四川省绵阳市三台县2024-2025学年高二上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

四川省绵阳市三台县 2024-2025 学年高二上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.对总数为 的一批零件抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽取的概率为0.25，则 等于( )
A. 150 B. 200 C. 120 D. 100
2.已知点 是点 (1,2,3)在坐标平面 内的射影，则| | =( )
A. √ 13 B. √ 10 C. √ 5 D. 1
2
3.如图，空间四边形 中， = ， = ， = ，点 在 上，且 = ，
3
点 为 中点，则 等于( )
1 1 1
A. +
2 2 2
2 1 1
B. + +
3 2 2
2 2 1
C. +
3 3 2
2 2 1
D. +
3 3 2
1 2
4.甲，乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为 ， ，则谜题被破解的概率为( )
2 3
1 2 5
A. B. C. D. 1
2 3 6
5. 2.5是空气质量的一个重要指标，我国 2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 2.5日均值在
35 / 3以下空气质量为一级，在35 / 3～75 / 3之间空气质量为二级，在75 / 3以上空气质量为
超标.如图是某地11月1日到10日 2.5日均值(单位： /
3)的统计数据，则下列叙述错误的是( )
2
A. 从这10天的日均 2.5监测数据中随机抽出一天的数据，空气质量为一级的概率是 5
B. 从5日到9日， 2.5日均值逐渐降低
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C. 这10天中 2.5日均值的平均数是49.3
D. 这10天的 2.5日均值的中位数是77.5
6.下列说法正确的是( )
A. 如果一组数据的中位数比平均数小很多，则这组数据是近似对称的
3 1 1
B. 若 ， ， 三点不共线，平面 外一点 ，若 = + ，则 ， ， ， 四点共面
4 8 8
2√ 5
C. 已知空间直角坐标系中的三点 (2,0,2)、 (0,0,1)、 (2,2,2)，则点 到直线 的距离为
3
D. 有2人从一座8层大楼的底层进入电梯，假设每个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则该2人
7
在不同层离开电梯的概率是
8

7.如图，平行六面体 1 1 1 1的所有棱长为2，四边形 是正方形，∠ 1 = ∠ 1 = 3，点
是 1 与 1的交点，则直线 与 所成角的余弦值为( )
5 √ 3 1
A. 1 B. C. D.
6 2 2
8.柜子里有3双不同的鞋，从中随机地取出2只，记事件 =“取出的鞋不成双”，事件 =“取出的鞋都是
一只脚的”，事件 =“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”.则有( )
A. B. 与 相互独立
C. ( + ) = ( ) D. 与 互斥
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.北京时间2024年7月27日，我国射击健将黄雨婷、盛李豪在奥运会上战胜韩国选手，摘夺了射击混合团体
10米气步枪金牌，通过赛后数据记录得到其中一名选手的得分分别为7，12，13，18，18，20，32，则( )
A. 该组数据的极差为26
B. 该组数据的众数为18
C. 该组数据的75%分位数为19
D. 若该组数据去掉一个最高分和最低分，则这组数据的方差变小
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10.如图，在四面体 中， ， ， ， 分别是 ， ， ， 的中点.则以
下四个结论正确的是( )
A. 向量 ， ， 共面
B. //平面
C. 若四面体各棱长均为4，则| | = 2
1
D. 若 是 和 的交点，则对空间任意一点 ，有 = ( + + + )
4
11.人类的四种血型与基因类型的对应为： 型的基因类型为 ， 型的基因类型为 或 ， 型的基因类型
为 或 ， 型的基因类型为 ，其中， 和 是显性基因， 是隐性基因.则下列说法正确的是( )
A. 若父亲的血型为 型，则孩子的血型可能为 型
B. 若父母的血型不相同，则父母血型的基因类型组合有26种
1
C. 若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为 型，孩子与父亲血型相同的概率为
2
1
D. 若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为 型，则孩子也是 型的概率为
4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若一组样本数据 1， 2，…， 的
2 = 2，则样本数据，2 2 + 4，…，2 + 4的方差为______．
13.在一次全运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛．羽毛球的比赛规则是3局2胜制，假设
每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，利用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率．为此，
用计算机产生1～5之间的随机数，当出现随机数1，2或3时，表示一局比赛甲获胜，其概率为0.6.由于要比
赛三局，所以每3个随机数为一组．例如，产生了20组随机数：
423 231 423 344 114 453 525 323 152 342
345 443 512 541 125 342 334 252 324 254
相当于做了20次重复试验，用频率估计甲获得冠军的概率的近似值为 ．

