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【中考真题 高分必刷题】3年中考数学真题分类汇编（基础版）
专题06 分式方程（组）及其应用
本专题汇编2022~2024年三年中考真题，把3年中考中常考题型汇编成每个小专题进行分类突破，对于考生来说，最具有针对性的题型就是中考真题，让考生熟悉中考的考点以及重难点。
1．（2024·海南·中考真题）分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：
去分得：，
解得，
检验，当时，，
∴是原方程的解
2．（2024·江苏无锡·中考真题）分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：，
，
，
检验，当时，，
∴是原分式方程的解，
3．（2024·江苏徐州·中考真题）分式方程的解为 ．
【答案】
【详解】解：原方程去分母得：，即
解得：，
检验：当时，，
故原方程的解为，故答案为：．
4．（2024·辽宁·中考真题）方程的解为 ．
【答案】
【详解】解：，，解得：，
经检验：是原方程的解，
∴原方程的解为：，
故答案为：．
5．（2024·北京·中考真题）方程的解为 .
【答案】
【详解】解：，，
解得：，
经检验：是原方程的解，
所以，原方程的解为，
故答案为：．
6．（2023·辽宁大连·中考真题）解方程去分母，两边同乘后的式子为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：分式方程的两侧同乘得：．
7．（2024·山东济宁·中考真题）解分式方程时，去分母变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：方程两边同乘，得，
整理可得：
8．（2023·湖南·中考真题）将关于x的分式方程去分母可得（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵，
去分母得：，
整理得：
9．（2022·湖南永州·中考真题）解分式方程去分母时，方程两边同乘的最简公分母是 ．
【答案】
【详解】解：分式方程的两个分母分别为x，(x+1)，
∴最简公分母为：x(x+1)，
故答案为：x(x+1)．
10．（2024·四川遂宁·中考真题）分式方程的解为正数，则的取值范围（ ）
A． B．且
C． D．且
【答案】B
【详解】解：方程两边同时乘以得，，
解得，∵分式方程的解为正数，
∴，∴，
又∵，即，
∴，
∴的取值范围为且
11．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．且
【答案】A
【详解】解：方程两边同时乘以得，，
解得，
∵分式方程的解是负数，∴，∴，
又∵，∴，∴，∴，
∴且
12．（2022·四川德阳·中考真题）如果关于的方程的解是正数，那么的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】B
【详解】解：∵有正数解，
∴，则，，
去分母，得，，
移项合并，得，，
∵方程的解是正数，∴，解得：且
13．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）若分式方程的解为负数，则a的取值范围是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】D
【详解】解：去分母得：，解得：，
∵分式方程的解是负数，
∴，，即，
解得：且
14．（2023·山东日照·中考真题）若关于的方程解为正数，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】D
【详解】解：
∵方程的解为正数，且分母不等于0
∴，
∴，且
15．（2023·黑龙江·中考真题）已知关于x的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】C
【详解】解：分式方程去分母得：，解得：，
∵分式方程的解是非负数，∴，且，
∴且
16．（2022·重庆·中考真题）关于x的分式方程的解为正数，且关于y的不等式组的解集为，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．13 B．15 C．18 D．20
【答案】A
【详解】由分式方程的解为整数可得：
解得：又题意得：且
∴且，由得：
由得：
∵解集为∴
解得：
综上可知a的整数解有：3，4，6
它们的和为：13
17．（2022·重庆·中考真题）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是负整数，则所有满足条件的整数的值之和是（ ）
A．－26 B．－24 C．－15 D．－13
【答案】D
【详解】∵ ，
解①得解集为，解②得解集为，
∵ 不等式组的解集为，∴，解得a＞-11，
∵ 的解是y=，且y≠-1，的解是负整数，∴a＜1且a≠-2，
∴-11＜a＜1且a≠-2，故a=-8或a=-5，
故满足条件的整数的值之和是-8-5=-13，
18．（2024·重庆·中考真题）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ．
【答案】
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得： ，
∵不等式组的解集为，∴，∴；
解分式方程得，
∵关于的分式方程的解均为负整数，
∴且是整数且，
∴且且a是偶数，
∴且且a是偶数，
∴满足题意的a的值可以为4或8，
∴所有满足条件的整数a的值之和是．
19．（2024·重庆·中考真题）若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ．
【答案】16
【详解】解：，
解①得：，
解②得：，
关于的一元一次不等式组至少有两个整数解，
，
解得，
解方程，得，
关于的分式方程的解为非负整数，
且，是偶数，
解得且，是偶数，
且，是偶数，
则所有满足条件的整数的值之和是，
