x=,所以月平均增长率为-1.
答案:-1
8.(2015淄博高二检测)已知数列{an}成等比数列.
(1)若a2=4,a5=-,求数列{an}的通项公式;
(2)若a3a4a5=8,求a2a3a4a5a6的值.
解:(1)由a5=a2q3, 得-=4·q3,
所以q=-,an=a2qn-2=4(-)n-2.
(2)由a3a5=,得a3a4a5==8.
解得a4=2.
又因为a2a6=a3a5=,
所以a2a3a4a5a6==25=32.
能力提升
9.已知各项不为0的等差数列{an}满足a4-2+3a8=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则b2b8b11等于( D )
(A)1 (B)2 (C)4 (D)8
解析:由已知,a4-2+3a8=0,
即4a7-2=0,
又各项不为0,a7=2,
所以b7=2,则b2b8b11==8.
故选D.
10.在右列表格中,每格填上一数字后,使每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列,则x+y+z的值为 .?
解析:因为=,
所以x=1.
因为第一行中的数成等差数列,首项为2,公差为1,故后两格中数字分别为5,6.
同理,第二行后两格中数字分别为2.5,3.
所以y=5·()3,z=6·()4.
所以x+y+z=1+5·()3+6·()4==2.
答案:2
11.三个正数成等差数列,它们的和等于15,如果它们分别加上1,3,9就成为等比数列,则此三个数分别为 .?
解析:设所求三个数为a-d,a,a+d.
由题意得
解得或
又因为a-d,a,a+d为正数,
所以a=5,d=2,
故所求三个数分别为3,5,7.
答案:3,5,7
探究创新
12.若{an}是公差d≠0的等差数列,{bn}是公比q≠1的等比数列,已知a1=b1=1,且a2=b2,a6=b3.
(1)求d和q;
(2)是否存在常数a,b,使对一切n∈N*都有an=logabn+b成立?若存在求出a、b的值,若不存在,请说明理由.
解:(1)由题意得解得d=3,q=4.
(2)假设存在常数a,b,
由an=3n-2,bn=4n-1,
代入an=logabn+b得3n-2=loga4n-1+b,
即(3-loga4)n+(loga4-b-2)=0对n∈N*都成立,
所以所以
所以存在常数a=,b=1使等式成立.
2.5 等比数列的前n项和
第一课时 等比数列的前n项和
【选题明细表】
知识点、方法
题号
等比数列的前n项和公式
1、2、3、6、8、9、11
等比数列前n项和的性质
4、7
综合应用
5、10、12
基础巩固
1.等比数列{an}的各项都是正数,若a1=81,a5=16,则它的前5项和是( B )
(A)179 (B)211 (C)248 (D)275
解析:由16=81×q4,q>0得q=,
所以S5==211.故选B.
2.设Sn为等比数列{an}的前n项和,8a2+a5=0,则等于( D )
(A)11 (B)5 (C)-8 (D)-11
解析:设等比数列的公比为q,
则由8a2+a5=0得=-8=q3,
所以q=-2,
所以===-11.故选D.
3.(2015中山高二检测)等比数列{an}中,a3=3S2+2,a4=3S3+2,则公比q等于( C )
(A)2 (B) (C)4 (D)
解析:因为a3=3S2+2,a4=3S3+2,
所以a4-a3=3(S3-S2)=3a3,
即a4=4a3,
所以q==4,故选C.
4.等比数列{an}的前n项和Sn=3n-a,则实数a的值为( B )
(A)0 (B)1 (C)3 (D)不存在
解析:法一 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-3n-1=2·3n-1,==3.
又a1=S1=3-a,a2=2×3=6,则=.
因为{an}是等比数列,所以=3,得a=1.
法二 由等比数列前n项和公式知,3n系数1与-a互为相反数,即-a=-1,则a=1.
5.已知数列{an}为等比数列,Sn是它的前n项和,若a2·a3=2a1,且a4与2a7的等差中项为,则S5等于( C )
(A)35 (B)33 (C)31 (D)29
解析:设数列{an}的公比为q,
因为a2·a3=·q3=a1·a4=2a1,
所以a4=2.
又因为a4+2a7=a4+2a4q3=2+4q3=2×,
所以q=.
所以a1==16.S5==31.故选C.
6.若数列{an}为等比数列,且a1=1,q=2,则Tn=++…+的结果可化为( C )
(A)1- (B)1-
(C)(1-) (D)(1-)
解析:因为{an}为等比数列,
且a1=1,q=2,
所以an=2n-1,
==,
即数列是以为首项,以为公比的等比数列,
所以Tn==(1-).
7.在等比数列{an}中,已知a1+a2+a3=1,a4+a5+a6=-2,则该数列的前15项和S15= .?
