第一章 检测试题
(时间:90分钟 满分:120分)
【选题明细表】
知识点、方法
题号
正弦定理的简单应用
1、5
余弦定理的简单应用
3、10、13
解三角形
4、11
判断三角形的形状
2、7
三角形面积的计算
6、8、14、19
测量问题
12、16、20
三角恒等式证明
18
综合问题
9、15、17
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.(2015洛阳高二期中)已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=1,b=,B=60°,那么角A等于( A )
(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°
解析:由正弦定理得sin A===,由a
2.△ABC中,=,则△ABC一定是( D )
(A)等边三角形 (B)直角三角形
(C)等腰直角三角形 (D)等腰三角形
解析:由条件知,acos B=bcos A,即sin Acos B-cos Asin B=sin(A-B)=0.所以A=B,故△ABC为等腰三角形.故选D.
3.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若(a2+c2-b2)tan B=ac,则角B的值为( D )
(A) (B)
(C)或 (D)或
解析:因为(a2+c2-b2)tan B=ac,
所以·tan B=.
即cos B·tan B=sin B=.
因为0所以B的值为或.故选D.
4.在△ABC中,A=60°,a=,b=4,那么满足条件的△ABC( C )
(A)有一个解 (B)有两个解
(C)无解 (D)不能确定
解析:bsin A=4×sin 60°=4×=2.又a=,且<2,则△ABC无解.故选C.
5.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=,b=,B=120°,则a等于( D )
(A) (B)2 (C) (D)
解析:由正弦定理=得
sin C===.
所以C=30°,
所以A=180°-30°-120°=30°,
由=得,
a====.故选D.
6.△ABC的三边分别为a,b,c,且a=1,B=45°,S△ABC=2,则△ABC的外接圆的直径为( C )
(A)4 (B)5 (C)5 (D)6
解析:因为S△ABC=acsin B=2,
所以c=4.
由余弦定理b2=a2+c2-2accos B=25,
所以b=5.由正弦定理2R==5(R为△ABC外接圆的半径).故选C.
7.(2015临沂高二学分认定)已知△ABC的内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若cos C>,则△ABC的形状是( D )
(A)锐角三角形 (B)直角三角形
(C)等腰三角形 (D)钝角三角形
解析:因为cos C>,
所以>,
所以a2+b2-c2>2b2,
所以b2+c2-a2<0,
所以cos A<0,
所以角A为钝角.故选D.
8.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,b=8,c=8,S△ABC=16,则A等于( C )
(A)30° (B)60°
(C)30°或150° (D)60°或120°
解析:由S△ABC=bcsin A得,×8×8sin A=16.所以sin A=.所以A=30°或150°.故选C.
9.在三角形ABC中,若三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c,a=1,c=4,B=45°,则sin C的值等于( B )
(A) (B) (C) (D)
解析:由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos B,
所以b2=1+32-2×1×4×=25,
因此b=5,由正弦定理得=,
所以sin C===,故选B.
10.若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足(a+b)2-c2=4,且C=60°,则ab的值为( A )
(A) (B)8-4 (C)1 (D)
解析:由已知得a2+b2-c2+2ab=4,
由于C=60°,所以cos C==,
即a2+b2-c2=ab,因此ab+2ab=4,ab=,故选A.
11.△ABC中,BC=,A=60°,AC=4,则边AC上的高是( B )
(A) (B)或
(C) (D)3
解析:因为A=60°,a=,b=4,由余弦定理得13=16+c2-4c,即c2-4c+3=0,解得c=1或3.设边AC上的高为h,则h=csin 60°,所以h=或.故选B.
12.某船开始看见灯塔在南偏东30°方向,船沿南偏东60°的方向航行30 n mile后看见灯塔在正西方向,则这时船与灯塔的距离是( A )
(A)10 n mile (B)20 n mile
(C)10 n mile (D)20 n mile
解析:
如图,A为灯塔,∠COD=60°,在△AOC中,OC=30,∠AOC=30°,
∠OCA=30°,所以∠OAC=120°,设AC=x,则=,所以x==10.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.在△ABC中,已知b=50,c=150,B=30°,则边长a= .?
解析:由余弦定理得
a2+c2-2accos 30°=b2,
所以a2-150a+15000=0,
解得a=100或50.
答案:100或50
14.(2014高考福建卷)在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=2,则△ABC的面积等于 .?
解析:法一 在△ABC中,根据正弦定理,得=,
所以=,
解得sin B=1,
因为0°所以B=90°,所以C=30°,
所以△ABC的面积S△ABC=·AC·BC·sin C=2.
法二 在△ABC中,根据正弦定理,得=,
所以=,
解得sin B=1,
因为0°所以B=90°,
所以AB==2,
所以△ABC的面积S△ABC=·AB·BC=2.
答案:2
15.锐角三角形ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边.若2asin B=b,b+c=5,bc=6,则a= .?
