2024-2025学年辽宁省名校联盟（东三省）高二上学期12月联考调研测试数学试卷（含答案）

2024-2025学年辽宁省名校联盟（东三省）高二上学期12月联考调研测试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知抛物线上一点，则点到其焦点的距离为( )
A. B. C. D.
2.已知：“”，：“直线和直线互相垂直”，则是的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.在正三棱锥中，为外接圆圆心，则( )
A. B.
C. D.
4.已知且，则下列等式正确的是( )
A. B.
C. D.
5.已知圆，定点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线交于点，则点的轨迹为( )
A. 以为直径的圆 B. 以为焦点的椭圆
C. 以为焦点的双曲线 D. 以为顶点，为焦点的抛物线
6.若，则的值为( )
A. B. C. D.
7.在正四棱台中，，若存在球与该正四棱台的各个面均相切，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
8.已知是椭圆上的两个动点，为坐标原点，，过点作，垂足为点，若分别为椭圆的左右顶点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且，则下列说法中正确的是( )
A. B. 的周长为
C. 的面积为 D. 点在圆上
10.在的展开式中二项式系数之和是，则下列说法正确的是( )
A. 二项式系数最大的项是第项 B. 展开式没有常数项
C. 各项系数之和为 D. 系数最大的项是第项
11.如图，该几何体为圆锥与半球组成的组合体，其中圆锥轴截面为边长为的正三角形，点为半球面上的一个动点，则下列说法正确的是( )
A. 该组合体的体积为
B. 与平面所成角的取值范围为
C. 平面与平面所成角的取值范围为
D. 当时，点形成的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一盒子里有编号的红球和编号的白球各一个，随机取出个球排成一列，则相同颜色和相同编号均不相邻的排法有 种
13.过直线上一点作圆和圆的切线，切点分别为，若为中点，为中点，则 ．
14.杨辉三角帕斯卡三角是我国南宋数学家杨辉用三角形来直观解释二项式系数规律的一种方法，如图，记第行的第个数为，则 ， ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
甲乙丙等名同学利用周末到社区进行志愿服务．
名同学站成一排，若甲乙丙自左向右从高到矮排列，则不同的排列方案有多少种？
名同学站成一排，甲乙两名同学之间恰有人的不同排列方案有多少种？
名同学分成三组每组至少有一人，进行三项不同的社区服务，则不同的分配方案有多少种？
16.本小题分
如图，已知正方形是圆柱的轴截面经过旋转轴的截面，点在底面圆周上，，点是的中点．
求点到直线的距离；
求平面与平面的夹角的余弦值．
17.本小题分
“对号函数”的图象也可以看成是以与为渐近线的双曲线设函数，若将其图象看成双曲线．
求双曲线的焦点坐标；
将双曲线绕着坐标原点顺时针旋转，使焦点落到轴上，得到双曲线，设双曲线的右焦点为，过的直线与双曲线的右支交于两点，当时，求直线的方程．
18.本小题分
已知三棱锥底面为边长为的等边三角形，平面平面，平面平面为线段中点，为线段中点，点在线段上

证明：平面；
设直线与平面所成的角分别为，其中，求线段的长度及点位置．
19.本小题分
已知抛物线的焦点为，过抛物线上一点，任意作两条相互垂直的弦，弦过定点．
求的方程；
求点坐标；
若直线和分别与轴交于两点，当时，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：
先将人全排列有种，考虑到甲、乙、丙三人排列有种，
所以甲乙丙自左向右从高到矮排列时，不同的排法有种；
从除甲、乙以外的人中任取人排在甲、乙之间，与甲、乙组成一个整体，再与余下个人全排列，
则有种排列方案；
【小问详解】
由题可得学生的分配方案可以有：；；；
名学生按分为三个组有种方法，
则人分配到三所学校共有种分配方法；
名学生按分为三个组有种分法，
则人分配到三项不同的社区一社区人、一社区人、一社区人共有分配方法；
名学生平均分配到三项不同的社区有种方法；
则人分配到三项不同的社区每个社区至少一人一共有：种方法．

16.解：
因为线段是底面圆的直径，所以，所以，
以点为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则
所以，设点到直线的距离为，
则，故点到直线的距离为；
由可知，，
设为平面的一个法向量，
则由，可取，
设为平面的一个法向量，
则由，可取，
设平面与平面所成角为，则，
即平面与平面的夹角的余弦值为．

17.解：
设双曲线的实轴长，虚轴长，焦距，由题意为双曲线的一条对称轴，
设直线与函数图象交于两点，
联立，解得或，所以，
则，所以，又，所以，则，
设双曲线的焦点分别为，则；
由可知双曲线的方程为，右焦点，
设直线的方程，与的方程联立可得，
设，由题意，，
所以，
，
即，解得，此时直线的方程为或．

18.解：
过点分别在平面、平面内作的垂线，垂足分别为，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，同理平面，
又有公共点，所以两直线重合，
因为平面，平面，
所以为平面与平面的交线，即，
所以平面．

记的中点分别为，连接，
则，
因为平面，所以平面，平面，
所以直线与平面所成的角分别为，
设，，则，
因为，所以，
因为，所以，所以，
又为边长为的等边三角形，所以，
在中由余弦定理可得：
解得，所以，点为靠近点的四等分点．

19.解：
由可得，即，所以的方程为；
设，当直线斜率存在时，设：，
联立得，则，，由题意，
所以，
即，
即，
即，
则，可得，故，
当直线的斜率不存在时，，
联立得，成立，综上所述；
，
易知直线和的斜率均存在，设：，：，
此时，，则，
可得，联立得，
则，同理，
因此，
因为在和单调递增，所以，
即，所以，即的最大值为．

第1页，共1页