陕西省商洛市洛南中学2024-2025学年高二上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

陕西省商洛市洛南中学 2024-2025 学年高二上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线 √ 3 + 2 = 0的倾斜角是( )
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
1
2.抛物线 = 2的焦点坐标为( )
4
1 1
A. ( , 0) B. ( , 0) C. (0, 1) D. (0,1)
16 16
3.圆 2 + 2 = 2与圆 2 + 2 + 4 +3 = 0的位置关系是( )
A. 相离 B. 外切 C. 内切 D. 相交
4.在空间四边形 中， ， 分别为 ， 的中点， = 2 ， = ， = ， = ， =( )
1 1 1 1 1 2
A. B. +
6 6 3 6 6 3
1 1 2 1 1 2
C. + + D. +
6 6 3 6 6 3
2
5.已知点 是双曲线 ： 2 = 1的渐近线上在第一象限内的一点， 为 的左焦点，则直线 斜率的取值
3
范围为( )
A. (0, √ 3) B. ( ∞,3) C. (√ 3,+∞) D. [0, √ 3]
6.在直三棱柱 1 1 1中， ⊥ ， = 1 = 4， = 2，则异面直线 1与 1 所成角的余弦值
为( )
√ 5 √ 10 √ 15 2√ 5
A. B. C. D.
5 5 5 5
7.已知点 ( , )在直线2 + + 5 = 0上，那么 2 + 2的最小值为( )
A. √ 5 B. 2√ 5 C. 5 D. 2√ 10
2 2
8.已知 1， 2为椭圆 ： + = 1的两个焦点， ， 为 上关于坐标原点对称的两点，且| | = | 1 2|，16 4
则四边形 1 2的面积为( )
A. 8√ 3 B. 8 C. 4√ 3 D. 4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.如图，已知正方体 1 1 1 1的棱长为1，则( )
A. ⊥ 1
B. 1 1//平面 1
C. 平面 1 1 与平面 的夹角为45°
√ 2
D. 点 1到平面 1 的距离为 2
2 2
10.已知方程 + = 1表示的曲线为 ，则( )
9 6
A. 当6 < < 9时，曲线 表示椭圆
B. 存在 ∈ ，使得 表示圆
C. 当 > 9或 < 6时，曲线 表示双曲线
D. 若曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，则焦距为2√ 3
11.已知圆 ： 2 + 2 = 4，点 ( 0, 0)是圆 上的点，直线 ： + √ 2 = 0，则( )
A. 直线 与圆 相交所得弦长是√ 3

B. 0 的最大值是√ 3
0 4
C. 圆 上恰有3个点到直线 的距离等于1
D. 过点 向圆 ：( 3)2 + ( 4)2 = 1引切线， 为切点，则| |最小值为2√ 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.平行线 + 2 5 = 0与2 + 4 5 = 0间的距离为 ．
13.设 ， ∈ ， = (1,1,1)， = (1, , )， = ( , 4,2)，且 ⊥ ， // ，则| + | = ______．
2 2
14.如图，双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点 1
( , 0)， 2( , 0)， 为

双曲线 右支上一点，且 = ， 1与 轴交于点 ，若 2 是∠ 2 1的角平分线，
则双曲线 的离心率是______．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
(1)求过点( √ 2, 4)，且与直线√ 2 + + 1 = 0平行的直线的一般式方程；
(2)求点 (2,0)关于直线 ：2 + +2 = 0的对称点 的坐标．
16.(本小题15分)
在①过点 (2,0)，②圆 恒被直线 = 0( ∈ )平分，③与 轴相切，这三个条件中任选一个，
补充在下面问题中，并解答．
已知圆 经过点 (0,0)， (1,1)，_____．
(1)求圆 的一般方程；