解析:因为2asin B=b,
所以2sin Asin B=sin B,
所以sin A=,
因为△ABC是锐角三角形,
所以cos A=,
因为bc=6,b+c=5,
所以b=2,c=3或b=3,c=2.
所以a2=b2+c2-2bccos A
=22+32-2×6×=7.
所以a=.
答案:
16.如图,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.测得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30米,并在点C测得塔顶A的仰角为60°,则塔高AB= .?
解析:由题意可知在△BCD中,
∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30,
则∠CBD=180°-∠BCD-∠BDC=135°.
由正弦定理可得
BC===15.
又在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=60°,
所以AB=BC·tan∠ACB=15×=15(米).
答案:15 米
三、解答题(本大题共4小题,共40分)
17.(本小题满分10分)
在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c,且a2+c2-b2=2acsin B.
(1)求角B的大小;
(2)若b=,且A∈（,）,求边长c的取值范围.
解:(1)在△ABC中,根据余弦定理a2+c2-b2=2accos B,且a2+c2-b2=2acsin B,得2accos B=2acsin B,所以tan B=1,又因为0(2)因为A+B+C=π,
所以C=π-A-B=π-A,
由正弦定理,得===2,
所以c=2sin C=2sin(-A),
所以所以<-A<,
所以所以c∈(,2),即c的取值范围为(,2).
18.(本小题满分10分)
在△ABC中,求证:acos2+ccos2=(a+b+c).
证明:法一
左边=a·+c·
=+acos C+ccos A
=+(a·+c·)
=+==右边.
所以等式成立.
法二 由正弦定理得a=2Rsin A,c=2Rsin C,
代入等式左边,
左边=2Rsin A·+2Rsin C·
=R(sin A+sin Acos C+sin C+cos Asin C)
=R(sin A+sin C+sin Acos C+cos Asin C)
=R[sin A+sin C+sin(A+C)]
=R(sin A+sin C+sin B)
=
==右边,
所以等式成立.
19.(本小题满分10分)
在锐角△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且=.
(1)确定C的大小;
(2)若c=,且△ABC的面积为,求a2+b2的值.
解:(1)=,
由正弦定理得==,所以sin C=,
因为△ABC是锐角三角形,所以C=.
(2)因为c=,C=,
由面积公式得absin=,所以ab=6.
由余弦定理得a2+b2-2abcos=7,所以a2+b2=13.
20.(本小题满分10分)
如图,渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处,且与岛屿A相距12海里,渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙,刚好用2小时追上.
(1)求渔船甲的速度;
(2)求sin α的值.
解:(1)依题意,∠BAC=120°,AB=12海里,AC=10×2=20(海里),∠BCA=α.
在△ABC中,由余弦定理,得
BC2=AB2+AC2-2AB×AC×cos∠BAC
=122+202-2×12×20×cos 120°=784.
解得BC=28(海里),
所以渔船甲的速度为=14(海里/小时).
(2)法一 在△ABC中,AB=12,∠BAC=120°,BC=28,∠BCA=α,由正弦定理,得=.
即sin α===.
法二 在△ABC中,
因为AB=12,AC=20,BC=28,∠BCA=α,
由余弦定理,得cos α=,
即cos α==.
所以sin α===.
课件14张PPT。章末总结 网络建构 主题串讲 网络建构网络点拨
1.两个定理:正弦定理和余弦定理.
2.四种类型:已知两角和任一边;已知两边及一边的对角;已知三边;已知两边及夹角.
3.四种应用:距离、高度、角度与三角形面积. 主题串讲一、利用正、余弦定理解三角形规律方法 结合题目中已知条件,熟练地应用正、余弦定理及其变形,准确合理地选择恰当的定理,是解决解三角形问题的基本思路和方法.此外还应注意三角形内在的一些隐含条件,例如内角和为π,大边对大角等等.二、利用正、余弦定理判定三角形的形状【典例2】 在△ABC中,若B=60°,2b=a+c,试判断△ABC的形状.三、与三角形面积有关的问题(2)在涉及三角形面积时,常常借助正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.四、利用正、余弦定理解决实际应用问题【典例4】 (2015福建师大附中期中)攀岩运动是一项刺激而危险的运动.示意图如图所示,点A、C分别为两名攀岩者所在位置,点B为山的拐角处,且斜坡AB的坡角为θ,点D为山脚,某人在地面上的点E处测得A、B、C的仰角为α、β、γ,ED=a,其中BD与水平线ED垂直,C在BD上,求:
(1)点B、D间的距离及点C、D间的距离;
(2)在点A处攀岩者距地面的距离h.规律方法 解决实际问题的关键是根据问题所提供的信息画出图形,建立数学模型,通过解三角形,得到距离或角度,然后根据距离或角度与其他知识的联系,运用相应的数学思想和方法求解.点击进入检测试题 谢谢观赏
Thanks!课件25张PPT。第一章 解三角形
1.1 正弦正理和余弦定理
1.1.1 正弦定理 自主预习 课堂探究 自主预习1.了解正弦定理的推导过程.