14.把正方形 沿对角线 折成 的二面角， 、 分别是 、 的中点， 是原正方形 的中心，
3
则∠ 的余弦值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50～350 之间，进行适当分
组后(每组为左闭右开的区间)画出频率分布直方图如图所示．
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(1)求频率分布直方图中 的值；
(2)政府为了倡议市民节约用电，计划对居民生活用电费用实施阶梯式电价制度，即确定一户居民月用电量
标准 ，用电量不超过 的部分按照平价收费，超出部分按照议价收费，若使85%居民用户的电费支出不受
影响，应确定 值为多少？
16.(本小题15分)
如图，在棱长为2的正方体 1 1 1 1中， ， 分别为棱 1， 1 1的中点．
(1)求证： 1 //平面 1 ；
(2)求直线 1 到平面 1 的距离．
17.(本小题15分)
在树人中学一次高二年级数学统一考试中，甲班有40人，平均成绩为70分，方差为30；乙班有60人，平均
数为75，方差为40．
(1)学校打算根据本次成绩按照人数比例用分层随机抽样的方法，让甲乙两班一共选5人参加数学集训，由
于集训后队员水平相当，再从参加集训的学生中随机抽取2人参加数学竞赛，求两人来自不同班级的概率；
(2)有人预测，甲、乙两个班级总体的方差在30至40之间，请计算甲、乙两个班级全体成绩的平均成绩和方
差，并判断此人说法是否正确．

参考公式：总体分为2层，分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为： ， 1，
2
1；
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， 2，
2
2，记两组数据总体的样本平均数为 ，则总体样本方差
2 = [ 2 + ( )2] + [ 2 + (
+ 1 1 + 2 2

)2]．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， ⊥底面 ， = 1， = = 2， 是 的中
点，作 ⊥ 交 于点 ．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求 的长；
(3)求平面 与平面 夹角的余弦值．
19.(本小题17分)
单项选择与多项选择题是数学标准化考试中常见题型，单项选择一般从 ， ， ， 四个选项中选出一个正
确答案，其评分标准为全部选对的得5分，选错的得0分；多项选择题一般从 ， ， ， 四个选项中选出所
有正确的答案(四个选项中有两个或三个选项是正确的)，其评分标准为全部选对的得6分，部分选对的得部
分分，有选错的得0分．
(1)考生甲有一道单项选择题不会做，他随机选择一个选项，求他猜对本题得5分的概率；
(2)考生乙有一道答案为 多项选择题不会做，他随机选择两个或三个选项，求他猜对本题得4分的概率；
1 1
(3)现有2道两个正确答案的多项选择题，根据训练经验，每道题考生丙得6分的概率为 ，得3分的概率为 ；
4 2
1 1
考生丁得6分的概率为 ，得3分的概率为 .丙、丁二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道
6 3
多项选择题丙丁两位考生总分刚好得18分的概率．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】8
13.【答案】0.65
1
14.【答案】
4
15.【答案】解：(1)根据题意可得0.0024+ 0.0036+ 0.0060+ + 0.0024+ 0.0012)× 50 = 1，
解得 = 0.0044；
(2)由题意知，要使得85%居民用户的电费支出不受影响，
即85%的居民每月的用电量不超过标准 度，也即 为求该直方图85%分位数．
因为前4个分组频率之和为0.12+ 0.18+ 0.3 + 0.22 = 0.82，
所以85%分位数在第五组，则有：
250
0.82+ × 0.12 = 0.85，
50
解得 = 262.5．
16.【答案】解：(1)证明：以 为原点， ， ， 1所在直线分别为 ， ， 轴建立如图所示空间直角坐
标系 ，
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由题意得 (2,0,0)， 1(0,0,2)， 1(2,0,2)， (0,2,1)， (1,2,2)，
所以 = ( 2,2,1)， 1 = ( 2,0,2)， = ( 1,2,2)，
设平面 1 的一个法向量为 = ( , , )，