20．（2023·重庆·中考真题）若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
【答案】13
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵关于的不等式组的解集为，
，解得，
方程可化为，
解得，
关于的分式方程的解为正数，
且，
解得且，
且，
则所有满足条件的整数的值之和为，
故答案为：13．
21．（2022·四川遂宁·中考真题）若关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．0 B．4或6 C．6 D．0或4
【答案】D
【详解】方程两边同乘，得，
整理得，
原方程无解，
当时，；
当时，或，此时，，
解得或，
当时，无解；
当时，，解得；
综上，m的值为0或4；
22（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）若关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．1 B．1或3 C．1或2 D．2或3
【答案】B
【详解】解：将方程化成整式方程为，即，
因为关于的方程无解，
所以分以下两种情况：
①整式方程无解，
则，解得；
②关于的方程有增根，
则，即，
将代入得：，解得；
综上，的值为1或3
23．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知关于x的分式方程无解，则k的值为（ ）
A．或 B． C．或 D．
【答案】A
【详解】解：去分母得，，
整理得，，
当时，方程无解，
当时，令，
解得，
所以关于x的分式方程无解时，或．
24．（2023·湖南永州·中考真题）若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是 ．
【答案】
【详解】∵关于x的分式方程（m为常数）有增根，
∴，
解得，
故答案为：．
25．（2024·四川达州·中考真题）若关于的方程无解，则的值为 ．
【答案】或2
【详解】解：
去分母得：，解得：，
∵关于的方程无解，
∴当或时，分式方程无解，
解得：或（经检验是原方程的解），
即或，无解．
故答案为：或2．
26．（2024·陕西·中考真题）解方程：．
【答案】
【详解】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
检验：把代入得：，
∴是原方程的解．
27．（2024·福建·中考真题）解方程：．
【答案】．
【详解】解：，
方程两边都乘，得．
去括号得：，
解得．
经检验，是原方程的根．
28．（2023·西藏·中考真题）解分式方程：．
【答案】
【详解】
，
经检验，是原方程的根，
故原方程的解为：．
29．（2023·山西·中考真题）解方程：．
【答案】
【详解】解：原方程可化为．
方程两边同乘，得．
解得．
检验：当时，．
∴原方程的解是．
30．（2022·青海西宁·中考真题）解方程：．
【答案】
【详解】解：方程两边同乘，得，
解得，
检验：当时，，
所以，原分式方程的解为．
31．（2024·四川巴中·中考真题）某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校60km，一部分学生乘慢车先行，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达．已知快车的速度比慢车的速度每小时快20km，求慢车的速度？设慢车的速度为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：设慢车的速度为，则快车的速度为，根据题意可得：
．
31．（2024·四川广元·中考真题）我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”．现需要购买A、B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株．设B种绿植单价是x元，则可列方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：设B种绿植单价是x元，则A种绿植单价是元，根据题意得：
32．（2024·甘肃临夏·中考真题）端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是元，所得方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：由题意可得，
33．（2024·新疆·中考真题）某校九年级学生去距学校的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发，后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达．已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍，设甲车的速度为，根据题意可列方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：，设甲车的速度为，根据题意可列方程：
34．（2023·广东广州·中考真题）随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速60，动车提速后行驶480与提速前行驶360所用的时间相同．设动车提速后的平均速度为x，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：根据题意，得．
35．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等．
(1)求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米；
(2)为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的工期，两队最多能修复公路多少千米？
【答案】(1)甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修复公路9千米；
