【浙教版】2024-2025学年第一学期八年级数学期末模拟试卷（2）（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2024-2025学年第一学期八年级数学期末模拟试卷（2）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．点M在第四象限，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则M点坐标是（　　）
A．（4，﹣3） B．（4，3） C．（3，﹣4） D．（﹣3，4）
2．下列选项中，能说明命题“若a≤2，则a2≤4”是假命题的反例是（　　）
A．a＝2 B．a＝1 C．a＝0 D．a＝﹣3
3．若关于x的不等式（m﹣1）x＜m﹣1的解集为x＞1，则m的取值范围是（　　）
A．m＞1 B．m＜1 C．m≠1 D．m＝1
4．一次函数y＝kx﹣5和y＝2x+b（k、b为常数）的图象关于y轴对称，则k，b的值分别为（　　）
A．k＝2，b＝5 B．k＝﹣2，b＝5 C．k＝2，b＝﹣5 D．k＝﹣2，b＝﹣5
5．如图，在方格纸上，A，B是格点，网格中存在格点C使得△ABC是以∠ABC为顶角的等腰三角形，这样的格点C的个数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．函数y1＝ax+b与y2＝bx+a（a≠0，b≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能为（　　）
A． B． C． D．
7．在△ABC中，AB＝AC＝BD，下列关系中成立的是（　　）
A．∠1＝2∠2 B．2∠1+∠2＝180° C．∠1+3∠2＝180° D．3∠1﹣∠2＝180°
8．正比例函数的图象经过A（a，2）、B（3，a）两点，过点A的一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象y随x的增大而减小，则a等于（　　）
A．﹣6 B． C． D．
9．运行某个程序如图所示．若规定从“输入一个值x”到“结果是否≥150”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，那么x的取值范围是（　　）
A．10≤x＜38 B．10＜x≤38 C．x＜38 D．x≥38
10．如图，△ABC中∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝4，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（　　）
A．2 B．3 C．3.5 D．4
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．将点A（3，1）向下平移1个单位长度，得到点B，则点B的坐标是 　 　．
12．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，斜边AB上的中线长为 　 　．
13．一辆客车从甲地驶往乙地，同时一辆私家车从乙地驶往甲地．两车之间的距离s（千米）与行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示，已知私家车的速度是90千米/时，客车的速度是60千米/时，那么点A的坐标是 　 　．
14．如图所示，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，且PM＝PN，若MN＝4，则OM的长为 　 　．
15．平面直角坐标系中有一动点P（m﹣2，2m﹣3）．
①动点P在直线y＝x﹣2上，m＝　 　；
②不论m为何值，动点P始终在一条直线上，则该直线解析式为：　 　．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积为20，AB的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则BM+DM的最小值为 　 　．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．如图，点E，C在BF上，BE＝CF，AB＝DE，∠B＝∠DEF，求证△ABC≌△DEF．
18．如图，直线l1：y＝2x+1与直线l2：y＝mx+4相交于点P（1，b）．
（1）求b，m的值．
（2）结合图象直接写出关于x，y的方程组的解．
19．如图，在△EBD中，EB＝ED，点C在BD上，CE＝CD，BE⊥CE，A是CE延长线上一点，EA＝EC．
（1）求∠EBC的度数；
（2）求证△ABC为等边三角形．
20．已知一次函数y＝kx+b（k≠0），且当x＝﹣4时，y＝9，当x＝6时y＝﹣1．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）求当﹣3＜y≤1时，自变量x的取值范围．
21．已知关于a、b的方程组中，a为负数，b为非正数．
（1）求m的取值范围；
（2）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx+x＜2m+1的解集为x＞1．