解析:记b1=a1+a2+a3,b2=a4+a5+a6,…,b5=a13+a14+a15,依题意{bn}构成等比数列,
其首项b1=1,公比为q==-2,
则{bn}的前5项和即为{an}的前15项和S15==11.
答案:11
8.设等比数列{an}的公比q<1,前n项和为Sn,已知a3=2,S4=5S2,求{an}的通项公式.
解:由题设知a1≠0,Sn=,则
由②得1-q4=5(1-q2),(q2-4)(q2-1)=0.
(q-2)(q+2)(q-1)(q+1)=0,
因为q<1,解得q=-1或q=-2.
当q=-1时,代入①得a1=2,
通项公式an=2×(-1)n-1;
当q=-2时,代入①得a1=,
通项公式an=×(-2)n-1.
综上,当q=-1时,an=2×(-1)n-1;
当q=-2时,an=×(-2)n-1.
能力提升
9.在等比数列{an}中,公比q=,且log2a1+log2a2+…+log2a10=55,则a1+a2+…+a10= .?
解析:据题意知log2(·q1+2+…+9)=log2(·q45)=55,
即=2100.
又an>0,所以a1=210,
所以S10=211-2.
答案:211-2
10.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=,则Sn=a1+a2+…+an的取值范围是 .?
解析:因为{an}是等比数列,所以可设an=a1qn-1.
因为a2=2,a5=,所以
解得
所以Sn=a1+a2+…+an==8-8×()n,
因为0<()n≤,所以4≤Sn<8.
答案:[4,8)
11.(2015毫州检测)设数列{an}的前n项和为Sn,其中an≠0,a1为常数,且-a1,Sn,an+1成等差数列.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=1-Sn,问:是否存在a1,使数列{bn}为等比数列?若存在,求出a1的值,若不存在,请说明理由.
解:(1)依题意,得2Sn=an+1-a1.
当n≥2时,有两式相减,得an+1=3an(n≥2).
又因为a2=2S1+a1=3a1,an≠0,
所以数列{an}是首项为a1,公比为3的等比数列.
因此,an=a1·3n-1(n∈N*).
(2)因为Sn==a1·3n-a1,
bn=1-Sn=1+a1-a1·3n.
要使{bn}为等比数列,当且仅当1+a1=0,即a1=-2.
所以存在a1=-2,使数列{bn}为等比数列.
探究创新
12.已知数列{an}中,a1=,a2=1,3an=4an-1-an-2(n≥3).
(1)求a3的值;
(2)证明:数列{an-an-1}(n≥2)是等比数列;
(3)求数列{an}的通项公式.
(1)解:因为a1=,a2=1,
3an=4an-1-an-2,
所以3a3=4a2-a1,
a3==.
(2)证明:当n≥3时,因为3an=4an-1-an-2,
所以3an-3an-1=an-1-an-2,
所以=,
所以{an-an-1}是等比数列,且首项为,公比为.
(3)解:由(2)可知{an-an-1}的通项为an-an-1=,
所以(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=()+++…+,
即an-a1=()+++…+
==[1-]
=-×,
所以an=-×+,
即an=-·()n-1.
第二课时 数列求和习题课
【选题明细表】
知识点、方法
题号
公式法求和
1、10
分组法求和
5、7、9
裂项求和法
2、6、8
错位相减法
3、11、12
并项转化法
4
基础巩固
1.(2015桂林高二检测)在等比数列{an}中,a1+a2+…+an=2n-1,则++…+等于( D )
(A)(2n-1)2 (B)(2n-1)
(C)4n-1 (D)(4n-1)
解析:由a1+a2+…+an=2n-1,得a1=1,a2=2,
则数列{an}的公比q=2,
所以数列{}的首项为=1,公比为q2=4.
所以++…+==(4n-1).故选D.
2.已知数列an=(n∈N*),则数列{an}的前10项和为( C )
(A) (B) (C) (D)
解析:an===(-),
所以S10=（-+-+…+-）=.故选C.
3.数列{n·2n}的前n项和等于( B )
(A)n·2n-2n+2 (B)n·2n+1-2n+1+2
(C)n·2n+1-2n (D)n·2n+1-2n+1
解析:设{n·2n}的前n项和为Sn,
则Sn=1×21+2×22+3×23+…+n·2n, ①
所以2Sn=1×22+2×23+…+(n-1)2n+n·2n+1,②
①-②得-Sn=2+22+23+…+2n-n·2n+1
=-n·2n+1
所以Sn=n·2n+1-2n+1+2,故选B.