2.能利用正弦定理解决两类解三角形的基本问题.
3.能利用正弦定理及其变形判断三角形的形状.课标要求知识梳理相等 2.解三角形
一般地,把三角形的三个内角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的 ,已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
3.正弦定理的应用
正弦定理主要用于解决下列两类问题:
(1)已知△ABC两角和任意一边,求其他两边和一角.
(2)已知△ABC两边和其中一边的对角,求另外一边的对角和其他的边角.元素自我检测1.(正弦定理的变形)在△ABC中,一定成立的等式是( )
(A)asin A=bsin B (B)acos A=bcos B
(C)asin B=bsin A (D)acos B=bcos AC2.(利用正弦定理判断三角形的形状)在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=3∶4∶5,则△ABC是( )
(A)直角三角形 (B)等腰三角形
(C)锐角三角形 (D)钝角三角形AB 4.(正弦定理的几何意义)在△ABC中,已知a=2,∠A=120°,则其外接圆的半径R= .?【例1】 在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,求A,c. 课堂探究已知两角及一边解三角形 题型一题后反思 已知三角形的两角和任一边解三角形,基本思路是:
(1)若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一角所对边,再由三角形内角和定理求出第三个角.
(2)若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求出第三个角,再由正弦定理求另外两边.即时训练1-1:在△ABC中,已知A=45°,B=30°,a=2,求出其他边和角的大小.【备用例1】 已知△ABC中,a=20,A=30°,C=45°,求B,b,c.已知两边及其中一边的对角解三角形题型二【教师备用】
1.在△ABC中,若A>B,是否有sin A>sin B?反之,是否成立?2.在△ABC中,已知a,b和A,三角形解的情况如何?题后反思 已知三角形中的两边和其中一边的对角,解三角形时(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值.(2)如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角.(3)如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求两个角,要分类讨论.利用正弦定理判断三角形的形状 题型三(3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.【例3】 在△ABC中,若b=acos C,试判断该三角形的形状.题后反思 根据边角关系判断三角形形状的途径:
①利用正弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状;
②利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角恒等变形,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=π这个蕴含的结论.
在两种解法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.即时训练3-1:在△ABC中,已知(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),试判断△ABC的形状.点击进入课时作业 谢谢观赏
Thanks!课件30张PPT。1.1.2 余弦定理 自主预习 课堂探究 自主预习1.掌握余弦定理及其推论.
2.会用平面向量方法证明余弦定理.
3.能利用余弦定理解决两类解三角形问题.
4.能利用余弦定理,结合正弦定理判断三角形的形状.课标要求知识梳理余弦定理平方 平方 和 余弦的积 两 b2+c2-2bccos A a2+c2-2accos B a2+b2-2abcos C 自我检测B B C 4.(利用余弦定理判断三角形的形状)在△ABC中,a=2,b=5,c=4,则△ABC的形状为 .?答案:钝角三角形5.(与韦达定理结合解三角形)在△ABC中,边a,b的长是方程x2-5x+2=0的两个根,C=60°,则边c= .? 课堂探究已知两边及一角解三角形题型一题后反思 三角形中,已知两边及一角解三角形有以下两种情况.
(1)三角形中已知两边和一边的对角,有两种解法.一是利用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程,运用解方程的方法求出第三边,这样可免去判断取舍的麻烦.二是运用正弦定理,先求角再求边.
(2)已知两边和两边夹角,直接应用余弦定理求出第三边,然后应用正弦定理或余弦定理推论求出另外两角.已知三边(或三边关系)解三角形题型二题后反思 (1)已知三角形三边求角,可先用余弦定理求一个角,再用正弦定理(也可继续用余弦定理)求另一个角,进而求出第三个角.
(2)用正弦定理求角时,要注意根据大边对大角的原理,确定角的大小,防止产生增解或漏解.利用余弦定理判断三角形形状题型三【教师备用】
如果知道a2与b2+c2大小关系,怎样用余弦定理判断三角形的形状?提示: (1)在△ABC中,若a2(2)在△ABC中,若a2=b2+c2,则A=90°;反之,若A=90°,则a2=b2+c2.
(3)在△ABC中,若a2>b2+c2,则90°b2+c2.【例3】 在△ABC中,已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且2cos Asin B=sin C,试确定△ABC的形状.题后反思 判断三角形形状的两种途径.其一是利用正、余弦定理将条件中的角转化为边,通过因式分解、配方等方式得出边的关系,进而判断三角形的形状;其二是利用正、余弦定理将条件中的边转化为角,通过三角变换,得出各内角间的关系,进而判断三角形的形状.【备用例2】 在△ABC中,若(a-c·cos B)·sin B=(b-c·cos A)·sin A,判断△ABC的形状.点击进入课时作业点击进入周练卷 谢谢观赏
Thanks!课件26张PPT。1.2 应用举例
第一课时 正、余弦定理在实际中的应用 自主预习 课堂探究 自主预习1.能够利用正弦定理、余弦定理解任意三角形.