22．在△ABC中，AD是BC边上的高，E、F分别为AC、BE边上的中点，且BD＝AC．
（1）求证：DF⊥BE；
（2）若∠DAC＝52°，求∠BDF的度数．
23．小林生日时，妈妈送她一个斜挎包，如图①，包的挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成，通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．单层部分的长度x（cm）与双层部分的长度y（cm）满足一次函数关系，经测量，得到如下数据：
单层部分的长度x/cm … 60 70 80 90 100 110 …
双层部分的长度y/cm … 40 35 30 25 20 15 …
（1）请在图②的平面直角坐标系中，描出各点，并把这些点依次连接起来，画出函数图象，根据图象猜想y与x是否满足一次函数的关系？如果是，请求出y关于x的函数表达式，并验证你的猜想；
（2）当挎带的长度为110cm时，此时双层部分的长度为 　 　cm；
（3）若刚买回来的斜挎包挎带全为双层，小林的身高最合适的挎带长度为126cm，调节挎带长度的方法是 　 　．
24．已知，在△ABC中，AB＝AC．
（1）如图1，在△ADE中，若AD＝AE，且∠DAE＝∠BAC，求证：CD＝BE；
（2）如图2，在△ADE中，若∠DAE＝∠BAC＝60°，且CD垂直平分AE，垂足为H，AD＝6，CD＝8，求BD的长度？
（3）如图3，∠BAC＝90°，∠ADB＝45°，，BD＝4，则BC的长度？
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．点M在第四象限，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则M点坐标是（　　）
A．（4，﹣3） B．（4，3） C．（3，﹣4） D．（﹣3，4）
【点拨】根据第四象限的点的坐标特征，以及点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，求出点M的横坐标与纵坐标即可得解．
【解析】解：∵点M在第四象限，且点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，
∴点M的横坐标为4，纵坐标为﹣3，
∴点M的坐标为（4，﹣3）．
故选：A．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，到x轴的距离等于纵坐标的绝对值是解题的关键．
2．下列选项中，能说明命题“若a≤2，则a2≤4”是假命题的反例是（　　）
A．a＝2 B．a＝1 C．a＝0 D．a＝﹣3
【点拨】说明一个命题错误只要举反例即可，即满足命题的条件但不满足命题的结论的例子便是举反例，由此即可作出判断．
【解析】解：选项A的反例不满足命题的条件，不符合；
选项B、C满足命题的条件，也满足命题的结论，不符合；
选项D满足命题的条件，但不满足命题的结论，故是举反例；
故选：D．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，了解举反例的含义是关键．
3．若关于x的不等式（m﹣1）x＜m﹣1的解集为x＞1，则m的取值范围是（　　）
A．m＞1 B．m＜1 C．m≠1 D．m＝1
【点拨】根据不等式的基本性质3求解即可．
【解析】解：∵关于x的不等式（m﹣1）x＜m﹣1的解集为x＞1，
∴m﹣1＜0，
则m＜1，
故选：B．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握不等式的基本性质3．
4．一次函数y＝kx﹣5和y＝2x+b（k、b为常数）的图象关于y轴对称，则k，b的值分别为（　　）
A．k＝2，b＝5 B．k＝﹣2，b＝5 C．k＝2，b＝﹣5 D．k＝﹣2，b＝﹣5
【点拨】先求出y＝kx﹣5图象与y轴交点，则此交点在函数y＝2x+b图象上，求出b＝﹣5．再求出y＝2x﹣5与x轴的交点坐标为（，0），则y＝kx﹣5的图象经过点（﹣，0），即可求出k＝﹣2．
【解析】解：∵当x＝0时，y＝kx﹣5＝﹣5，
∴y＝kx﹣5图象与y轴交于点（0，﹣5）．
∵（0，﹣5）关于y轴对称点就是本身，
∴（0，﹣5）在函数y＝2x+b图象上．
∴b＝﹣5．
∴一次函数y＝2x﹣5，它与x轴的交点坐标为（，0）．
∵y＝kx﹣5的图象与y＝2x﹣5的图象关于y轴对称，
∴y＝kx﹣5的图象经过点（﹣，0），则0＝﹣k﹣5，
∴k＝﹣2．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，掌握关于y轴对称的点的坐标特征是解题的关键．
5．如图，在方格纸上，A，B是格点，网格中存在格点C使得△ABC是以∠ABC为顶角的等腰三角形，这样的格点C的个数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【点拨】由等腰三角形的定义和图形，即可得到答案．
【解析】解：如图，这样的格点C的个数为5个．
故选：B．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定，关键是掌握有两边相等的三角形是等腰三角形．