4.数列{an}满足an+an+1=(n∈N*),且a1=1,Sn是数列{an}的前n项和,则S21等于( B )
(A) (B)6 (C)10 (D)11
解析:依题意得an+an+1=an+1+an+2=,则an+2=an,即数列{an}中的奇数项、偶数项分别相等,则a21=a1=1,S21=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a19+a20)+a21
=10(a1+a2)+a21=10×+1=6,故选B.
5.已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+n+2n(n∈N*),则an等于( B )
(A)+2n-1-1 (B)+2n-1
(C)+2n+1-1 (D)+2n+1-1
解析:因为an+1=an+n+2n,所以an+1-an=n+2n,
所以a2-a1=1+2,
a3-a2=2+22,
a4-a3=3+23,
…
an-an-1=n-1+2n-1(n≥2),
以上各式相加得
an-a1=1+2+2+22+3+23+…+n-1+2n-1=(1+2+3+…+n-1)+(2+22+23+…+2n-1),
所以an=[1+2+3+…+(n-1)]+(1+2+22+23+…+2n-1)=+=+2n-1(n≥2).
又a1=1适合上式,
所以an=+2n-1.故选B.
6.已知数列{an}满足an+1=an+2(n∈N*)且a1=2,数列{bn}满足bn=,则数列{bn}的前10项和为 .?
解析:由an+1-an=2得{an}是首项为2,
公差为2的等差数列,
所以an=2n,
所以bn=,
数列{bn}的前10项和
S10=++…+
=×（-+-+…+-）
=×(-)=.
答案:
7.(2015烟台高二检测)1+11+111+…+= .?
解析:因为=1+10+102+…+10n-1=(10n-1),
所以Sn=(101-1+102-1+103-1+…+10n-1)
=[(101+102+…+10n)-n]
=[-n]
=.
答案:
8.在数列{an}中,已知a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N*.
(1)设bn=an-n,求证:数列{bn}是等比数列;
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
解:(1)因为b1=a1-1=1,
又=
=
==4,
所以数列{bn}为以1为首项,以4为公比的等比数列.
(2)由(1)得bn=4n-1.
因为an=bn+n=4n-1+n,
所以Sn=(40+41+42+…+4n-1)+(1+2+3+…+n)
=+
=+.
能力提升
9.已知函数f(n)=n2cos nπ,且an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+…+a100等于( A )
(A)-100 (B)0 (C)100 (D)10
解析:若n为偶数,则an=f(n)+f(n+1)=n2-(n+1)2=-(2n+1),首项为a2=-5,公差为-4的等差数列;若n为奇数,则an=f(n)+f(n+1)=-n2+(n+1)2=2n+1,首项为a1=3,公差为4的等差数列.所以a1+a2+a3+…+a100=(a1+a3+…+a99)+(a2+a4+…+a100)=50×3+×4+50×(-5)+×(-4)=-100.故选A.
10.已知数列{an}中,a1=10,an+1=an-,则它的前n项和Sn的最大值为 .?
解析:由an+1=an-得an+1-an=-,
故{an}是公差为-的等差数列,
于是Sn=10n+×(-)=-n2+n
=-(n-)2+,
因此当n=20或n=21时,Sn取最大值为S20=S21=105.
答案:105
11.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n2+n,n∈N*,数列{bn}满足an=4log2bn+3,n∈N*.
(1)求an,bn;
(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.
解:(1)由Sn=2n2+n,
得a1=S1=3;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4n-1.
又a1=3也适合上式.
所以an=4n-1,n∈N*.
由4n-1=an=4log2bn+3,
得bn=2n-1,n∈N*.
(2)由(1)知anbn=(4n-1)·2n-1,n∈N*.
所以Tn=3+7×2+11×22+…+(4n-1)·2n-1.
2Tn=3×2+7×22+…+(4n-5)·2n-1+(4n-1)·2n.
所以2Tn-Tn=(4n-1)2n-[3+4(2+22+…+2n-1)]=(4n-5)2n+5.
故Tn=(4n-5)2n+5,n∈N*.
探究创新
12.已知数列{an}中,a1=1,an+1=(n∈N*).
(1)求证:{+}是等比数列,并求{an}的通项公式;
(2)数列{bn}满足bn=(3n-1)··an,数列{bn}的前n项和为Tn,求使不等式Tn+>成立的正整数n的最小值.
(1)证明:由a1=1,an+1=(n∈N*)知,
+=3(+),
又+=,
所以{+}是以为首项,3为公比的等比数列.
所以+=×3n-1=,
所以an=.
(2)解:bn=,
Tn=1×+2×+3×+…+(n-1)×+n×,
=1×+2×+…+(n-1)×+n×,
两式相减得
=+++…+-n×=2-,
所以Tn=4-,
所以Tn+=4->,<,
所以2n-1>16,所以n>5,所以n的最小值为6.