2.能够运用正弦定理、余弦定理解决实际中的测量问题.课标要求知识梳理1.仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中,把视线在水平线上方的角称为 ,视线在水平线下方的角称为 .如图(1).
2.方位角
指从正北方向按顺时针转到目标方向线所成的水平角,如方位角是45°,指北偏东45°,即东北方向.
3.方向角
指从正北或正南方向到目标方向线所成的锐角,如南偏西60°,如图(2)所示.仰角俯角4.基线
在测量上,我们根据测量需要适当确定的线段叫做 .一般来说,基线越长,测量的精确度 .
5.坡度
坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫做 (或叫做坡比).基线越高坡度自我检测1.(仰角与俯角)从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α、β的关系为( )
(A)α>β (B)α=β
(C)α+β=90° (D)α+β=180°B解析:根据仰角与俯角的定义知α=β.故选B.A2.(方向角与方位角)某次测量中,若A在B的南偏东40°,则B在A的( )
(A)北偏西40° (B)北偏东50°
(C)北偏西50° (D)南偏西50°解析:由方向角的定义知选A.3.(测量距离)如图,在河岸AC测量河的宽度BC,测量下列四组数据,较适宜的是( )
(A)a,c,α
(B)b,c,α
(C)c,a,β
(D)b,α,βDB 5.(测量角度)一船从港口A出发,沿北偏东30°方向行驶了3 km到达B岛,又沿东偏南30°方向行驶了3 km到达C岛,则C岛在港口A的北偏东 方向,距港口A km.?【教师备用】
1.测量从一个可到达的点A到一个不可到达的点B之间的距离问题.如图1所示.
这实际上就是已知三角形两个角和一边解三角形的问题,用正弦定理就可以解决.
2.测量两个不可到达的点A、B之间的距离问题,如图2所示,首先把求不可到达的两点A,B之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长问题,然后把未知的BC和AC的问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间距离的问题. 课堂探究测量距离问题题型一题后反思 求距离问题的注意事项:
(1)选定或确定所求量所在的三角形.若其他量已知,则直接求解;若有未知量,则把未知量放在另一三角形中求解.
(2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.测量高度问题题型二【例2】 某人从塔AB的正东C处沿着南偏西60°的方向前进40米后到达D处,望见塔在东北方向,若沿途测得塔的最大仰角为30°,求塔高.题后反思 测量高度问题的方法:依题意画示意图是解决三角形应用题的关键.问题中,如果既有方向角又有仰(俯)角,在绘制图形时,可画出立体图形和平面图形两个图,以对比分析求解.即时训练2-1:如图,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s,并在点C测得塔顶A的仰角为θ,求塔高AB.【思维激活】 (2014高考新课标全国卷Ⅰ)如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°,已知山高BC=100 m,则山高MN= m.?答案:150测量角度问题题型三题后反思 测量角度问题也就是通过解三角形求角的问题,求角问题可转化为求该角的三角函数值.若是用余弦定理求得该角的余弦,则该角易确定,若用正弦定理求得该角的正弦,则需讨论解的情况.点击进入课时作业 谢谢观赏
Thanks!课件28张PPT。第二课时 正、余弦定理在三角形中的应用 自主预习 课堂探究 自主预习1.掌握三角形的面积公式,会用公式计算三角形面积.
2.会用正、余弦定理解决三角形中一些恒等式的证明问题.
3.会用正、余弦定理解决三角形中的一些综合问题.课标要求知识梳理自我检测BA3.(三角形中角度的计算)如图所示,在地面上有一旗杆OP,测得它的高度10 m,在地面上取一基线AB,AB=20 m,在A处测得P点的仰角∠OAP=30°,在B处测得P点的仰角∠OBP=45°,则∠AOB= .?【教师备用】
1.已知三角形ABC的三边长a,b,c,怎样计算该三角形的面积? 课堂探究三角形面积的计算 题型一2.解决与三角形有关的问题,常用到哪些定理及常见结论?(2)在三角形中大边对大角,反之亦然.
(3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.题后反思 (1)本题采用了整体代换的思想,把a+b,ab作为整体,求解过程既方便又灵活.平面图形中线段长度的计算题型二【例2】 如图,在△ABC中,已知B=45°,D是BC边上的一点,AD=10,AC=14,DC=6,求AB的长.题后反思 三角形中的几何计算问题的解题要点及突破点
(1)正确挖掘图形中的几何条件是解题要点,善于应用正弦定理和余弦定理,只需解三角形.
(2)求解此类问题的突破点是仔细观察认真分析,迅速发现图形中较为隐蔽的几何条件.即时训练2-1:设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,且有2sin Bcos A=sin Acos C+cos Asin C.