6．函数y1＝ax+b与y2＝bx+a（a≠0，b≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据一次函数的性质可依次作判断．
【解析】解：A、由y1＝ax+b知：a＞0，b＜0，所以y2＝bx+a过二、四象限，交y轴正半轴，符合y2＝bx+a的图象，故此选项正确；
B、由y1＝ax+b知：a＞0，b＞0，所以y2＝bx+a过一、三象限，交y轴正半轴，不符合y2＝bx+a的图象，故此选项错误；
C、由y1＝ax+b知：a＞0，b＜0，所以y2＝bx+a过二、四象限，交y轴正半轴，不符合y2＝bx+a的图象，故此选项错误；
D、由y1＝ax+b知：a＞0，b＞0，所以y2＝bx+a过一、三象限，交y轴正半轴，不符合y2＝bx+a的图象，故此选项错误；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一次函数的图象性质，关键要掌握它的性质才能灵活解题．
7．在△ABC中，AB＝AC＝BD，下列关系中成立的是（　　）
A．∠1＝2∠2 B．2∠1+∠2＝180° C．∠1+3∠2＝180° D．3∠1﹣∠2＝180°
【点拨】由已知AB＝AC＝BD，结合图形，根据等腰三角形的性质、内角与外角的关系及三角形内角和定理解答．
【解析】解：∵AB＝AC＝BD，
∴∠1＝∠BAD，∠C＝∠B，
∵∠1是△ADC的外角，
∴∠1＝∠2+∠C，
∵∠B＝180°﹣2∠1，
∴∠1＝∠2+180°﹣2∠1
即3∠1﹣∠2＝180°．
故选：D．
【点睛】主要考查了等腰三角形的性质及三角形的外角、内角和等知识；
（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；
（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．
8．正比例函数的图象经过A（a，2）、B（3，a）两点，过点A的一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象y随x的增大而减小，则a等于（　　）
A．﹣6 B． C． D．
【点拨】设正比例函数的解析式为y＝kx（k≠0），由点A，B的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出a，k的值，由过点A的一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象y随x的增大而减小，利用一次函数的性质，可得出a＜0，进而可得出a＝﹣．
【解析】解：设正比例函数的解析式为y＝kx（k≠0），
∵正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过A（a，2）、B（3，a）两点，
∴，
解得：或，
又∵过点A的一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象y随x的增大而减小，
∴a＜0，
∴a＝﹣．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，利用一次函数图象上点的坐标特征，找出关于a的方程组是解题的关键．
9．运行某个程序如图所示．若规定从“输入一个值x”到“结果是否≥150”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，那么x的取值范围是（　　）
A．10≤x＜38 B．10＜x≤38 C．x＜38 D．x≥38
【点拨】根据程序操作进行了两次才停止，可列出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围．
【解析】解：根据题意得：，
解不等式①得：x＜38；
解不等式②得：x≥10，
∴不等式组的解集为10≤x＜38，
即x的取值范围是10≤x＜38．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
10．如图，△ABC中∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝4，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（　　）
A．2 B．3 C．3.5 D．4
【点拨】根据三角形斜边中线的性质求得CN＝AB＝5，CM＝，DE＝2，由当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，即可求得MN的最小值为3．
【解析】解：如图，连接CM、CN，
△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，
∵DE＝4，点M、N分别是DE、AB的中点，
∴CN＝AB＝5，CM＝DE＝2，
当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，
∴MN的最小值为：5﹣2＝3．
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，明确C、M、N在同一直线上时，MN取最小值是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．将点A（3，1）向下平移1个单位长度，得到点B，则点B的坐标是 　（3，0）　．