(2)15天的工期，两队最多能修复公路千米．
【详解】（1）解：设甲队平均每天修复公路千米，则乙队平均每天修复公路千米，
由题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修复公路9千米；
（2）解：设甲队的工作时间为天，则乙队的工作时间为天，15天的工期，两队能修复公路千米，
由题意得，
，
解得，
∵，
∴随的增加而减少，
∴当时，有最大值，最大值为，
答：15天的工期，两队最多能修复公路千米．
36．（2024·四川雅安·中考真题）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前15天完成铺设任务．
(1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？
(2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？
【答案】(1)原计划与实际每天铺设管道各为40米，50米
(2)该公司原计划最多应安排8名工人施工
【详解】（1）解：设原计划每天铺设管道x米，则实际施工每天铺设管道米，
根据题意得：，
解得：，经检验是分式方程的解，且符合题意，
∴，
则原计划与实际每天铺设管道各为40米，50米；
（2）解：设该公司原计划应安排y名工人施工，（天），
根据题意得：，
解得：，
∴不等式的最大整数解为8，
则该公司原计划最多应安排8名工人施工．
37．（2023·辽宁丹东·中考真题）“畅通交通，扮靓城市”，某市在道路提升改造中，将一座长度为36米的桥梁进行重新改造．为了尽快通车，某施工队在实际施工时，每天工作效率比原计划提高了，结果提前2天成功地完成了大桥的改造任务，那么该施工队原计划每天改造多少米
【答案】施工队原计划每天改造6米．
【详解】解：设施工队原计划每天改造米，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
答：施工队原计划每天改造6米．
38．（2023·四川德阳·中考真题）2022年8月27日至29日，以“新能源、新智造、新时代”为主题的世界清洁能源装备大会在德阳举行．大会聚焦清洁能源装备产业发展热点和前瞻性问题，着力实现会展聚集带动产业聚集．其中德阳清洁能源装备特色小镇位于德阳经济技术开发区，规划面积平方公里，计划2025年基本建成．若甲、乙两个工程队计划参与修建“特色小镇”中的某项工程，已知由甲单独施工需要18个月完成任务，若由乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务．承建公司每个月需要向甲工程队支付施工费用8万元，向乙工程队支付施工费用5万元．
(1)乙队单独完工需要几个月才能完成任务？
(2)为保证该工程在两年内完工，且尽可能的减少成本，承建公司决定让甲、乙两个工程队同时施工，并将该工程分成两部分，甲队完成其中一部分工程用了a个月，乙队完成另一部分工程用了b个月，已知甲队施工时间不超过6个月，乙队施工时间不超过24个月，且a，b为正整数，则甲乙两队实际施工的时间安排有几种方式？哪种安排方式所支付费用最低？
【答案】(1)乙队单独完工需要27个月才能完成任务．
(2)甲乙两队实际施工的时间安排有3种方式，安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用最低为万元．
【详解】（1）解：设乙单独完成需要个月，则
，解得：，
经检验是原方程的解且符合题意；
答：乙队单独完工需要27个月才能完成任务．
（2）由题意可得：，
∴，∴，
∵，，
∴，解得：，
∵都为正整数，
∴为3的倍数，
∴或或，
∴甲乙两队实际施工的时间安排有3种方式，
方案①：安排甲工作6个月，乙工作18个月，费用为：（万元），
方案②：安排甲工作4个月，乙工作21个月，费用为：（万元），
方案③：安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用为：（万元），
∴安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用最低为万元．
39．（2024·山东日照·中考真题）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍．
【素材呈现】
素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高；
素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个；
素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的．
【问题解决】
(1)问题一：求出两种书架的单价；
(2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案；
(3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值．
【答案】(1)1200元；1000元
(2)；购买A种书架8个，B种书架12个(3)120
【详解】（1）解：设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元．
由题意得，解得，
经检验，是分式方程的解，且符合题意，
．
答：两种书架的单价分别为1200元，1000元．
（2）解：购买a个A种书架时，购买总费用，
即，
由题意得，a应满足：，解得．
，
∴w随着a的增大而增大，
当时，w的值最小，最小值为，
费用最少时购买A种书架8个，B种书架12个．
（3）解：由题意得
，
解得．
40．（2023·内蒙古通辽·中考真题）某搬运公司计划购买A，B两种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10吨货物，且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需天数相同．
(1)求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨？
