人教版2024-2025学年度上学期九年级期末测试卷（测试范围上、下册）（含详解）

(人教版)2024-2025学年度上学期九年级期末测试卷
测试范围：人教版九年级上册、下册
满分：120分 时间：120分钟
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）2024年巴黎奥运会项目图标设计，不仅注重刻画运动员运动状态，更注重项目本身的展示．下列项目图标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）如图，在的正方形网格中，画个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（本题3分）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．且 B． C．且 D．
4．（本题3分）如图，线段是的直径，弦于．如果，，那么的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
5．（本题3分）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为（ ）
A． B．3 C． D．
6．（本题3分）如图是的直径，点在上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞镖落在原盘内各点的机会相等．则飞镖落在阴影区域（阴影部分为正方形）的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（本题3分）如图，直线，直线分别交，，于点，，，直线分别交，，于点，，，直线与相交于点，若，，则（ ）
A．1 B． C． D．
9．（本题3分）如图，在中，，，是边上的一点，连接，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连接，，且交于点，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（本题3分）如图，二次函数的图像与轴正半轴相交于、两点，与轴相交于点，对称轴为直线，且．则下列结论；①：②；③；④关于的方程有一个根为；⑤抛物线上有两点和，若，且，则，其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
评卷人得分
二、填空题（共24分）
11．（本题3分）若点与点关于原点对称，则 ．
12．（本题3分）若一个几何体由若干大小相同的小立方体搭成，如图分别是它的左视图与俯视图，该几何体所用小立方体的个数是，则的最大值是 ．
13．（本题3分）如图，在矩形中，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么 ．
14．（本题3分）如图，的内切圆分别与三边相切于点D，点E和点F，若，，则的面积为 ．
15．（本题3分）在数学实践活动中，某同学用一个扇形制作了一个圆锥形的纸帽，若扇形的圆心角为，半径为6，则圆锥的高为 ．
16．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在轴上，顶点在第二象限，边的中点横坐标为，反比例函数的图象经过点．若，则的值为 ．
17．（本题3分）如图，在矩形中，，，点沿边从点开始向点以的速度移动，点沿边从点开始向点以的速度移动，如果、同时出发，当以点、、为顶点的三角形与相似时，所需时间为 ．
18．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点、分别落在点、处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，依次进行下去……，若点，．则点的坐标是 ．
评卷人得分
三、解答题（共66分）
19．（本题6分）计算：；
20．（本题8分）解方程：
(1)； (2)．
21．（本题7分）如图，点的坐标为，点的坐标为，作如下操作：
①以点为旋转中心，将顺时针方向旋转，得到；
②以点为位似中心，将放大，得到，使与对应边的比为，且点在第三象限．
(1)在图中画出和；
(2)请直接写出点的坐标：________；
(3)请直接写出点旋转到点所经过的路线长________．
22．（本题7分）千年壮刀文化，绝唱古今中外．广西非遗传承人黄冬鹏用自己的双手和匠心将“壮文化”与手工锻刀技艺结合，将传统美学与现代审美相融合，历时13载潜心钻研工艺，捍卫了即将失传的壮刀文化，并发扬光大．在制作锻刀的过程中，要进行材料煅烧和锻造的两个工序，即需要将材煅烧到700℃，然后停止煅烧．如图，加热时，温度与时间成一次函数关系；停止加热后，温度与时间成反比例函数关系．已知该材料的初始温度是．
(1)求材料煅烧时和停止煅烧后y与x的函数关系式；
(2)根据工艺要求，当材料温度冷却低于时，可以进行锻造，那么材料需要冷却的时间有多长？
23．（本题8分）如图，在中，D为边的中点，点E在边上，连结，并延长至点F，连结，使，且．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
24．（本题8分）中山公园原址为一个叫刘家屯的小山头，1898年沙俄强占旅大期间，将这里改为绿地．日占时期改为圣德公园，多次作为我地下党的接头地点，传递了许多抗日情报．大连解放后的1945年11月，市政府为纪念孙中山先生，改名中山公园，历经多年修建了5个小亭，其中敬闲亭位于山头最高处．某中学超越小组的同学们，带着测量工具来到此地，为测量敬闲亭设计了如下方案，请根据以下材料，完成项目任务．
项目 测量敬闲亭的高度及底面圆的半径
测量工具 测角仪、皮尺等
测量 说明：点H为亭底面圆圆心，在A、C处分别测得亭顶端的仰角为、，，测角仪高度，测角仪所在位置与亭底部边缘距离．点B、D、M、H在同一条直线上．
参考数据 ，，，，，最后结果保留．
任务1 求敬闲亭的高度的长．
任务2 求敬闲亭底面圆的半径的长．
25．（本题10分）如图，在中，，点F在上，以为直径的与边相切于点D，与边相交于点E，且，连接并延长交于点G，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若的长为，求图中阴影部分的面积．
26．（本题12分）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为．
(1)求抛物线的解析式和直线的解析式；
(2)当点在线段上运动时，求线段的最大值；