(1)求角A的大小;
(2)若b=2,c=1,D为BC的中点,求AD的长.三角形中三角恒等式的证明问题题型三点击进入课时作业点击进入周练卷 谢谢观赏
Thanks!第一章 解三角形
1.1 正弦正理和余弦定理
1.1.1 正弦定理
【选题明细表】
知识点、方法
题号
已知两角及一边解三角形
3、7、11
已知两边及一边的对角解三角形
4、6、8、9
判断三角形的形状
2、12
正弦定理的变形应用
1、5、10、13
基础巩固
1.在三角形ABC中,A=120°,AB=5,BC=7,则的值为( A )
(A) (B) (C) (D)
解析:由正弦定理得=,
得sin C=
=
=,
且C为锐角,
所以cos C=.
因为A+B+C=π,
所以sin B=sin (A+C)
=sin Acos C+cos Asin C
=×-×
=,
即=,故选A.
2.在△ABC中,若A=,sin B=cos C,则△ABC为( D )
(A)直角非等腰三角形
(B)等腰非直角三角形
(C)非等腰且非直角三角形
(D)等腰直角三角形
解析:由A=,sin B=cos C?=?
==+tan C=?
tan C=1,
又C∈(0,π),则C=,
所以B=,△ABC为等腰直角三角形.故选D.
3.在△ABC中,若∠A=60°,∠B=45°,BC=3,则AC等于( B )
(A)4 (B)2 (C) (D)
解析:由正弦定理得=,
所以AC===2.
故选B.
4.在△ABC中,a=2,b=,A=45°,则B等于( B )
(A)45° (B)30°
(C)60° (D)30°或150°
解析:因为a=2,b=,A=45°,
所以由=得
sin B===.
因为2>,即a>b,
所以A>B,则B=30°.故选B.
5.在△ABC中,若a=2bsin A,则B等于( C )
(A)60° (B)120°
(C)60°或120° (D)30°或150°
解析:由正弦定理得 sin A=2sin B·sin A,
因为sin A≠0,
所以sin B=.
又0°所以B=60°或120°.故选C.
6.(2014高考湖北卷)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知A=,a=1,b=,则B= .?
解析:由正弦定理=
得sin B==,
又B∈（,）,
所以B=或.
答案:或
7.在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C所对的边,若A=105°,
B=45°,b=2,则c= .?
解析:C=180°-A-B=180°-105°-45°=30°,
由正弦定理得c===2.
答案:2
8.在△ABC中,已知b=6,c=6,C=30°,求a.
解:由正弦定理,得=,得sin B==.
因为b>c,
所以B>C=30°,
所以B=60°或120°.
当B=60°时,A=90°,a===12.
当B=120°时,A=30°,a===6.
所以a=6或12.
能力提升
9.(2015长春十一中期末)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,那么下列给出的各组条件能确定三角形有两解的是( B )
(A)a=10,b=8,A=30°
(B)a=8,b=10,A=45°
(C)a=10,b=8,A=150°
(D)a=8,b=10,A=60°
解析:对于A、C,由a>b可判断只有一解;对于D,8<10sin 60°=5可知无解;对于B,10sin 45°=5<8<10,可知有两解.故选B.
10.(2014高考江西卷)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若3a=2b,则的值为( D )
(A)- (B) (C)1 (D)
解析:由正弦定理可得
=2（）2-1=2（）2-1,
因为3a=2b,
所以=,
所以=2×（）2-1=.
故选D.
11.设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且cos A=,cos B=,b=3,则c= .?
解析:因为cos A=,cos B=,
所以sin A=,sin B=.
所以sin C=sin(A+B)=×+×=,
由正弦定理得=,
得=,
解得c=.
答案:
12.在△ABC中,acos（-A）=bcos（-B）,试判断△ABC的形状.
解:法一 因为acos(-A)=bcos(-B),
所以asin A=bsin B.
由正弦定理可得a·=b·,
所以a2=b2,所以a=b,
所以△ABC为等腰三角形.
法二 因为acos(-A)=bcos(-B),
所以asin A=bsin B.
由正弦定理可得2Rsin2A=2Rsin2B,即sin A=sin B,
所以A=B.(A+B=π不合题意,舍去).
故△ABC为等腰三角形.
探究创新
13.(2015江西鹰潭期末质检)锐角三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=2A,则的取值范围是( B )
(A)(1,) (B)(,)
(C)(1,) (D)(,2)
解析:在△ABC中,由正弦定理可得=.
因为B=2A,
所以===2cos A.
又因为在锐角三角形ABC中,
所以0°即0°<2A<90°,
所以0°由三角形内角和定理A+B+C=180°,
得0°所以30°所以<2cos A<,故选B.
1.1.2 余弦定理
【选题明细表】
知识点、方法
题号
已知两边及一角解三角形
2、6、9
已知三边或三边关系解三角形
1、3、9
利用余弦定理判断三角形的形状
4、7
综合应用问题
5、8、10、11、12、13
基础巩固
1.在△ABC中,若(a+c)(a-c)=b(b-c),则A等于( B )
(A)90° (B)60° (C)120° (D)150°
解析:因为(a+c)(a-c)=b(b-c),
所以b2+c2-a2=bc,
所以cos A==,
所以A=60°.故选B.
