2024-2025学年陕西省汉中市校际联考高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年陕西省汉中市校际联考高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数等于( )
A. B. C. D.
2.已知，，则( )
A. B. C. D.
3.已知直线过点，，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
4.圆心为，且与轴相切的圆的方程是( )
A. B.
C. D.
5.从标有数字，，，的四张卡片中任取两张，这两张卡片上的数字相邻的概率是( )
A. B. C. D.
6.已知点关于轴的对称点为，则等于( )
A. B. C. D.
7.若函数是在上的减函数，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于、两点，是椭圆的右焦点，则的周长的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线，则下列选项中正确的有( )
A. 直线在轴上的截距为 B. 直线的斜率为
C. 直线的一个方向向量为 D. 直线不经过第一象限
10.已知关于，的方程表示的曲线是，则曲线可以是( )
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
11.在平面直角坐标系中，双曲线：的左、右焦点分别为、，过双曲线上的一点作两条渐近线的垂线，垂足分别为、，则( )
A. 双曲线的离心率为 B. 焦点到渐近线的距离为
C. 四边形可能为正方形 D. 四边形的面积为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若圆与圆交于，两点，则直线的方程为______．
13.已知正四棱台的体积为，若，，则正四棱台的高为______．
14.已知，都是锐角，，，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线：和直线：．
当时，求实数的值；
当时，求两直线，间的距离．
16.本小题分
如图，在三棱柱中，，分别为和的中点，设，，．
用，，表示向量；
若，，，求．
17.本小题分
已知椭圆的离心率为，且过点．
求椭圆的方程；
若直线：与椭圆有且仅有一个交点，求实数的值．
18.本小题分
已知圆过三点．
求圆的标准方程；
斜率为的直线与圆交于两点，若为等腰直角三角形，求直线的方程．
19.本小题分
已知动点到点的距离与点到直线的距离相等．
求点的轨迹的方程；
设点，为轨迹上不同的两点，若线段的中垂线方程为，求线段的长．
参考答案
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15.解：若直线：与直线：垂直．
则，得；
当时，，解得，
此时直线：，即，
可知直线、的距离．
16.解：；
，，，
则
．
17.解：由题可得，解得，
所以椭圆的方程为：；
由题，联立，化简得：，
因为直线与椭圆仅有一个交点，
所以，
解得：．
18.解：设所求的圆的方程是，其中，
把已知三点坐标代入得方程组
解得
所以圆的一般方程为．
故圆的标准方程为．
设直线的方程为：，
因为为等腰直角三角形，
又由知圆的圆心为，半径为．
所以圆心到直线的距离
解得或，
所以直线的方程为：或．

19.解：设点，根据动点到点的距离与点到直线的距离相等，可得，
上式两边同时平方得：，化简得，
点的轨迹的方程为．
设，，线段的中点，
点，为轨迹上不同的两点，线段的中垂线方程为，
直线的斜率，
由点，在抛物线：上，可知，
两式相减得，
又，故，
，故，
直线的方程为，即，
联立方程消去整理得，
易知，，，
，
即线段的长为．
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