陕西省榆林市2024-2025学年高二上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

陕西省榆林市 2024-2025 学年高二上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点 (0,2)， (√ 3, 1)，则直线 的倾斜角为( )
2 5
A. B. C. D.
6 3 3 6
2.若直线4 + 2 = 0是圆 2 + 2 + 2 + 2 4 = 0的一条对称轴，则该圆圆心坐标为( )
A. (0,1) B. (0, 1) C. (0,2) D. (0, 2)
3.“直线 + 1 = 0与直线(3 4) 1 = 0平行”是“ = 1”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2 2 2 2
4.已知椭圆 ： + = 1与双曲线 ：
9 8 2 2
= 1( > 0, > 0)的离心率互为倒数，则双曲线 的渐近线方

程为( )
1 2√ 2 3√ 2
A. = ±2√ 2 B. = ± C. = ± D. = ±
4 3 8
5.过抛物线 ： 2 = 4 焦点 的直线交 于 、 两点，过点 作该抛物线准线的垂线，垂足为 ，若△
是正三角形，则| | =( )
20 16 8
A. B. C. D. 2
3 3 3
2
6.已知椭圆 ： + 2 = 1的左、右焦点分别为 1、 2，点 在 上，则| 1|| 4 2
|的最大值为( )
A. 2 B. 2√ 2 C. 4 D. 8
7.已知两直线 = + 2 与 = 2 + +1的交点在圆 2 + 2 = 4的内部，则实数 的取值范围是( )
1 1 1
A. < < 1 B. < < 1 C. < < 1 D. 2 < < 2
5 5 3
2 2
8.若椭圆 2 + 2 = 1( > > 0)的一个焦点和一个顶点在圆
2 + 2 4 2√ 3 + 3 = 0上，则该椭圆的离

心率不．可．能．为( )
1 1 √ 3 √ 3
A. B. C. D.
3 2 2 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
2 2
9.已知关于 ， 的方程 = 1表示的曲线是 ，则曲线 可能是( )
1 3
A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆
10.若圆 21： +
2 2 2 = 0与圆 ： 22 +
2 1 = 0的交点为 ， ，则( )
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A. 公共弦 所在直线方程为 + 1 = 0
B. 线段 中垂线方程为 +1 = 0
C. 过点(0,2)作圆 ： 21 +
2 2 2 = 0的切线方程为 = + 2
D. 若实数 ， 满足圆 ： 21 +
2 2 2 = 0，则 的最大值为2
11.已知双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经
过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角.已知 1、 2分
2 2
别为双曲线 ： = 1的左、右焦点，过 右支上一点 ( ,
4 5 0 0
)( 0 > 2)作双曲线 的切线交 轴于点 ，
交 轴于点 ，则( )
3
A. 双曲线 的离心率为
2
B. 直线 的方程为4 0 5 0 = 20
C. 过点 1作 1 ⊥ ，垂足为 ， 为原点，则| | = 2
D. 四边形 1 2面积的最小值为6
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.直线 1：3 + 1 = 0与直线 2：6 + 2 3 = 0间的距离是______．
13.设 是抛物线 2 = 8 上的一个动点， 为抛物线的焦点，若点 (4,4)，则| | + | |的最小值为______．
14.如图，半径为1的圆 与 轴和 轴都相切.当圆 沿 轴向右滚动，圆 滚动到与出
发位置时的圆相外切时，记此时圆心为 ；当圆 沿 轴向上滚动，圆 滚动到与出
发位置时的圆相外切时，记此时圆心为 .若直线与圆 和圆 都相切，且与圆 相离，
则直线 的方程为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知直线 过定点 (2,3)．
(1)若直线 与直线 + 2 3 = 0垂直，求直线 的方程；
(2)若直线 在两坐标轴上的截距相等，求直线 的方程．
16.(本小题15分)
已知圆 经过三点 (2,0)， (2,4)， (4,2)．
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(Ⅰ)求圆 的方程；
(Ⅱ)若过点 (1,4)的直线 与圆 相交于 ， 两点，且 = 2√ 3，求直线 的方程．
17.(本小题15分)
2 2 √ 5
已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的一个焦点到一条渐近线的距离为1，离心率为 .设直线 交双曲线 2
的右支于 、 两点，交 轴于点 ，且线段 的中点为 (4,1)， 为原点．
(Ⅰ)求双曲线 的方程；
(Ⅱ)求直线 的方程；
(Ⅲ)求△ 的面积．
18.(本小题17分)
已知抛物线 ： 2 = 4 ，过点 ( , 0)( > 0)的直线与抛物线 交于 ， 两点， 为原点，直线 交抛物线
的准线于点 ．
(Ⅰ)若 ⊥ ，求实数 的值；
(Ⅱ)是否存在正数 ，使得| || | = | || |，若存在，求出实数 的值；若不存在，说明理由．
19.(本小题17分)
2 2 3
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)过△ 的三个顶点 (1, )， ， ，当直线 垂直于 轴时，直线 过 2
椭圆 的一个焦点．
(Ⅰ)求椭圆 的方程；
(Ⅱ)若∠ 的平分线垂直于 轴，求证：直线 的斜率为定值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
√ 10
12.【答案】
20
13.【答案】6
14.【答案】 + 4 √ 2 = 0
1
15.【答案】解：(1) ∵直线 + 2 3 = 0的斜率为 ，
2
∵直线 与直线 + 2 3 = 0垂直，
∴直线 的斜率为2．
又∵直线 过点 (2,3)，
∴直线 的方程为 3 = 2( 2)，即2 +1 = 0，