2.在△ABC中,a=4,b=4,C=30°,则c2等于( A )
(A)32-16 (B)32+16
(C)16 (D)48
解析:由余弦定理得
c2=a2+b2-2abcos C=42+42-2×4×4×=32-16.
3.边长为5,7,8的三角形中,最大角与最小角之和为( B )
(A)90° (B)120° (C)135° (D)150°
解析:设边长为5、7、8的对角分别为A、B、C.则A所以cos(A+C)=-cos B=-,
所以A+C=120°.
4.在△ABC中,若sin2A+sin2B(A)钝角三角形 (B)直角三角形
(C)锐角三角形 (D)不能确定
解析:由正弦定理及sin2A+sin2B可知a2+b2所以C为钝角,三角形为钝角三角形.故选A.
5.在△ABC中,AB=3,AC=2,BC=,则·等于( D )
(A)- (B)- (C) (D)
解析:cos A==,
所以·=||||·cos A=3×2×=.故选D.
6.在△ABC中,若b=1,c=,∠C=,则a= .?
解析:因为c2=a2+b2-2abcos C,
所以()2=a2+12-2a·1·cos π,
所以a2+a-2=0,
所以(a+2)(a-1)=0,
由a>0,
所以a=1.
答案:1
7.在△ABC中,若B=60°,b2=ac,则其形状是 .?
解析:由余弦定理可得cos 60°=,
即=,于是a2+c2-ac=ac,
所以(a-c)2=0,因此a=c,
又B=60°,所以△ABC是等边三角形.
答案:等边三角形
8.在三角形ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若m=(b,
cos B),n=(sin A,-a),且m⊥n.
(1)求角B的大小;
(2)若b=3,sin C=2sin A,求△ABC的面积.
解:(1)m=(b,cos B),
n=(sin A,-a)
因为m⊥n,
所以bsin A-acos B=0,sin B·sin A-sin Acos B=0,
而sin A≠0,所以sin B-cos B=0,tan B=,
又0°(2)b2=a2+c2-2accos B,b=3,
所以a2+c2-ac=9. ①
又因为sin C=2sin A,所以c=2a. ②
由①②得a=,c=2,
所以S△ABC=××2·sin 60°=.
能力提升
9.在△ABC中,已知A=30°,且3a=b=12,则c的值为( C )
(A)4 (B)8 (C)4或8 (D)无解
解析:由已知得a=4,b=4,所以根据余弦定理可得
a2=b2+c2-2bccos A,
即16=48+c2-2×4·c·,
整理得c2-12c+32=0,解得c=4或8,故选C.
10.在△ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,已知cos2=,则△ABC是( D )
(A)等腰三角形 (B)等边三角形
(C)等腰直角三角形 (D)直角三角形
解析:因为cos 2==,
所以cos A==,
即a2+c2=b2,
所以△ABC是直角三角形.
11.在△ABC中,a,b,c为角A、B、C的对边,且b2=ac,则B的取值范围是( A )
(A)(0,] (B)[,π)
(C)(0,] (D)[,π)
解析:cos B=
=
=+≥,
因为0所以B∈(0,].
故选A.
12.(2015潍坊四县市高二期中)如图,在四边形ABCD中,已知AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠BDA=60°,∠BCD=135°,求BD,BC的长.
解:在△ABD中,设BD=x,
则BA2=BD2+AD2-2BD·AD·cos∠BDA,
即142=x2+102-2·10x·cos 60°,
整理得x2-10x-96=0,解得x1=16或x2=-6(舍去),
所以BD=16.由正弦定理得=,
所以BC=·sin 30°=8.
探究创新
13.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知cos C+
(cos A-sin A)cos B=0.
(1)求角B的大小;
(2)若a+c=1,求b的取值范围.
解:(1)因为cos C+(cos A-sin A)cos B=0,
所以-(cos Acos B-sin Asin B)+cos Acos B-sin Acos B=0,
所以sin Asin B-sin Acos B=0,
因为sin A≠0,所以tan B=,
所以0(2)b2=a2+c2-2accos B
=(a+c)2-2ac-2ac·
=1-3ac=1-3a(1-a)
=3a2-3a+1
=3(a2-a)+1
=3[(a-)2-]+1
=3（a-）2+,
由0得≤b2<1,
所以≤b<1.
1.2 应用举例
第一课时 正、余弦定理在实际中的应用
【选题明细表】
知识点、方法
题号
测量距离问题
1、3、7、9、10
测量高度问题
2、6
测量角度问题
4
其他问题
5、8
基础巩固
1.如图,从气球A测得正前方的济南全运会东荷、西柳两个场馆B、C的俯角分别为α、β,此时气球的高度为h,则两个场馆B、C间的距离为( B )
(A) (B)
(C) (D)
解析:在Rt△ADC中,AC=,在△ABC中,由正弦定理得BC=·sin(β-α)=.故选B.