(2)每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台，满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案．
【答案】(1)每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物90吨和100吨
(2)当购买A型机器人12台，B型机器人18台时，购买总金额最低是54万元．
【详解】（1）解：设每台B型机器每天搬运x吨，则每台A型机器每天搬运吨，
由题意可得：，
解得：
经检验，是分式方程的解
每台A型机器每天搬运吨
答：每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物90吨和100吨
（2）解：设公司计划采购A型机器m台，则采购B型机器台
由题意可得：，
解得：，
公司采购金额：
∵
∴w随m的增大而减小
∴当时，公司采购金额w有最小值，即，
∴当购买A型机器人12台，B型机器人18台时，购买总金额最低是54万元．
41．（2023·山东·中考真题）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用万元购买A型充电桩与用万元购买B型充电桩的数量相等．
(1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
(2)该停车场计划共购买个A，B型充电桩，购买总费用不超过万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？
【答案】(1)A型充电桩的单价为万元，B型充电桩的单价为万元
(2)共有三种方案：方案一：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个；方案二：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个；方案三：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个；方案三总费用最少．
【详解】（1）解：设B型充电桩的单价为万元，则A型充电桩的单价为万元，由题意可得：
,
解得，
经检验：是原分式方程的解，
，
答：A型充电桩的单价为万元，B型充电桩的单价为万元；
（2）解：设购买A型充电桩个，则购买B型充电桩个，由题意可得：
，解得，
∵须为非负整数，
∴可取，，，
∴共有三种方案：
方案一：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元）；
方案二：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元）；
方案三：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元），
∵
∴方案三总费用最少．
42．（2023·黑龙江·中考真题）2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空，某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同．
(1)求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
(2)已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，求有几种购买方案？
(3)在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求m值．
【答案】(1)A款文化衫每件50元，则B款文化衫每件40元，(2)一共有六种购买方案(3)
【详解】（1）解：设A款文化衫每件x元，则B款文化衫每件元，
由题意得，，
解得，
检验，当时，，
∴是原方程的解，
∴，
∴A款文化衫每件50元，则B款文化衫每件40元，
答：A款文化衫每件50元，则B款文化衫每件40元；
（2）解：设购买A款文化衫a件，则购买B款文化衫件，
由题意得，，
解得，
∵a是正整数，
∴a的取值可以为275，276，277，278，279，280，
∴一共有六种购买方案；
（3）解：设购买资金为W元，购买A款文化衫a件，则购买B款文化衫件，
由题意得，
，
∵（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，
∴W的取值与a的值无关，
∴，
∴．
43．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）某商场欲购进A和B两种家电，已知B种家电的进价比A种家电的进价每件多100元，经计算，用1万元购进A种家电的件数与用1.2万元购进B种家电的件数相同．请解答下列问题：
(1)这两种家电每件的进价分别是多少元？
(2)若该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过53500元，且A种家电不超过67件，则该商场有哪几种购买方案？
(3)在（2）的条件下，若A和B两种家电的售价分别是每件600元和750元，该商场从这100件中拿出两种家电共10件奖励优秀员工，其余家电全部售出后仍获利5050元，请直接写出这10件家电中B种家电的件数．
【答案】(1)A种家电每件的进价为500元，B种家电每件的进价为600元
(2)共有三种购买方案，方案一：购进A种家电65件，B种家电35件，方案二：购进A种家电66件，B种家电34件，方案三：购进A种家电67件，B种家电33件
(3)这10件家电中B种家电的件数4件
【详解】（1）设A种家电每件进价为x元，B种家电每件进价为元．
根据题意，得
． 解得． 经检验是原分式方程的解．
．
答：A种家电每件的进价为500元，B种家电每件的进价为600元；
（2）设购进A种家电a件，购进B种家电件．
根据题意，得． 解得．
，．
为正整数，，则，
共有三种购买方案，
方案一：购进A种家电65件，B种家电35件，