(3)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，求的值；
(4)当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A A B C C C C D
1．B
【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
2．D
【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握三角形相似的判定并根据网格结构判断出三角形的三边的比例是解题的关键．
根据相似三角形的判定定理逐一判断即可．
【详解】解：第1个网格中两个三角形对应边的比例，所以这两个三角形相似；
第2个网格中两个三角形对应边的比例，所以这两个三角形相似；
第3个网格中两个三角形对应边的比例满足，所以这两个三角形相似；
第4个网格中两个三角形对应边的比例满足，所以这两个三角形相似；
综上所述，
故选：D．正确的画法有4个．
3．A
【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根得到，结合二次项的系数不为0，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：且，
解得：且；
故选A．
4．A
【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，由垂径定理得，在中，勾股定理求得，即可求解．
【详解】解：设的半径为，
∵弦于，，
∴，
∵，
∴，
在中，
∴
解得：
∴，，
故选：A．
5．B
【分析】得到圆的内接正十二边形的圆心角为，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了正多边形与圆，含度角的直角三角形的性质，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理．
【详解】如图，过作于，
圆的内接正十二边形的圆心角为，
，
，
，
这个圆的内接正十二边形的面积为，
故选：B．
6．C
【分析】本题考查了圆周角定理，连接，根据圆周角定理及其推论，可分别求出，，即可求的度数．
【详解】解：连接，
∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：C．
7．C
【分析】本题考查几何概率，正多边形与圆，求出阴影部分正方形的面积是关键．设，则圆的直径为，求出阴影部分正方形的面积，再结合概率公式求解，即可解题．
【详解】解：记阴影部分正方形为，
连接，交于点，
，，
设，则圆的直径为，
，，
正方形的面积为，
正方形的面积为，
飞镖落在阴影区域（阴影部分为正方形）的概率为，
故选：C．
8．C
【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容、找准对应线段列出比例式是解题的关键．由，，不妨设，，，再根据平行线分线段成比例定理可得，即可得解．
【详解】解：由，，不妨设，，，
故选：C．
9．C
【分析】根据等腰三角形得出，根据旋转可得，证明，得出，证明，根据相似三角形的性质得出，求出，再根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
根据旋转可得，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】该题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键是证明三角形相似．
10．D
【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．根据抛物线的图象与系数的关系即可求出答案．
【详解】解：由抛物线的开口可知：，由抛物线与轴的交点可知：
由抛物线的对称轴可知：
，故①正确
令，
，故②正确
，故③正确
对称轴为直线
．
当时，
设关于的方程有一个根为
，故④正确
，且
、两点分布在对称轴的两侧
即到对称轴的距离小于到对称轴的距离
，故⑤正确
故选：D．
11．1
【分析】本题考查了关于原点对称的点坐标的特征，有理数的乘方．熟练掌握关于原点对称的点坐标的横纵坐标均互为相反数是解题的关键．由题意知，，然后代入求解即可．
【详解】点与点关于原点对称，
，，
．
故答案为：1．
12．
【分析】本题考查由三视图判断几何体，利用俯视图，写出的值最大时小正方形的个数，可得结论．解题的关键是理解三视图的定义，
【详解】解：如图，的最大值为：．
∴m的最大值是．
故答案为：．
13．
【分析】先根据矩形的性质得，再根据折叠的性质得，，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，解方程即可得到x，进一步得到的长，再根据正切函数的定义即可求解．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，
∵矩形沿直线折叠，顶点D恰好落在边上的F处，
∴，
∴在中，，
∴，
设，则，
∵在中，，
∴，
解得，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理，正切的定义．
14．20
【分析】本题考查了切线长定理和勾股定理，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握切线长定理的相关内容，找到线段之间的关系．直接利用切线长定理得出，，，设，再结合勾股定理得出的长，进而得出答案．
【详解】解：的内切圆分别与斜边、直角边、切于点D、E、F，，，
，，，
设，
则，
整理得，，
解得：，（不合题意舍去），
则， ，
，
故的面积为20，
故答案为20．
15．
【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，也考查了弧长公式和勾股定理．
先利用弧长公式得到圆心角为，半径为6的扇形的弧长为，根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，则可计算出圆锥的底面圆的半径为2，然后根据勾股定理可计算出圆锥的高．
【详解】解：圆心角为，半径为的扇形的弧长，
圆锥的底面圆的周长为，
圆锥的底面圆的半径为2，
圆锥的高为．
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，作轴，轴，垂足分别为，根据反比例函数值的几何意义，得，求出的值即可，熟练掌握反比例函数值的几何意义是解题的关键．
【详解】解：如图，作轴，轴，垂足分别为，
