陕西省汉中市汉台二中等校2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷（PDF版，含答案）

陕西省汉中市汉台二中等校 2024-2025 学年高二上学期 12 月月考数学
试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 ， ， ， 是空间中互不相同的四个点，则 + =( )
A. B. C. D.
2.抛物线 2 = 2 的准线方程是( )
1 1
A. = B. = 1 C. = D. = 1
2 2
2 2
3.已知 是椭圆 ： + = 1上的一点， 1， 2分别是椭圆 的左，右焦点，则| 1| + | 2 | =( ) 9 4
A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
4.设 为实数，已知向量 = (2,3 +5,4)， = (1,2 +1,2)，若 // ，则 的值为( )
A. 6 B. 3 C. 3 D. 6
5.已知 = ( 1,2,1), = (2, 2,0)，则 在 方向上的投影为( )
3√ 2 3√ 2
A. √ 6 B. √ 6 C. D.
2 2
6.已知{ , , }是空间的一组基，若{ + , , }是空间的另一组基，则 不可以为( )
A. B. C. + D.
7.若直线 1: + 1 = 0与直线 2 :( + 2) 1 = 0平行，则 1与 2之间的距离为( )
√ 5 2√ 5 3√ 5 3√ 5
A. B. C. D.
5 5 5 10
8.已知正方体 1 1 1 1的棱长为3， ， 分别在 ， 1上，且 = 2 ， = 2 1，则| | =( )
A. 3 B. 2√ 2 C. 2√ 3 D. 4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于空间向量的说法中不正确的是( )
A. 方向相反的两个向量是相反向量
B. 空间中任意两个单位向量必相等
C. 若向量| |, | |满足| | > | |，则 >
D. 相等向量其方向必相同
10.在空间直角坐标系 中，点 (0,0,0)， ( 2, 1,1)， (3,4,5)，则下列结论正确的有( )
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A. 点 关于 轴的对称点的坐标为(2,1,1) B. = (5,5,4)
√ 3
C. ⊥ D. cos < , >=
6
1
11.某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数 = 的图象是双曲线，设其焦点为 ， ，若 为其图

象上任意一点，则( )
A. = 是它的一条对称轴 B. 它的离心率为√ 2
C. 点(2,2)是它的一个焦点 D. || | | || = 2√ 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知空间向量 = (1,1,1)， = (1,0, 2)，则 = ______．
1 2
13.已知 , , 三点不共线，点 为平面 外一点，若由向量 = + + 确定的点 与 , , 共
5 3
面，那么 =
14.已知点 为抛物线 ： 2 = 8 上的动点，点 为圆( + 6)2 + ( + 6)2 = 9上的动点，设点 到 轴的距离
为 ，则| | + 的最小值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知直线 1： + 2 = 0，直线 2：2 + 8 = 0，设直线 1与 2的交点为 ，点 的坐标为(2,0)．
(Ⅰ)求经过点 且与直线 1垂直的直线方程；
(Ⅱ)求以线段 为直径的圆的方程．
16.(本小题15分)
如图，给定长方体 1 1 1 1， = 1 = 2， = 6，点 在棱 1的延长线上，且| 1 | = | 1|.
设 1 = ， = ， = ．
(1)试用 , , 表示向量 ；
(2)求 1．
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17.(本小题15分)
如图，在矩形 中， = 2 ， = 2 ，矩形 所在平面外一点 满足 ⊥平面 ， 、 分别
是 、 的中点，且 = 2 .请建立适当的空间直角坐标系，然后证明：
(Ⅰ) ⊥ ；
(Ⅱ) ， ， 共面．
18.(本小题17分)
已知拋物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点 在直线 +1 = 0上．
(1)求拋物线 的方程；
(2)设直线 经过点 ( 1, 2)，且与拋物线 有且只有一个公共点，求直线 的方程．
19.(本小题17分)
2 2 √ 3
已知椭圆 2 + 2 = 1( > > 0)的左右焦点分别为 1， 2，离心率为 ，点 在椭圆上，且满足 ⊥ 轴， 3 2
4√ 3
| 1| = ． 3
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若直线 = +2交椭圆于 ， 两点，求△ ( 为坐标原点)面积的最大值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】(0,1,3)
2
13.【答案】
15
14.【答案】5
15.【答案】解：(Ⅰ)易知 1的斜率为1，故所求直线斜率是 1，
又直线过点 ，故直线方程为 = ( 1) × ( 2)，
故所求方程为 + 2 = 0；
2 + 8 = 0 = 2
(Ⅱ)联立方程组{ ，解得{ ，
+2 = 0 = 4
故 (2,4)， (2,0)，由中点坐标公式得 中点坐标为(2,2)，
1
由两点间距离公式得： √ (2 2)2 + (4 0)2 = 2，
2
故所求圆方程为( 2)2 + ( 2)2 = 4．
16.【答案】解：(1)因为点 在棱 1的延长线上，且| 1 | = | 1|，
所以 = 2 1 = 2 1 ，
则 = + + = + + 2 1 = 2 + + ．
(2)由题意得 1 = 0, = 0, | | = | 1 | = 2, | | = 6，
又 1 = + 1 + 1 1 = 1 + ，
2
所以 1 = ( 1 + ) = 1 + = 4．
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17.【答案】证明：(Ⅰ)如图，以 为原点，以 ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐
标系 ，
已知 = 2 ， = 2 ， = 2 ，则 (0,0,0)， (2 , 0,0)， (2 , 2 , 0)， (0,2 , 0)， (0,0,2 )，
∵ 为 的中点， 为 的中点，∴ ( , 0,0)， ( , , )，
∵ = ( 2 , 0,0)， = (0, , )，
∴ = (0, , ) ( 2 , 0,0) = 0，
∴ ⊥ ，∴ ⊥ ．
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 = (0, , )， = (0,0,2 )， = (0,2 , 0)，
∴
1
=
1
+ ，
2 2
∴ ， ， 共面．
18.【答案】解：(1)由拋物线方程 2 = 2 ( > 0)，知其焦点在 轴正半轴上，