方案二：购进A种家电66件，B种家电34件，
方案三：购进A种家电67件，B种家电33件；
（3）解：设A种家电拿出件，则B种家电拿出件，
根据（1）和（2）及题意，当购进A种家电65件，B种家电35件时，得：
，
整理得：，
解得：，不符合实际；
当购进A种家电66件，B种家电34件时，得：
，
整理得：，
解得：，不符合实际；
当购进A种家电67件，B种家电33件时，得：
，
整理得：，
解得：，符合实际；则B种家电拿出件．
44．（2023·湖北荆州·中考真题）荆州古城旁“荆街”某商铺打算购进，两种文创饰品对游客销售．已知1400元采购种的件数是630元采购种件数的2倍，种的进价比种的进价每件多1元，两种饰品的售价均为每件15元；计划采购这两种饰品共600件，采购种的件数不低于390件，不超过种件数的4倍．
(1)求，饰品每件的进价分别为多少元？
(2)若采购这两种饰品只有一种情况可优惠，即一次性采购种超过150件时，种超过的部分按进价打6折．设购进种饰品件，
①求的取值范围；
②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润．
【答案】(1)种饰品每件进价为10元，B种饰品每件进价为9元；
(2)①且为整数，②当采购种饰品210件，B种饰品390件时，商铺获利最大，最大利润为3630元．
【详解】（1）（1）设种饰品每件的进价为元，则B种饰品每件的进价为元．
由题意得：，解得：，
经检验，是所列方程的根，且符合题意．
种饰品每件进价为10元，B种饰品每件进价为9元．
（2）①根据题意得：，
解得：且为整数；
②设采购种饰品件时的总利润为元．
当时，，
即，
，
随的增大而减小．
当时，有最大值3480．
当时，
整理得：，
，
随的增大而增大．
当时，有最大值3630．
，
的最大值为3630，此时．
即当采购种饰品210件，B种饰品390件时，商铺获利最大，最大利润为3630元．
45．（2024·四川眉山·中考真题）眉山是“三苏”故里，文化底蕴深厚．近年来眉山市旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售，某商店用元购进的款文创产品和用元购进的款文创产品数量相同．每件款文创产品进价比款文创产品进价多元．
(1)求，两款文创产品每件的进价各是多少元？
(2)已知，文创产品每件售价为元，款文创产品每件售价为元，根据市场需求，商店计划再用不超过元的总费用购进这两款文创产品共件进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？
【答案】(1)款文创产品每件的进价元，文创产品每件的进价是元；
(2)购进款文创产品件，购进款文创产品件，才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是元．
【详解】（1）解：设款文创产品每件的进价元，则文创产品每件的进价是元，
根据题意得，，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
∴
答：款文创产品每件的进价元，则文创产品每件的进价是元；
（2）解：设购进款文创产品件，则购进款文创产品件，总利润为，
根据题意得，，
解得，
又由题意得，，
，随的增大而增大，
当时，利润最大，
∴购进款文创产品件，购进款文创产品件，获得的利润最大，，
答：购进款文创产品件，购进款文创产品件，才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是元．
46．（2023·四川泸州·中考真题）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克．根据以上信息，解答下列问题：
(1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
(2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)节后每千克A粽子的进价为10元
(2)节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为3000元
【详解】（1）解：设节后每千克A粽子的进价为x元，则每千克A粽子节前的进价为元，根据题意得：
，解得：，，
经检验，都是原方程的解，但不符合实际舍去，
答：节后每千克A粽子的进价为10元．
（2）解：设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进千克A粽子，获得的利润为w元，根据题意得：
，
∵，∴，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，w取最大值，且最大值为：，
答：节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为3000元．
47．（2023·辽宁营口·中考真题）某大型超市购进一款热销的消毒洗衣液，由于原材料价格上涨，今年每瓶洗衣液的进价比去年每瓶洗衣液的进价上涨4元，今年用1440元购进这款洗衣液的数量与去年用1200元购进这款洗衣液的数量相同．当每瓶洗衣液的现售价为36元时，每周可卖出600瓶，为了能薄利多销．该超市决定降价销售，经市场调查发现，这种洗衣液的售价每降价1元，每周的销量可增加100瓶，规定这种消毒洗衣液每瓶的售价不低于进价．
(1)求今年这款消毒洗衣液每瓶进价是多少元；
(2)当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为多少元时，这款洗衣液每周的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)今年这款消毒洗衣液每瓶进价是24元；
(2)当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为33元时，这款洗衣液每周的销售利润最大，最大利润是8100元．
【详解】（1）解：设今年这款消毒洗衣液每瓶进价是x元，则去年这款消毒洗衣液每瓶进价是元，
根据题意可得：，解得：，
经检验：是方程的解，
元，
答：今年这款消毒洗衣液每瓶进价是24元.
