2024-2025学年贵州省贵阳市高二上学期联合考试（二）数学试卷（含答案）

2024-2025学年贵州省贵阳市高二上学期联合考试（二）数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数满足则( )
A. B. C. D.
3.当取下列选项中哪组值时，方程表示双曲线( )
A. B. C. D.
4.圆与圆的位置关系是( )
A. 相离 B. 外切 C. 相交 D. 内切
5.过双曲线的一个焦点作圆的两条切线，切点分别为，若是坐标原点，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
6.空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面方程为，经过点且方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下列问题：现给出平面的方程为，经过点的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
7.某校组织名学生参加纪念红军长征周年知识竞赛，经统计这名学生的成绩都在区间内，按分数分成组：，得到如图所示的频率分布直方图根据图中数据，下列结论错误的是( )
A. 成绩在上的人数最少
B. 成绩不低于分的学生所占比例为
C. 用分层抽样从该校学生中抽取容量为的样本，则应在内抽取人
D. 这名学生成绩的平均分小于第百分位数
8.等额分付资本回收是指起初投资在利率回收周期数为定值的情况下，每期期末取出的资金为多少时，才能在第期期末把全部本利取出，即全部本利回收，其计算公式为：某农业种植公司投资万元购买一大型农机设备，期望投资收益年利率为，若每年年底回笼资金万元，则该公司将至少在 年内能全部收回本利和．
A. B. C. D.
二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
9.在平面直角坐标系中，已知点，则直线的倾斜角为 ．
10.如图，已知在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱长为，且则 ．
11.已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线与双曲线交于，两点若轴，则双曲线的渐近线方程为 ．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
12.本小题分
已知的内角所对的边分别为，设向量，，且．
求角：
若的面积为，求的周长．
13.本小题分
已知抛物线的焦点为，且抛物线上一点到焦点的距离为．
求拋物线的方程；
已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线与交于点，求的中点到拋物线的准线的距离．
14.本小题分
已知圆，点．
若为过点的弦且所在直线与直线垂直求的长；
若是圆外的一个动点，连接与圆交于点，且满足点为线段的三等分点靠近点，求动点的轨迹方程，并说明它是什么图形．
15.本小题分
如图在三棱台中，已知平面，，为线段的中点，为线段的中点．

求证：平面；
求平面与平面夹角的余弦值；
求点到平面的距离．
16.本小题分
若一个椭圆的焦距为素数素数又叫质数，即大于，只能被和本身整除的自然数，且离心率的倒数也为素数，则称这样的椭圆为“朴素椭圆”．
证明：椭圆为“朴素椭圆”；
是否存在实数，使得椭圆为“朴素椭圆”？若存在，求的值；若不存在，请说明理由；
设斜率为的直线经过椭圆的右焦点，且与交于两点，，试问是否为“朴素椭圆”，说明你的理由．
参考答案
1.
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4.
5.
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8.
9.
10.
11.
12.
因为，则，
由正弦定理得，
，，
则，
因为，则．
由三角形面积公式，得，故，
，
，
所以的周长为．

13.
由题意得，解得，
则．
设线段的中点为，分别过点作准线的垂线，垂足分别为，

因为，则其焦点坐标为，
因为直线倾斜角为，则其斜率为，设，
则直线的方程为，联立抛物线方程得，
即，则，
根据梯形中位线得的中点到拋物线的准线的距离．

14.
由题意设直线的方程为，
代入，则，解得，即．
圆心到直线的距离为，
．
设，则，
即，即，解得
因为点在圆上，则，则，
化简得．

15.
连接由分别是的中点，
根据中位线性质，，且，
由棱台性质，，于是，
由可知，四边形是平行四边形，则，
又平面，平面，于是平面．
过作，垂足为，过作，垂足为，连接．
由面，面，故，
又，，平面，则平面．
由平面，故，又，，平面，于是平面，
由平面，故于是平面与平面所成角即．
又，，则，
故，在中，，
则，于是．
方法一：几何法

过作，垂足为，作，垂足为，连接，过作，垂足为．
由题干数据可得，，，易得三角形为等腰直角三角形，则，
根据勾股定理，，
则，
由平面，平面，则，
又，，平面，于是平面．
又平面，则，又，，平面，故平面．
在中，，
又，故点到平面的距离是到平面的距离的两倍，
即点到平面的距离是．
方法二：等体积法

辅助线同方法一．
设点到平面的距离为，易知为顶点为的等腰直角三角形，
则，
易知，，，
则，
则．
由，即．

16.
由已知椭圆，
即，，
则，
所以焦距，离心率，即，
所以该椭圆的焦距为质数，离心率的倒数也为质数，
即椭圆为“朴素椭圆”．
椭圆的焦距为，
离心率，
若存在实数，使得椭圆为“朴素椭圆”，
则，均为质数，
又，所以，，，，，
即，，，，，
则，，，，，这些数都不质数，
所以不存在实数，使得椭圆为“朴素椭圆”；
设的右焦点为，
则直线方程为，
设直线与椭圆的交点为，，
联立
得，，
则，，
，
解得，
则的焦距为为质数，
离心率，其倒数为质数，
所以为“朴素椭圆”．

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