(2)当直线 不过原点时，设直线 的方程为 + = 1，即 + = ，

∵直线 过点 (2,3)，∴ = 2 + 3 = 5，∴直线 的方程为 + 5 = 0，
直线 过原点时，设直线 的方程为 = ，
3 0 3 3
∵直线 过点 (2,3)，∴ = = ，∴直线 的方程为 = ，即3 2 = 0，
2 0 2 2
综上，直线 的方程为 + 5 = 0或3 2 = 0．
16.【答案】解：圆 经过三点 (2,0)， (2,4)， (4,2)．
(Ⅰ)设圆 的方程为 2 + 2 + + + = 0，
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4+ 2 + = 0 = 4
可得{4+ 16 +2 + 4 + = 0，解得{ = 4，
16+ 4 +4 + 2 + = 0 = 4
故圆 的方程为 2 + 2 4 4 + 4 = 0；
(Ⅱ) 2 + 2 4 4 +4 = 0 ( 2)2 + ( 2)2 = 4，
故圆 的圆心为 (2,2)，半径为2，
当直线 的斜率存在时，设 ： 4 = ( 1)，
|2 4 | | +2|
圆心 (2,2)到 ： 4 = ( 1)的距离 = = ，
√ 2 2 1+ √ 1+
| +2| 3
由 = 2√ 22 2 = 2√ 3得 = 1，故 = 1，解得 = ，
√ 2 4 1+
3
故直线 的方程为 ： 4 = ( 1)，即3 + 4 19 = 0，
4
当直线 的斜率不存在时， ： = 1，此时圆心 (2,2)到 ： = 1的距离 = 1，
= 2√ 22 2 = 2√ 3，满足要求．
故直线 的方程为3 + 4 19 = 0或 = 1．

17.【答案】解：(Ⅰ)不妨设双曲线的一个焦点为( , 0)，双曲线的一条渐近线为 = ，即 + = 0，

| |
∵焦点到渐近线的距离为1，∴ = 1 2 2√ 2 ，又 = +
2，解得 = 1，
+ 2
2
√ 5 2
∴ = = √ 1+ = ，可得 = 4，
2 2
2
则双曲线 的方程为 2 = 1；
4
(Ⅱ)设 ( 1 , 1)， ( 2, 2)，
∵线段 的中点为 (4,1)，∴ 1 + 2 = 8， 1 + 2 = 2，
2 2
又 1

2 2 2
4 1
= 1， 2 = 1， 4
( 1+ 2)( 1 2)
∴ ( 1 + 2)( 1 2) = 0， 4
1 2 1+ 8
得
2
= = = = 1 1 2 4( 1+ 2) 8
，
又直线 过点 (4,1)，∴直线 的方程为 1 = 4，即 3 = 0，
经验证直线 3 = 0与双曲线有两个交点，满足题意，
故直线 的方程为 3 = 0；
2
( )
2 = 1
Ⅲ 联立{ 4 ，得3 2 24 + 40 = 0，
3 = 0
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40
由根与系数的关系可得 1 + 2 = 8, 1 2 = ， 3
160 8√ 3
∴ | | = √ (1 + 2)[( + )21 2 4 1 2] = √ 2× (64 ) = ， 3 3
|0 0 3| 3√ 2
又点 到直线 的距离 = = ，
√ 2 2
1 1 8√ 3 3√ 2
∴△ 的面积 = | | = = 2√ 6．
2 2 3 2
18.【答案】解：(Ⅰ)由过点 ( ,0)( > 0)的直线与抛物线 交于 ， 两点，
可知直线 斜率不为0，
设直线 的方程为： = + ，与抛物线的方程 2 = 4 联立，
可得 2 4 4 = 0，
设 ( 1, 1)， ( 2 , 2)，
由韦达定理可得 1 2 = 4 ，
2
2 21 ( ) 1 2 =
2 = 1 2 = 2，且 = 16 2 + 16 > 0恒成立，
4 4 16
因为 ⊥ ，所以 = ( 1 , 1) ( 2 , 2) = 0，
所以 1 2 + 1 2 = 0，
所以 2 4 = 0( > 0)，解得 = 4．
(Ⅱ)连接 ， ，因为| || | = | || |，
1 1
所以 | || |sin∠ = | || |sin∠ ，
2 2
1 1
所以 △ = △ ，所以 | || 1 | = | || 1 2|， 2 2
所以| 1 | = | 1 2|，
1
又直线 的方程为 = ，准线方程为 ： = 1， 1

所以 ( 1,
1)
，且
2
1 = 4 1 1
, 1 2 = 4 ，
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4 4
所以| 1 +
1 | = | 1 2| | 1 + | = | 1 + | 1 ， 1 1
可得 21 + 4 =
2
1 +4 ( > 0)，
所以 = 1，
综上所述，存在 = 1满足条件．
19.【答案】(Ⅰ)解：由题意，可得 = 1，
2 2 = 1
则有{ 1 9+ = 1，解得
2 = 4， 2 = 3，
2 24
2 2
所以椭圆 的方程为 + = 1；
4 3
(Ⅱ)证明：设直线 的斜率为 ，
由题意知，直线 的斜率为 ，
设 ( 1, 1)， ( 2 , 2)，
3 3
直线 的方程为 = ( 1)，即 = + ，
2 2
3
= +
联立方程组{ 2
2 2
，消去 ，

+ = 1
4 3
得(4 2 + 3) 2 + 4 (3 2 ) + 4 2 12 3 = 0，
因为 ， 为直线 与椭圆的交点，
2 2
4 12 3 4 +12 3
所以 1 = 2 ，把 换成 得： 2 = 2 ，
4 +3 4 +3
24 12
所以 2 1 = 2 ， 2 1 = [ ( 1 + 2)+ 2] = 2 ，
4 +3 4 +3
12
2 12 1
所以直线 的斜率 2 1 4 +3 = = 24 = = ， 2 1 24 22
4 +3
故直线 的斜率为定值．
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