（2）解：设这款消毒洗衣液每瓶的售价定为m元时，这款洗衣液每周的销售利润w最大，
根据题意得出：，
整理得：，
根据二次函数的性质得出：当时，利润最大，
最大利润为：，
答：当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为33元时，这款洗衣液每周的销售利润最大，最大利润是8100元．
48．（2023·四川遂宁·中考真题）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售，经了解．每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同．
(1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？
(2)该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为w元．
①求w与m的函数关系式，并求出m的取值范围；
②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？
【答案】(1)甲粽子每个的进价为10元，则乙粽子每个的进价为12元；
(2)①w与m的函数关系式为；②购进甲粽子134个，乙粽子66个才能获得最大利润，最大利润为466元．
【详解】（1）解：设甲粽子每个的进价为x元，则乙粽子每个的进价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
则，
答：甲粽子每个的进价为10元，则乙粽子每个的进价为12元；
（2）解：①设购进甲粽子m个，则乙粽子个，利润为w元，
由题意得：，
∵甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，
∴，
解得：，
∴w与m的函数关系式为；
②∵，则w随m的增大而减小，，即m的最小整数为134，
∴当时，w最大，最大值，
则，
答：购进甲粽子134个，乙粽子66个才能获得最大利润，最大利润为466元．
49．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了6600元，第二批花了8000元，第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进50个．
(1)求第二批每个挂件的进价；
(2)两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】(1)第二批每个挂件的进价为40元
(2)当每个挂件售价定为58元时，每周可获得最大利润，最大利润是1080元
【详解】（1）设第二批每个挂件的进价为x元，则第一批每个挂件的进价为1.1x元，
根据题意可得，
，
解得x＝40．
经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合实际意义，
∴1.1x＝44．
∴第二批每个挂件的进价为40元．
（2）设每个售价定为y元，每周所获利润为w元，
根据题意可知，w＝（y﹣40）[40+10（60﹣y）]＝﹣10+1440，
∵﹣10＞0，
∴当x≥52时，y随x的增大而减小，
∵40+10（60﹣y）≤90，
∴y≥55，
∴当y＝55时，w取最大，此时w＝﹣10+1440＝1350．
∴当每个挂件售价定为55元时，每周可获得最大利润，最大利润是1350元．中小学教育资源及组卷应用平台
【中考真题 高分必刷题】3年中考数学真题分类汇编（基础版）
专题06 分式方程（组）及其应用
本专题汇编2022~2024年三年中考真题，把3年中考中常考题型汇编成每个小专题进行分类突破，对于考生来说，最具有针对性的题型就是中考真题，让考生熟悉中考的考点以及重难点。
1．（2024·海南·中考真题）分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江苏无锡·中考真题）分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江苏徐州·中考真题）分式方程的解为 ．
4．（2024·辽宁·中考真题）方程的解为 ．
5．（2024·北京·中考真题）方程的解为 .