(2)设 是圆 上的动点，求线段 的中点 的轨迹方程．
17.(本小题15分)
在四棱锥 中， ⊥底面 ， // ， = = = 1， = 2， = √ 3．
(1)证明： ⊥ ;
(2)求 与平面 所成的角的正弦值．
18.(本小题17分)
已知中心在原点，焦点在 轴上的椭圆 1与双曲线 2有共同的焦点 1， 2，| 1 2 | = 6√ 3， 1的长半轴与 2的
实半轴之差为4，离心率之比为3：7．
(1)求这两条曲线的方程；
(2)求曲线 2以点 (4,2)为中点的弦所在直线的方程；
(3)若 为两条曲线的交点，求∠ 1 2的余弦值．
19.(本小题17分)
2 2 1
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率为 ，焦距为2． 2
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(1)求椭圆的标准方程；
3
(2)若直线 ： = + ( , ∈ )与椭圆 相交于 ， 两点，且 = ． 4
Ⅰ.试求 、 的关系式；
Ⅱ.证明：△ 的面积为定值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
√ 5
12.【答案】
2
13.【答案】3
14.【答案】1 +√ 3
15.【答案】解：(1)根据题意，设所求直线方程为√ 2 + + = 0， ≠ 1，
将点( √ 2, 4)代入所求直线方程可得 2+ 4 + = 0，解得 = 2，
故所求直线方程为√ 2 + 2 = 0；
+2
(2)法( )设点 ( , )，由题意可知， ⊥ ，线段 的中点( , )在直线 上，
2 2

2 = 1
且直线 的斜率为 2，所以{ 2 ，
+2
2 × + +2 = 0
2 2
14
=
5 14 12解得{ ，故点 的坐标为( , )．
12
= 5 5
5
法( )由题意可得直线 为线段 的中垂线，
设直线 的方程为 2 + = 0，将点 (2,0)代入可得2 0 + = 0，解得 = 2，
即直线 的方程为： 2 2 = 0，
2 2 = 0 2 6
联立{ ，解得 = ， = ，
2 + +2 = 0 5 5
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2 6
即可得线段 的中点 ( , )，
5 5
14 12
由中点坐标公式，可得 ( , ).
5 5
16.【答案】解：(1)选条件①．
设圆的方程为 2 + 2 + + + = 0( 2 + 2 4 > 0)，
= 0 = 2
则{2+ + + = 0，解得{ = 0 ，
4+ 2 + = 0 = 0
则圆 的方程为 2 + 2 2 = 0．
选条件②．
直线 = 0恒过点(1,0)．
因为圆 恒被直线 = 0( ∈ )平分，所以 = 0恒过圆心，
所以圆心坐标为(1,0)，
又圆 经过点 (0,0)，所以圆的半径 = 1，所以圆 的方程为( 1)2 + 2 = 1，即 2 + 2 2 = 0．
选条件③．
设圆 的方程为( )2 + ( )2 = 2，
| | = = 1
由题意可得{ 2 + 2 = 2 ，解得{ = 0，
(1 )2 + (1 )2 = 2 = 1
则圆 的方程为( 1)2 + 2 = 1，即 2 + 2 2 = 0．
(2)设 ( , )，
因为 为线段 的中点，所以 (2 , 2 )，
因为点 是圆 上的动点，所以(2 )2 + (2 )2 2 × 2 = 0，即 2 + 2 = 0，
所以 的轨迹方程为 2 + 2 = 0．
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17.【答案】解：(1)如图所示，取 中点为 ，连接 ， ，则 = = 1．
又 // ，所以四边形 为平行四边形．
又 = = 1，
所以四边形 为菱形，所以 ⊥ ．
同理可得，四边形 为菱形，所以 // ，
所以 ⊥ ．
因为 ⊥底面 ， 底面 ，所以 ⊥ ，
又 ∩ = ， , 平面 ，所以 ⊥平面 ．
因为 平面 ，所以 ⊥ ．
(2)由(1)知 ⊥ ，又 = 2 ，所以∠ = 60 ，
所以三角形 为正三角形．
过点 作垂直于 的直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 √ 3 1
√ 3 3
( , , 0)， ( , , 0)， (0,0,√ 3)， (0,0,0)．