∵边的中点横坐标为，
∴，则，
由，
根据反比例函数值的几何意义，得，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：．
17．或
【分析】本题考查了相似三角形的性质．分时， 时两种情况计算即可求解．
【详解】解；根据题意，，
在矩形中，，则
①当时，，有：，解得，
即当时，；
②当时，，有：，解得，
即当时，；
所以，当或时，以点Q、A、P为顶点的三角形与相似．
故答案为：或．
18．
【分析】本题主要考查了坐标与图形的变化 旋转、勾股定理等知识，先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、、…，即可得每偶数之间的B相差6个单位长度，根据这个规律可以求得的坐标，解题的关键是从特殊到一般探究规律，发现规律，利用规律解决问题．
【详解】由图象可知点在第一象限，
∵，，，
∴，
∴，，，…，
∵，
∴，
∴，
故答案为．
19．（1）；（2）
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，二次根式，绝对值，实数的混合运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键。
解：原式，
，
；
20．(1)，；
(2)，．
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的一般方法并灵活运用是解题的关键．
（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）将方程整理为一般形式，找出、、的值，计算出根的判别式，再代入求根公式即可求解．
【详解】（1）解：，
∴，
∴或，
解得：，；
（2）解：，
此时，，，
∵，
∴，
∴，．
21．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查作位似图形与旋转图形，求弧长；
（1）根据旋转变换的条件以及位似变换的条件作出图形，
（2）根据图象即可写出点坐标．
（3）根据弧长公式进行计算即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，和即为所求，
（2）解：由图象可知，
故答案为：．
（3）解：点旋转到点所经过的路线长
故答案为：．
22．(1)，
(2)6分钟
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式、以及一次函数与反比例函数的性质，
（1）当时，设一次函数解析式为，利用待定系数法求得的值；当时，设反比例函数解析式为，利用待定系数法求得的值即可；
（2）把代入得求得，即可求得冷却的时间．
【详解】（1）解：当时，设一次函数解析式为，
把代入得，
解得，
所以一次函数解析式为；
当时，设反比例函数解析式为，
把代入得，
所以反比例函数解析式为；
（2）解：把代入得，，
解得，
故冷却的时间为．
答：材料需要冷却到400℃的时间要6分钟．
23．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相关结论即可．
（1）证即可求解；
（2）证得即可求解；
【详解】（1）证明：∵，
∴.
∵,
∴
∴.
（2）解：∵，
∴.
∵.
∴.
又∵ ,
∴,
∴.
∵D为边的中点，，
∴.
∵，
∴.
解得.
24．任务1：敬闲亭的高度的长约为；任务2：敬闲亭底面圆的半径的长约为．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
任务1：延长交于点F，根据题意可得：，，，然后设，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答；
任务2：设与相交于点S，根据题意可得：，，然后利用线段的和差关系，进行计算即可解答．
【详解】解：任务1：延长交于点F，
由题意得：，，，
设，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴敬闲亭的高度的长约为；
任务2：如图：设与相交于点S，
由题意得：，，
∴，
∴敬闲亭底面圆的半径的长约为．
25．(1)见解析；
(2)阴影部分的面积为．
【分析】（1）连接OD，由推出是等边三角形，再利用全等三角形判定定理证明，得到，再根据切线的判定定理即可证明；
（2）由的长计算出半径，再根据含的直角三角形的性质求出的边长，利用阴影部分面积的面积扇形的面积，计算即可得到答案．
【详解】（1）证明：如图，连接OD，
与相切于点D，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
是等边三角形，
，
，
，
，
，，
，
，
，
是的切线．
（2）的长为，，
，
，
，
，
，
，，
阴影部分的面积为．
26．(1)，
(2)
(3)
(4)的值为或
【分析】（1）由、两点的坐标利用待定系数法可求得抛物线解析式，则可求得点坐标，再利用待定系数法可求得直线的解析式；
（2）用可分别表示出、的坐标，则可表示出的长，再利用二次函数的最值可求得的最大值；
（3）由题意可得当是以为腰的等腰直角三角形时则有，且，则可求表示出点纵坐标，代入抛物线解析式可求得的值；
（4）由条件可得出，结合（）可得到关于的方程，可求得的值．
【详解】（1）解：∵抛物线过、两点，
∴代入抛物线解析式可得，
解得，
∴抛物线解析式为，
令可得，，解，
∵点在点右侧，
∴点坐标为，
设直线解析式为，
把、坐标代入可得，解得，
∴直线解析式为；
（2）解：∵轴，点的横坐标为，
∴，，
∵在线段上运动，
∴点在点上方，
∴，
∴当时，有最大值，的最大值为；
（3）解：由（1）（2）得点坐标为，点坐标为，
∴
∵
∴
∵轴，轴，
∴
∴
∴当是以为腰的等腰直角三角形时，，
∴点纵坐标为，
∴，解得或，
当时，则、重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去，
∴；
（4）解：由（）得，，
当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，则有，
当点在线段上时，由（）得，
∴，此方程无实数根，
当点不在线段上时，则有，
∴，解得或，
综上可知当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为或．
答案第1页，共2页
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