6．（2023·辽宁大连·中考真题）解方程去分母，两边同乘后的式子为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·山东济宁·中考真题）解分式方程时，去分母变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·湖南·中考真题）将关于x的分式方程去分母可得（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·湖南永州·中考真题）解分式方程去分母时，方程两边同乘的最简公分母是 ．
10．（2024·四川遂宁·中考真题）分式方程的解为正数，则的取值范围（ ）
A． B．且
C． D．且
11．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．且
12．（2022·四川德阳·中考真题）如果关于的方程的解是正数，那么的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
13．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）若分式方程的解为负数，则a的取值范围是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
14．（2023·山东日照·中考真题）若关于的方程解为正数，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
15．（2023·黑龙江·中考真题）已知关于x的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
16．（2022·重庆·中考真题）关于x的分式方程的解为正数，且关于y的不等式组的解集为，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．13 B．15 C．18 D．20
17．（2022·重庆·中考真题）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是负整数，则所有满足条件的整数的值之和是（ ）
A．－26 B．－24 C．－15 D．－13
18．（2024·重庆·中考真题）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ．
19．（2024·重庆·中考真题）若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ．
20．（2023·重庆·中考真题）若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
21．（2022·四川遂宁·中考真题）若关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．0 B．4或6 C．6 D．0或4
22（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）若关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．1 B．1或3 C．1或2 D．2或3
23．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知关于x的分式方程无解，则k的值为（ ）
A．或 B． C．或 D．
24．（2023·湖南永州·中考真题）若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是 ．
25．（2024·四川达州·中考真题）若关于的方程无解，则的值为 ．
26．（2024·陕西·中考真题）解方程：．
27．（2024·福建·中考真题）解方程：．
28．（2023·西藏·中考真题）解分式方程：．
29．（2023·山西·中考真题）解方程：．
30．（2022·青海西宁·中考真题）解方程：．
31．（2024·四川巴中·中考真题）某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校60km，一部分学生乘慢车先行，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达．已知快车的速度比慢车的速度每小时快20km，求慢车的速度？设慢车的速度为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
31．（2024·四川广元·中考真题）我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”．现需要购买A、B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株．设B种绿植单价是x元，则可列方程是（ ）
A． B．
C． D．
32．（2024·甘肃临夏·中考真题）端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是元，所得方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
33．（2024·新疆·中考真题）某校九年级学生去距学校的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发，后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达．已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍，设甲车的速度为，根据题意可列方程（ ）
A． B． C． D．
34．（2023·广东广州·中考真题）随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速60，动车提速后行驶480与提速前行驶360所用的时间相同．设动车提速后的平均速度为x，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
35．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等．
(1)求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米；
(2)为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的工期，两队最多能修复公路多少千米？
36．（2024·四川雅安·中考真题）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前15天完成铺设任务．
(1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？
(2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？
37．（2023·辽宁丹东·中考真题）“畅通交通，扮靓城市”，某市在道路提升改造中，将一座长度为36米的桥梁进行重新改造．为了尽快通车，某施工队在实际施工时，每天工作效率比原计划提高了，结果提前2天成功地完成了大桥的改造任务，那么该施工队原计划每天改造多少米
38．（2023·四川德阳·中考真题）2022年8月27日至29日，以“新能源、新智造、新时代”为主题的世界清洁能源装备大会在德阳举行．大会聚焦清洁能源装备产业发展热点和前瞻性问题，着力实现会展聚集带动产业聚集．其中德阳清洁能源装备特色小镇位于德阳经济技术开发区，规划面积平方公里，计划2025年基本建成．若甲、乙两个工程队计划参与修建“特色小镇”中的某项工程，已知由甲单独施工需要18个月完成任务，若由乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务．承建公司每个月需要向甲工程队支付施工费用8万元，向乙工程队支付施工费用5万元．