2.如图所示,为测一树的高度,在地面上选取A、B两点,从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°,45°,且A、B两点之间的距离为60 m,则树的高度为( A )
(A)(30+30)m (B)(30+15)m
(C)(15+30)m (D)(15+15)m
解析:由正弦定理可得
=,
PB==.
h=PB·sin 45°=·sin 45°=(30+30)(m).故选A.
3.如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为( B )
(A)a km (B)a km
(C)a km (D)2a km
解析:由题意得∠ACB=120°,
AB2=a2+a2-2a2cos 120°=3a2,所以AB=a.故选B.
4.如图所示,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援,则cos θ等于( B )
(A) (B) (C) (D)
解析:△ABC中,∠CAB=90°+30°=120°,AC=20海里,AB=40海里.
由余弦定理知
BC2=202+402-2×20×40×cos 120°=2800,
所以BC=20 海里,
过C作CD⊥AB交BA的延长线于D.
△ACD中∠ACD=30°,
AC=20海里,
因此CD=10 海里,
所以cos θ=cos ∠DCB===.故选B.
5.如图所示,甲船在岛B的正南A处,AB=10千米,甲船以每小时4千米的速度向正北航行,同时,乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去,当甲乙两船相距最近时,他们所航行的时间是( A )
(A)分钟 (B)小时
(C)21.5分钟 (D)2.15小时
解析:设x小时后,甲船到达C,乙船到达D处,
所以BC=10-4x,BD=6x,又∠CBD=120°.
所以CD2=(10-4x)2+(6x)2-2×6x×(10-4x)×cos 120°=28x2-20x+100.
所以当x==小时时,甲乙最近.
因为小时=分钟,故选A.
6.在200 m的山顶上,测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别为30°,60°,则塔高为 .?
解析:如图,设塔AB高为h,在Rt△CDB中,CD=200 m,∠BCD
=90°-60°=30°,
所以BC==(m).
在△ABC中,∠ABC=∠BCD=30°,∠ACB=60°-30°=30°,
所以∠BAC=120°.
在△ABC中,由正弦定理得
=,
所以AB== m.
答案: m
7.某人从A处出发,沿北偏东60°行走3 km到B处,再沿正东方向行走2 km到C处,则A、C两地距离为 km.?
解析:
如图所示,由题意可知
AB=3,BC=2,∠ABC=150°.
由余弦定理得
AC2=27+4-2×3×2·cos 150°=49,AC=7.
则A、C两地距离为7 km.
答案:7
能力提升
8.一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东15°,与灯塔S相距20海里,随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟到达N处后,又测得灯塔在货轮的北偏东45°,则货轮的速度为( B )
(A)20(+)海里/时
(B)20(-)海里/时
(C)20(+)海里/时
(D)20(-)海里/时
解析:由题意得∠SNM=105°,∠NSM=30°,
所以=,
MN==,
货轮速度v===20(-).故选B.
【教师备用】
如图所示,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100米到达B处,又测得C对于山坡的斜度为45°,若CD=50米,山坡对于地平面的坡角为θ,则cos θ等于( C )
(A) (B)2-
(C)-1 (D)
解析:在△ABC中,由正弦定理可知,
BC===50(-)(米).
在△BCD中,
sin∠BDC=
=
=-1.
由题图,知cos θ=sin∠ADE=sin∠BDC=-1.故选C.
9.一船以24 km/h的速度向正北方向航行,在点A处望见灯塔S在船的北偏东30°方向上,15 min后到点B处望见灯塔在船的北偏东65°方向上,则船在点B时与灯塔S的距离是 km.(精确到0.1 km)?
解析:
如图,由条件知
AB=24×=6(km).
在△ABS中,∠BAS=30°,AB=6,∠ABS=180°-65°=115°,
所以∠ASB=35°.
由正弦定理,得
=,
所以BS=≈5.2.
答案:5.2
【教师备用】
如图,A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内,B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶,测量船于水面A处测得B、D两点的仰角分别为75°,30°,于水面C处测得B、D两点的仰角分别为60°,60°,AC=
0.1 km,试探究图中哪两点间距离与BD相等,并求BD(计算结果精确到0.01 km,≈1.414,≈2.449)
解:在△ACD中,∠DAC=30°,
∠ADC=60°-∠DAC=30°,
所以CD=AC,
又因为∠BCD=180°-60°-60°
=60°=∠ACB,
所以△ACB≌△DCB,
所以AB=DB.
在△ABC中,∠ABC=75°-∠ACB=15°.
由正弦定理得AB=·sin 60°
=(km).
所以BD=≈0.33(km).
即A、B两点距离与BD相等,BD约为0.33 km.
探究创新
10.为了测量两山顶M、N间的距离,飞机沿水平方向在A、B两点进行测量,A、B、M、N在同一个铅垂平面内.如图,飞机能测量的数据有俯角和A、B间的距离,请设计一个方案,包括:①指出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出);②用文字和公式写出计算M、N间距离的步骤.