【点拨】利用点平移的坐标规律，A点的横坐标不变，纵坐标减1即可得到点B的坐标．
【解析】解：将点A（3，1）向下平移1个单位长度，得到点B，则点B的坐标为（3，0）．
故答案为：（3，0）．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．
12．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，斜边AB上的中线长为 　5　．
【点拨】根据勾股定理求出AB＝10，再根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到答案．
【解析】解：∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∴斜边AB上的中线长为，
故答案为：5．
【点睛】本题考查的勾股定理以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握勾股定理以及直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
13．一辆客车从甲地驶往乙地，同时一辆私家车从乙地驶往甲地．两车之间的距离s（千米）与行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示，已知私家车的速度是90千米/时，客车的速度是60千米/时，那么点A的坐标是 　（4，0）　．
【点拨】根据路程、速度、时间的关系计算即可．
【解析】解：A点的纵坐标为0，说明此时客车和私家车相遇，
∴两车相遇的时间为＝4（小时），
∴点A的坐标是（4，0）．
故答案为：（4，0）．
【点睛】本题考查一次函数的应用，关键是从图形中读取信息得出结论．
14．如图所示，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，且PM＝PN，若MN＝4，则OM的长为 　4　．
【点拨】作PH⊥MN于H，根据等腰三角形的性质求出MH，根据直角三角形的性质求出OH，计算即可．
【解析】解：作PH⊥MN于H，
∵PM＝PN，
∴MH＝NH＝MN＝2，
∵∠AOB＝60°，
∴∠OPH＝30°，
∴OH＝OP＝6，
∴OM＝OH﹣MH＝4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
15．平面直角坐标系中有一动点P（m﹣2，2m﹣3）．
①动点P在直线y＝x﹣2上，m＝　﹣1　；
②不论m为何值，动点P始终在一条直线上，则该直线解析式为：　y＝2x+1　．
【点拨】①把点P（m﹣2，2m﹣3）代入直线y＝x﹣2上解方程即可得到结论；
②设该直线解析式为y＝kx+b，根据题意列方程和方程组即可得到结论．
【解析】解：①∵点P（m﹣2，2m﹣3）在直线y＝x﹣2上，
∴m﹣2﹣2＝2m﹣3，
解得m＝﹣1．
故答案为：﹣1；
②设该直线解析式为y＝kx+b，
∵点P（m﹣2，2m﹣3）在直线y＝kx+b上，
∴km﹣2k+b＝2m﹣3，
化简得（k﹣2）m＝2k﹣b﹣3，
.∵不论m为何值，动点P始终在一条直线上，
∴不论m为何值，动点P始终在一条直线上，等式（k﹣2）m＝2k﹣b﹣3，
∴，
解得，
∴该直线解析式为y＝2x+1．
故答案为：y＝2x+1．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，正确地求出一次函数的解析式是解题的关键．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积为20，AB的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则BM+DM的最小值为 　10　．
【点拨】连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【解析】解：如图，连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC AD＝×4×AD＝20，
解得AD＝10，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
连接AM，则BM+DM＝AM+DM≥AD，
∴当点M在线段AD上时，BM+DM的值最小，
∴AD的长10为BM+MD的最小值．
故答案为：10．
【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．如图，点E，C在BF上，BE＝CF，AB＝DE，∠B＝∠DEF，求证△ABC≌△DEF．
【点拨】根据全等三角形的判定定理SAS可以证得△ABC≌△DEF，从而可以解答本题．
【解析】证明：已知BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF，
又∵AB＝DE，∠B＝∠DEF，
∴根据全等三角形的判定定理，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，关键是全等三角形判定定理的应用．