(1)乙队单独完工需要几个月才能完成任务？
(2)为保证该工程在两年内完工，且尽可能的减少成本，承建公司决定让甲、乙两个工程队同时施工，并将该工程分成两部分，甲队完成其中一部分工程用了a个月，乙队完成另一部分工程用了b个月，已知甲队施工时间不超过6个月，乙队施工时间不超过24个月，且a，b为正整数，则甲乙两队实际施工的时间安排有几种方式？哪种安排方式所支付费用最低？
39．（2024·山东日照·中考真题）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍．
【素材呈现】
素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高；
素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个；
素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的．
【问题解决】
(1)问题一：求出两种书架的单价；
(2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案；
(3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值．
40．（2023·内蒙古通辽·中考真题）某搬运公司计划购买A，B两种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10吨货物，且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需天数相同．
(1)求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨？
(2)每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台，满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案．
41．（2023·山东·中考真题）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用万元购买A型充电桩与用万元购买B型充电桩的数量相等．
(1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
(2)该停车场计划共购买个A，B型充电桩，购买总费用不超过万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？
42．（2023·黑龙江·中考真题）2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空，某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同．
(1)求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
(2)已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，求有几种购买方案？
(3)在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求m值．
43．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）某商场欲购进A和B两种家电，已知B种家电的进价比A种家电的进价每件多100元，经计算，用1万元购进A种家电的件数与用1.2万元购进B种家电的件数相同．请解答下列问题：
(1)这两种家电每件的进价分别是多少元？
(2)若该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过53500元，且A种家电不超过67件，则该商场有哪几种购买方案？
(3)在（2）的条件下，若A和B两种家电的售价分别是每件600元和750元，该商场从这100件中拿出两种家电共10件奖励优秀员工，其余家电全部售出后仍获利5050元，请直接写出这10件家电中B种家电的件数．
44．（2023·湖北荆州·中考真题）荆州古城旁“荆街”某商铺打算购进，两种文创饰品对游客销售．已知1400元采购种的件数是630元采购种件数的2倍，种的进价比种的进价每件多1元，两种饰品的售价均为每件15元；计划采购这两种饰品共600件，采购种的件数不低于390件，不超过种件数的4倍．
(1)求，饰品每件的进价分别为多少元？
(2)若采购这两种饰品只有一种情况可优惠，即一次性采购种超过150件时，种超过的部分按进价打6折．设购进种饰品件，
①求的取值范围；
②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润．
45．（2024·四川眉山·中考真题）眉山是“三苏”故里，文化底蕴深厚．近年来眉山市旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售，某商店用元购进的款文创产品和用元购进的款文创产品数量相同．每件款文创产品进价比款文创产品进价多元．
(1)求，两款文创产品每件的进价各是多少元？
(2)已知，文创产品每件售价为元，款文创产品每件售价为元，根据市场需求，商店计划再用不超过元的总费用购进这两款文创产品共件进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？
46．（2023·四川泸州·中考真题）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克．根据以上信息，解答下列问题：
(1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
(2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？
47．（2023·辽宁营口·中考真题）某大型超市购进一款热销的消毒洗衣液，由于原材料价格上涨，今年每瓶洗衣液的进价比去年每瓶洗衣液的进价上涨4元，今年用1440元购进这款洗衣液的数量与去年用1200元购进这款洗衣液的数量相同．当每瓶洗衣液的现售价为36元时，每周可卖出600瓶，为了能薄利多销．该超市决定降价销售，经市场调查发现，这种洗衣液的售价每降价1元，每周的销量可增加100瓶，规定这种消毒洗衣液每瓶的售价不低于进价．
(1)求今年这款消毒洗衣液每瓶进价是多少元；
(2)当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为多少元时，这款洗衣液每周的销售利润最大？最大利润是多少元？
48．（2023·四川遂宁·中考真题）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售，经了解．每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同．
(1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？
(2)该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为w元．
①求w与m的函数关系式，并求出m的取值范围；
②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？
49．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了6600元，第二批花了8000元，第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进50个．
(1)求第二批每个挂件的进价；
(2)两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？
