天津市河北区2024-2025学年高二上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

天津市河北区 2024-2025 学年高二上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.直线√ 3 + = 0的倾斜角为( )
5 2
A. B. C. D.
3 6 6 3
2.空间四边形 中， = ， = ， = ，点 在 上，
2
= ，点 为
3
的中点，则 =( )
1 2 1
A. +
2 3 2
2 1 1
B. + +
3 2 2
1 1 1
C. +
2 2 2
2 2 1
D. +
3 3 2
2 2
3.已知椭圆 2 + 2 = 1( > > 0)的短轴长为2，焦距为2√ 3，则该椭圆的离心率为( )
1 2 √ 3 √ 6
A. B. C. D.
2 3 2 3
4.过 (6,0)和 (0, 8)两点的面积最小的圆的标准方程为( )
A. ( 3)2 + ( + 4)2 = 10 B. ( + 3)2 + ( 4)2 = 100
C. ( 3)2 + ( + 4)2 = 25 D. ( + 3)2 + ( 4)2 = 25
5.已知 (4,5)与 ( 2,7)关于直线 对称，则下列说法中错误的是( )
1
A. 直线 过 ， 的中点 B. 直线 的斜率为
3
C. 直线 的斜率为3 D. 直线 的一个方向向量的坐标是(1,3)
6.已知过原点的直线 与圆 ：( 2)2 + 2 = 1相交，则直线 的斜率的取值范围为( )
√ 3 √ 3 √ 3 √ 3
A. ( √ 3, √ 3) B. [ , ] C. ( , ) D. ( √ 2,√ 2)
3 3 3 3
7.已知{ , , }是空间的一个基底，{ + , , }是空间的另一个基底，一向量 在基底{ , , }下的坐标
为(4,2,3)，则向量 在基底{ + , , }下的坐标是( )
A. (4,0,3) B. (3,1,3) C. (1,2,3) D. (2,1,3)
8.从直线 + 2 = 0上的点向圆 2 + 2 4 4 + 7 = 0引切线，则切线长的最小值为( )
√ 2 √ 2 √ 2
A. B. 1 C. D. 1
2 4 2
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9.平行六面体 1 1 1 1中， = 4， = 3， 1 = 5，
∠ = 90°，∠ 1 = ∠ 1 = 60°，则 1的长为( )
A. 10
B. √ 61
C. √ 70
D. √ 85
2 2
10.已知 是椭圆 + = 1上一动点， 是圆( + 2)2 + 2 = 1上一动点，点 (5,4)，则| | | |的最大
16 12
值为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
11.已知点 是点 (3,4,5)在坐标平面 内的射影，则| | =______．
12.已知点 (3,3 + 3)与点 ( , 3)之间的距离为5，则实数 的值为______．
13.如图，在长方体 1 1 1 1中， = = 2， 1 = 1，点 为
线段 1 1的中点，则直线 与直线 所成角的余弦值为______．
14.已知圆 1：
2 + 2 = 4和圆 2：
2 + 2 2 + 2 = 0，则两圆公共弦所在直线的方程为______；公共
弦长______．
三、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知椭圆 的焦点为 1( 2,0)， 2(2,0)，过点 2的直线与椭圆交于 ， 两点，若| 2| = 2| 2|，| | = | 1|，
则 的方程为______．
16.(本小题12分)
在△ 中， (1,1)， (4,2)， (5,5)．
(Ⅰ)求点 到直线 的距离；
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(Ⅱ)求线段 垂直平分线所在的直线方程；
(Ⅲ)求过点 且在 轴和 轴截距相等的直线的方程．
17.(本小题12分)
已知直线 2 21： + 1 = 0与圆 ： + 2 2 = 0( > 0)交于 ， 两点，且∠ = 30°．
(Ⅰ)求实数 的值；
(Ⅱ)若点 为直线 2： + + 2 = 0上的动点，求△ 的面积．
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥 中， = 2, = 1, ⊥ , ⊥ ，底面 为正方形， , 分别为 ,
的中点．
(1)求证： //平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求点 到平面 的距离．
19.(本小题12分)
2 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点分别为 1， 2，上顶点为 ，且 1 2 = 0，动直线 与