2 2 2 2
√ 3 1
则 = (0,2,0)， = ( , , √ 3)， = (0,0,
2 2 √ 3)．
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设平面 的法向量为 = ( , , )，
2 = 0
则{
= 0，即{ √ 3 1 ，
= 0 + +√ 3 = 02 2
令 = 2，则 = 0， = 1，所以 = (2,0,1)．
设直线 与平面 所成的角为 ，
|
| √ 3 √ 5
则sin = |cos , | =
| | |
= = ，
| √ 5×√ 3 5
√ 5
所以直线 与平面 所成的角的正弦值为 ．
5
18.【答案】解：(1)中心在原点，焦点在 轴上的椭圆 1与双曲线 2有共同的焦点 1， 2，
| 1 2| = 6√ 3， 1的长半轴与 2的实半轴之差为4，离心率之比为3：7．
2 2
设椭圆方程为 2 + 2 = 1( > > 0)，
2 2
双曲线方程为 2 2 = 1( > 0, > 0)，2 = 6√ 3．
= 4
则{3√ 3 3，解得 = 7， = 3，则 = √ 2 27 = 22， = √ 27 2 = 3 2，
= √ √
3√ 3 7
2 2 2 2
因此，椭圆方程为 + = 1，双曲线方程为 = 1．
49 22 9 18
(2)曲线 2以点 (4,2)为中点的弦的两端点分别为 ( 1 , 1)、 ( 2, 2)，
由中点坐标公式可得 1 + 2 = 8， 1 + 2 = 4，
若 ⊥ 轴，则线段 的中点在 轴上，不合乎题意，
2 21 1 = 1 2 2 2 2
因为{ 9 182 ，这两个等式作差可得
1 2 1 2 = 0，
22 9 18 2 = 1
9 18
2 2 + 1
所以， 1 2 = 1 2 1 22 2 = = 2，可得 + 2 = 4， 1 2 1 2 1 2
所以，直线 的方程为 2 = 4( 4)，即 = 4 14，
= 4 14
检验：联立{ 2 2 可得7
2 56 + 107 = 0，则 = 562 28 × 107 = 140 > 0，合乎题意，
2 = 18
因此，曲线 2以点 (4,2)为中点的弦所在直线的方程为 = 4 14．
(3)不妨设 1、 2分别为两曲线的左、右焦点， 是两曲线在第一象限的交点，
设| 1 | = ，| 2 | = ，由椭圆的定义可得 + = 2 = 14，
由双曲线的定义可得 = 2 = 6，
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解得 = 10， = 4，
2 2 2 + (2 ) 100+16 108 1
在△ 1 2中，由余弦定理可得cos∠ 1 2 = = = ． 2 2×10×4 10
2 2
(1) 1 119.【答案】解： 由于 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率为 ，所以 = ， 2 2
又因为焦距为2，所以2 = 2，所以有 = 2， = 1，所以 = √ 2 2 = √ 3，
2 2
因此 的方程为 + = 1．
4 3
2 2
+ = 1
(2)( )联立椭圆 方程和直线 可得{ 4 3 ，
= +
化简得(4 2 + 3) 2 + 8 + 4 2 12 = 0，
根的判别式 = 48(4 2 2 + 3) > 0，
4 2 12 8
设 ( 2, 2)， ( 1, 1)，根据韦达定理可得 1 2 = 2 ， 1 + 2 = 2，
3+4 3+4
2 2
所以 3 12 1 2 = ( 1 + )( 2 + ) =
2 1 2 + ( 1 + 2)+
2 = 2 ，
3+4
2
所以 3
2 12 3 2
1 2 2 4 +3 = = = ，解得 = ； 21 2 4 12 4 2
2
( )证明：由于 24(1+ )| | = √ 1 + 2 √ ( 1 + 2)2 4 1 2 = √ ， 2
3+4
| |
又因为点 到直线 的距离 = √ 2， 1+
2
1 1 24(1+ ) | |
因此三角形 的面积 = | | = × √ 2 2 2 3+4 √ 2 1+
2
3+4
1 24 2 1 24×
= × √ 2 =
√ 22 = √ 3
．
2 3+4 2 3+4
所以三角形 的面积为√ 3．
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