解:①需要测量的数据有A到M、N的俯角α1、β1,B到M、N的俯角α2、β2;A、B的距离d(如图所示).
②第一步:计算AM.
由正弦定理AM=;
第二步:计算AN.
由正弦定理AN=;
第三步:计算MN.
由余弦定理
MN=.
第二课时 正、余弦定理在三角形中的应用
【选题明细表】
知识点、方法
题号
三角形面积的计算
1、2、3、5、6、11
平面图形中线段长度的计算
4、7
三角形中三角恒等式的证明问题
8、13
三角形中的综合问题
9、10、12
基础巩固
1.在△ABC中,已知BC=3,AC=4,∠ACB=135°,则△ABC面积等于( B )
(A)6 (B)3 (C)3 (D)3
解析:S△ABC=·BC·AC·sin∠ACB
=×3×4×
=3,
故选B.
2.`已知锐角△ABC的面积为3,BC=4,CA=3,则角C的大小为( B )
(A)75° (B)60° (C)45° (D)30°
解析:由△ABC的面积为3,且BC=4,CA=3,
BC·CAsin C=3,
所以sin C=.
又△ABC为锐角三角形,
所以C=60°.
3.在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,如果2b=a+c,B=30°,△ABC的面积为,则b等于( A )
(A)1+ (B)
(C) (D)2+
解析:由ac·sin 30°=,得ac=6,由余弦定理得b2=a2+c2-2accos 30°=(a+c)2-2ac-ac=4b2-12-6,
所以b=+1.
4.在△ABC中,A=60°,AC=16,面积为220,则AB的长度为( C )
(A)49 (B)51 (C)55 (D)49
解析:S△ABC=AC×AB×sin 60°
=×16×AB×
=220,
解得AB=55.
故选C.
5.(2015潍坊四县市高二期中联考)在△ABC中,B=30°,AB=2,AC=2,则△ABC的面积是( D )
(A)2 (B)
(C)2或4 (D)或2
解析:在△ABC中,因为B=30°,AB=2,AC=2,
所以由正弦定理==,
所以sin C==,
又因为AB·sin 30°所以C有两解,
所以C=60°或C=120°.
由三角形内角和定理得
A=90°或A=30°.
由面积公式S△ABC=AB·AC·sin A,
所以S△ABC=或S△ABC=2.故选D.
6.已知△ABC的面积为,且b=2,c=,则( D )
(A)A=30° (B)A=60°
(C)A=30°或150° (D)A=60°或120°
解析:因为S=bcsin A=,
所以×2×sin A=,
所以sin A=,
所以A=60°或120°.
故选D.
7.等腰三角形底边长为a,腰长为2a,则腰上的中线长等于 .?
解析:
如图,AB=AC=2a,BC=a,
设BC中点为D,连接AD,
则AD⊥BC.
在Rt△ABC中,
cos B===.
设AB中点为点E,连接CE,
则在△BEC中,BE=BC=a,
由余弦定理CE2=CB2+BE2-2CB·BE·cos B=a2+a2-2a2·=2a2-a2=a2.
所以CE=a.
答案:a
8.在△ABC中,若角A,B,C的对边分别是a,b,c,求证:
-=-.
证明:左边=-
=-
=--+
=--+
=-
=右边,
所以等式成立.
能力提升
9.△ABC的周长为20,面积为10,A=60°,则BC的长等于( C )
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8
解析:
如图,由题意得
由②得bc=40.
由③得a2=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=(20-a)2-3×40,
所以a=7.故选C.
10.已知锐角△ABC中,A=2B,AC=2,则BC的范围为( A )
(A)(2,2) (B)(,)
(C)（,） (D)[2,2]
解析:由正弦定理得=,
所以=,
所以BC=4cos B,
又△ABC是锐角三角形,
所以90°所以30°所以所以211.(2015烟台高二自主检测)已知△ABC的三边分别为a,b,c,且面积S=,则C= .?
解析:在△ABC中,因为S=,
而S△ABC=absin C,
所以=absin C,
由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,
所以cos C=sin C,
所以C=45°.
答案:45°
12.已知a,b,c分别为锐角△ABC三个内角A,B,C的对边,2bsin C=c.
(1)求角B的大小;
(2)若b=2,△ABC的面积为,求a,c的值.
解:(1)因为2bsin C=c,
所以2sin Bsin C=sin C,
所以sin B=,
又因为B∈（0,）,所以B=60°.
(2)根据题意得
所以
解得
探究创新
13.任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”:
△ABC的三边a,b,c,它们所对的角分别是A,B,C,则有
a=bcos C+ccos B;
b=ccos A+acos C;
c=acos B+bcos A.
请证明任意三角形的射影定理.
证明:法一 由bcos C+ccos B=b·+c·==a.
即a=b·cos C+c·cos B成立,
同理,b=c·cos A+a·cos C,c=acos B+bcos A.
法二 由====1,得a=bcos C+ccos B,
同理b=ccos A+acos C,c=acos B+bcos A.