在直线 +1 = 0中，令 = 0，得焦点坐标为 (0,1)，所以 = 1，即 = 2，
2
故拋物线 的方程是 2 = 4 ．
(2)直线的斜率存在时，设直线 的方程为 = ( + 1) 2，
= ( + 1) 2
由方程组 { 2 消去 ，得
2 4 4 + 8 = 0，
= 4
因为直线 与拋物线 有且只有一个公共点，所以△= 16 2 4(8 4 ) = 0，解得 = 2或 = 1．
此时直线 的方程为2 + + 4 = 0或 1 = 0；
当直线的斜率不存在时，直线 的方程为 = 1，直线 与拋物线 有且只有一个公共点．
综上，可得当直线 的方程为2 + + 4 = 0， 1 = 0或 = 1时，直线 与拋物线 有且只有一个公
共点．
2 1
19.【答案】解：( )由已知得 = ，又由 2 = 2 + 22 ， 3
可得 2 = 3 2， 2 = 2 2，
2 2
得椭圆方程为
3 2
+
2 2
= 1，
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因为点 在第一象限且 2 ⊥ 轴，
2√ 3
可得 的坐标为( , )，
3
4 4√ 3
由| 1 | = √ 4 2 + 2 = ，解得 = 1， 3 3
2 2
所以椭圆方程为 + = 1；
3 2
( )设 ( 1 , 1)， ( 2, 2)，
将 = + 2代入椭圆，可得(3 2 +2) 2 + 12 + 6 = 0，
由△> 0，即144 2 24(3 2+ 2) > 0，可得3 2 2 > 0，
12 6
则有 1 + 2 = 2 , 1 2 = 2
2+3 2+3
2√
2
18 12
所以| 1 2| = 2 ，
3 +2
因为直线 = + 2与轴交点的坐标为(0,2)，
√ 2 2
1 2 (18 12) 2
√ 6×(3 2)
所以△ 的面积 = × 2 × | 1 2| =2 2 = 2 ， 3 +2 3 +2
令3 2 2 = ，由①知 ∈ (0,+∞)，
√ 6 6 6 √ 6
可得 = 2 = 2√
+4 2
= 2 ≤ ，当且仅当 = 4时，取等号．
+8 +16 √ 16 + +8 2

√ 6
所以 = 4时，面积最大为 ．
2
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