18．如图，直线l1：y＝2x+1与直线l2：y＝mx+4相交于点P（1，b）．
（1）求b，m的值．
（2）结合图象直接写出关于x，y的方程组的解．
【点拨】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）观察图象写出直线y＝2x+1的图象与直线y＝﹣x+4的图象的交点坐标即可；
【解析】解：（1）对于直线y＝2x+1，当x＝1时，y＝3，
∴P（1，3），b＝3，
把P（1，3）代入y＝mx+4中，得到3＝m+4，
解得m＝﹣1．
（2）观察图象可知：关于x，y的方程组的解是．
【点睛】本题考查一次函数与不等式、一次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会利用图象法解决自变量的求值问题．
19．如图，在△EBD中，EB＝ED，点C在BD上，CE＝CD，BE⊥CE，A是CE延长线上一点，EA＝EC．
（1）求∠EBC的度数；
（2）求证△ABC为等边三角形．
【点拨】（1）根据等腰三角形的性质和外角的性质进行解答即可；
（2）由线段的垂直平分线可证明AB＝BC，结合∠ECB＝60°可证明△ABC是等边三角形．
【解析】解：（1）∵CE＝CD，
∴∠D＝∠DEC，
∴∠ECB＝∠D+∠DEC＝2∠D．
∵BE＝DE，
∴∠EBC＝∠D．
∴∠ECB＝2∠EBC．
又∵BE⊥CE，
∴∠ECB＝60°，∠EBC＝30°．
（2）证明：∵BE⊥CE，AE＝CE，
∴BE垂直平分AC，
∴AB＝BC．
∵∠ECB＝60°．
∴△ABC是等边三角形．
【点睛】此题考查等边三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形外角的性质．解题关键在于掌握有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
20．已知一次函数y＝kx+b（k≠0），且当x＝﹣4时，y＝9，当x＝6时y＝﹣1．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）求当﹣3＜y≤1时，自变量x的取值范围．
【点拨】（1）把两组对应值分别代入y＝kx+b得到关于k、b的方程组，然后解方程组求出k、b，从而得到一次函数解析式；
（2）分别计算出函数值为﹣3和1所对应的自变量的值，然后根据一次函数性质求解．
【解析】解：（1）根据题意得，
解得，
∴一次函数解析式为y＝﹣x+5；
（2）当y＝﹣3时，﹣x+5＝﹣3，解得x＝8；
当y＝1时，﹣x+5＝1，解得x＝4，
∴当﹣3＜y≤1时，自变量x的取值范围为4≤x＜8．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质．
21．已知关于a、b的方程组中，a为负数，b为非正数．
（1）求m的取值范围；
（2）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx+x＜2m+1的解集为x＞1．
【点拨】（1）解方程组，可求出a＝m﹣3，b＝﹣2m﹣4，结合“a为负数，b为非正数”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围；
（2）由不等式2mx+x＜2m+1的解集为x＞1，可得出2m+1＜0，解之可得出m＜﹣，结合﹣2≤m＜3，可得出﹣2≤m＜﹣，再取其中的整数值，即可得出结论．
【解析】解：（1），
（①+②）÷2得：a＝m﹣3③，
将③代入②得：﹣3+m+b＝﹣7﹣m，
解得：b＝﹣2m﹣4，
∴方程组的解为．
∵a为负数，b为非正数，
∴，
解得：﹣2≤m＜3，
∴m的取值范围为﹣2≤m＜3；
（2）∵2mx+x＜2m+1，
∴（2m+1）x＜2m+1．
∵不等式2mx+x＜2m+1的解集为x＞1，
∴2m+1＜0，
∴m＜﹣，
∵﹣2≤m＜3，
∴﹣2≤m＜﹣，
∴m＝﹣1或m＝﹣2，
∴当m为﹣2或﹣1时，不等式2mx+x＜2m+1的解集为x＞1．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式以及解二元一次方程组，解题的关键是：（1）由方程组的解及a为负数，b为非正数，列出关于m的一元一次不等式组；（2）由不等式2mx+x＜2m+1的解集为x＞1及﹣2≤m＜3，确定m的取值范围．
22．在△ABC中，AD是BC边上的高，E、F分别为AC、BE边上的中点，且BD＝AC．
（1）求证：DF⊥BE；
（2）若∠DAC＝52°，求∠BDF的度数．
【点拨】（1）连接DE，根据垂直定义可得∠ADC＝90°，再利用直角三角形斜边上的中线性质可得DE＝CE＝AC，从而可得BD＝DE，然后利用等腰三角形的三线合一性质，即可解答；
（2）先利用直角三角形的两个锐角互余可得∠C＝38°，然后利用等腰三角形的性质可得∠C＝∠EDC＝38°，从而利用平角定义可得∠BDE＝142°，再利用等腰三角形的三线合一性质进行计算，即可解答．
【解析】（1）证明：连接DE，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵DE是AC的中线，
∴DE＝CE＝AC，
∵BD＝AC，
∴BD＝DE，
∵点F是BE的中点，
∴DF⊥BE；
（2）解：∵∠ADC＝90°，∠DAC＝52°，