椭圆交于 ， 两点；当直线 过焦点且与 轴垂直时，| | = 2．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 过点 (1,0)，椭圆的左顶点为 ，当△ 面积为√ 10时，求直线 的斜率 ．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】5
5
12.【答案】 1或
8
√ 3
13.【答案】
3
14.【答案】 2 = 0 2√ 2
2 2
15.【答案】 + = 1
12 8
16.【答案】解：(Ⅰ)因为 (1,1)， (4,2)， (5,5)，
2 5
由题可知直线 的斜率为 = = 3， 4 5
所以直线 的方程为 5 = 3( 5)，即3 10 = 0；
|3 1 10| 4√ 10
由点到直线距离公式可得点 到 的距离 = = ，
5
√ 2 32+( 1)
4√ 10
即点 到直线 的距离为 ；
5
(Ⅱ)易知 = (4,4)，且过 的中点(3,3)，
可得该直线的点法式方程为4( 3) + 4( 3) = 0，
即 + 6 = 0；
(Ⅲ)当在 轴和 轴截距都为0时，此时直线过 (4,2)， (0,0)，
此时直线方程为 2 = 0；
当在 轴和 轴截距不为0时，因为直线在 ， 轴的截距相等，
可得直线方程为 + = ，将点 (4,2)代入可得4 + 2 = ，可得 = 6，
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此时直线方程为： + 6 = 0；
综上可知，过点 且在 轴和 轴截距相等的直线方程为 2 = 0或 + 6 = 0．
17.【答案】解：(Ⅰ)将圆 ： 2 + 2 2 2 = 0( > 0)可化为( )2 + (
1)2 = 2 + 1，
所以其圆心 ( , 1)，半径 = √ 2 + 1，
作 ⊥ 于点 ，
由垂径定理可得 为 的中点，
1 1
由∠ = 30°可得 = = ，
2 2
又 | | | |
√ 2+1
= = = ，
√ 1+1 √ 2 2
解得 = 1；
(Ⅱ)由(1)可知 √ 2 = ，
2
所以 = 2√ 3 × = √ 6，
又直线 2： + + 2 = 0与直线 1： + 1 = 0平行，
|2+1| 3√ 2
所以点 到 的距离为 = = ，
√ 1+1 2
1 1 3√ 2 3√ 3
因此 = = × √ 6 × = ，
2 2 2 2
即△ 的面积为3√ 3．
2
18.【答案】解：(1)证明：∵ ， 分别为 ， 的中点，
∴ // ，又 平面 ， 平面 ，
∴ //平面 ；
(2)由已知可得 ， ， 两两垂直，
如图以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，因为 = 1，
1
则 (1,1,0), (0,1,0), (0,0,2), ( , 0,0), (0,0,1)，
2
所以 = (1,1, 2), = (0,1, 1),
1
= ( , 0,1)，
2
1 = + = 0
设平面 的法向量为 = ( , , )，则{ 2 ，可取 = (2,1,1)，
= = 0
| · | 1
设直线 与平面 所成角为 ，则sin = |cos < , > | = = ；
| |·| | 6
(3)由(2)，得 = ( 1,0,0)，
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因为平面 的法向量 = (2,1,1)，
| | | 1×2+1×0+1×0| √ 6
所以点 到平面 的距离 = = = ．
| | √ 4+1+1 3
19.【答案】解：(1)易知椭圆 的上顶点 (0, )，左，右焦点分别为 1( , 0)， 2( , 0)，
所以 1 = ( , )， 2 = ( , )，
因为 1 2 = 0，
所以 1 2 =
2 + ( )2 = 0，
即 2 = 2，
又 2 2 = 2，
所以 = √ 2 ，①
因为当直线 过焦点且与 轴垂直时，| | = 2，
2
2
所以 = 2，②

联立①②，
解得 = 2， = √ 2，
2 2
则椭圆方程为 + = 1；
4 2
(2)不妨设直线 的方程为 = + 1，设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
2 2
联立{ + = 14 2 ，消去 并整理得( 2 + 2) 2 + 2 3 = 0，
= + 1
2 3
由韦达定理得 1 + 2 = 2 ， +2 1 2 = ， 2+2
1 1 2 3
则 △ = | | | | = × 3 × √ ( )21 2 2 4 × = √ 10， 1 2 2 +2 2+2
解得 = ±1，
故直线的斜率为±1．
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