∴∠C＝90°﹣∠DAC＝90°﹣52°＝38°，
∵DE＝EC，
∴∠C＝∠EDC＝38°，
∴∠BDE＝180°﹣∠EDC＝142°，
∵BD＝DE，点F是BE的中点，
∴∠BDF＝＝71°，
∴∠BDF的度数为71°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23．小林生日时，妈妈送她一个斜挎包，如图①，包的挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成，通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．单层部分的长度x（cm）与双层部分的长度y（cm）满足一次函数关系，经测量，得到如下数据：
单层部分的长度x/cm … 60 70 80 90 100 110 …
双层部分的长度y/cm … 40 35 30 25 20 15 …
（1）请在图②的平面直角坐标系中，描出各点，并把这些点依次连接起来，画出函数图象，根据图象猜想y与x是否满足一次函数的关系？如果是，请求出y关于x的函数表达式，并验证你的猜想；
（2）当挎带的长度为110cm时，此时双层部分的长度为 　30　cm；
（3）若刚买回来的斜挎包挎带全为双层，小林的身高最合适的挎带长度为126cm，调节挎带长度的方法是 　调节挎带长度使单层部分的长度为112cm　．
【点拨】（1）描点并连线，根据图象的特征判断函数类型并利用待定系数法求出函数表达式即可；
（2）将x＝110﹣y代入y关于x的函数表达式，解方程求出y的值即可；
（3）分别求出当x＝0时对应y的值和当y＝0时对应x的值，从而求出挎带长度的取值范围，根据126cm是否在这个范围来判断挎带长度是否满足小林的身高要求；设调节挎带长度使单层部分的长度为a cm，则双层部分的长度为（126﹣a）cm，将它们分别代入y关于x的函数表达式并求出a的值即可．
【解析】（1）解：描点及函数图象如图所示：
∵图象是一条直线，
∴y是x的一次函数．
设y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）．
将坐标（60，40）和（70，35）分别代入y＝kx+b可得：
，
∴，
∴；
（2）当挎带的长度为110cm时，单层部分的长度为x＝（110﹣y）cm．
将x＝110﹣y代入，得，
解得y＝30．
此时双层部分的长度为30cm．
故答案为：30；
（3）当斜挎包挎带全为双层时x＝0，则y＝70，此时挎带长度为0+70＝70（cm）；
当斜挎包挎带全为单层时y＝0，得，解得y＝140，此时挎带长度为0+140＝140（cm）；
∴挎带长度在70cm～140cm之间，
根据题意可得：挎带长度满足小林的身高要求．
设调节挎带长度使单层部分的长度为a cm，则双层部分的长度为（126﹣a）cm，
，
解得a＝112，
故答案为：调节挎带长度使单层部分的长度为112cm．
【点睛】本题考查一次函数的应用，理解题意并利用待定系数法求出函数关系式是解题的关键．
24．已知，在△ABC中，AB＝AC．
（1）如图1，在△ADE中，若AD＝AE，且∠DAE＝∠BAC，求证：CD＝BE；
（2）如图2，在△ADE中，若∠DAE＝∠BAC＝60°，且CD垂直平分AE，垂足为H，AD＝6，CD＝8，求BD的长度？
（3）如图3，∠BAC＝90°，∠ADB＝45°，，BD＝4，则BC的长度？
【点拨】（1）由∠DAE＝∠BAC，得出∠BAE＝∠CAD，由SAS证得△BAE≌△CAD，即可得出结论；
（2）连接BE，先证△ADE是等边三角形，再由CD垂直平分AE，得出∠CDA＝∠ADE＝30°，由△BAE≌△CAD，得出BE＝CD＝8，∠BEA＝∠CDA＝30°，得出BE⊥DE，DE＝AD＝6，由勾股定理即可得出结果；
（3）将线段AD绕D逆时针旋转90°，A的对应点为E，连接AE交BD于F，则DE＝AD＝，根据勾股定理得到AE＝＝2，求得AF＝EF＝AE＝1，AE⊥BD，得到DF＝＝1，根据勾股定理即可得到结论．
【解析】（1）证明：∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAD，
在△BAE和△CAD中，
，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴CD＝BE；
（2）解：连接BE，如图2所示：
∵CD垂直平分AE，
∴DA＝DE，
∵∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∵CD垂直平分AE，
∴∠CDA＝∠ADE＝×60°＝30°，
∵△BAE≌△CAD，
∴BE＝CD＝8，∠BEA＝∠CDA＝30°，
∴BE⊥DE，
DE＝AD＝6，
∴BD＝＝＝10；
（3）解：将线段AD绕D逆时针旋转90°，A的对应点为E，连接AE交BD于F，
则DE＝AD＝，
∴AE＝＝2，
∵∠ADB＝45°，
∴∠EDB＝45°＝∠ADB，
∴AF＝EF＝AE＝1，AE⊥BD，
∴DF＝＝1，
∴BF＝BD﹣DF＝4﹣1＝3，
在Rt△ABF中，AB＝＝，
在Rt△ABC中，AC＝AB＝，
∴BC＝＝2．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)