{
⊥ { = 0 2 + 2 + = 0则 ，则 { ，
1 ⊥ 1 = 0 2 + 2 = 0
令 = 2，得 = 1， = 2，所以 = (2,1,2)，
因为 1 = 2 +2 + 0 = 0，
所以 1 ⊥ ，
又因为 1 平面 1 ，
所以 1 //平面 1 ；
(2)由(1)可知 1 //平面 1 ，故求直线 1 到平面 1 的距离可转化为点 1到平面 1 的距离，
因为 1 = (0,0, 2)，由(1)可知平面 1 的一个法向量为 = (2,1,2)，
设直线 1 到平面 1 的距离为 ，
0+0 4 4
则 = | 1 | = | | = ．
| | 3 3
17.【答案】解：(1)选取的5人中，
40 60
来自甲班的有5 × = 2人，来自乙班的有5× = 3人．
40+60 40+60
记乙班的3位学生为 ， ， ，甲班的2位学生为 ， ，
则从5人中任选2人，样本空间可记为：
{ , , , , , , , , , }，共包含10个样本，
用 表示“这2人两人来自不同班级”，
则 = { , , , , , }， 包含6个样本，
6 3
故所求概率 ( ) = = ．
10 5

(2)设甲班成绩的平均数为 ，方差为 2；乙班成绩的平均数为 ，方差为 21 2，

则 = 70， 21 = 30， = 75，
2
2 = 40，
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40 60 2 3
所以甲、乙两班全部学生的平均成绩为 + = × 70 + × 75 = 73，
40+60 40+60 5 5
两个班级全体成绩的方差为：
40 60
× [ 21 + ( 73)
2]+ × [ 22 + ( 73)
2]
40+60 40+60
2 3
= × [30+ (70 73)2]+ × [40+ (75 73)2] = 42 > 40
5 5
故此人的说法是错误的．
18.【答案】解：(1)证明：以 为原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立如图所示空间直角坐
标系 ．
由题意知： (0,0,2)， (1,2,0)， (0,1,1)，
则 = (1,2, 2)， = (0,1,1)，
∵ = 0+ 2 2 = 0，
∴ ⊥ ，
又∵ ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ．
(2)由题意知： = ( 1, 2,2)， = (1,1, 1)，
设 = (0 ≤ ≤ 1)，
则 = + = (1,1, 1) + ( 1, 2,2) = (1 , 1 2 , 2 1)，
∵ ⊥ ，
∴ = 0，
即(1 , 1 2 , 2 1) ( 1, 2,2) = 0，
展开有： 1 + 4 2+ 4 2 = 0，
5
解得： = ．
9
故
5
= ，
9
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则有|
5 5
| = | | = ；
9 3
(3)由题意知： = (1,2,0), = (0,1,1)，
设平面 的法向量 = ( , , )，
{ ⊥ 则
，有{
= 0 + 2 = 0，则{ ，
⊥ = 0 + = 0
令 = 1，则 = ( 2,1, 1)，
由(1)知 ⊥平面 ，则平面 的一个法向量为 = ( 1, 2,2)，
设平面 与平面 所成的角为 ，
2 2 2 √ 6
则 = |cos , | = |
| | |
| = | | = ，
| √ 6×3 9
∴平面 与平面 夹角的余弦值为√ 6．
9
19.【答案】解：(1)甲同学所有可能的选择答案有 ， ， ， 共4种可能结果，其中正确选项只有一个，
设事件 表示“猜对本题得5分”，
1
所以 ( ) = ；
4
(2)乙同学所有可能的选择答案有10种： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
设事件 表示“猜对本题得4分”，
则 = { , , }，有3个样本点，
3
所以 ( ) = ；
10
1 1 1 1 1 1
(3)由题意得丙得0分的概率为1 = ，丁得0分的概率为1 = ，
2 4 4 6 3 2
丙丁总分刚好得18分的情况包含：
事件 ：丙得12分有6+ 6一种情况，丁得6分有6 + 0，0+ 6，3 + 3三种情况，
1 1 1 1 1 1 1 1 5
则 ( ) = × × ( × + × + × ) = ，
4 4 6 2 2 6 3 3 288
事件 ：丙得9分有6 + 3，3+ 6两种情况，丁得9分有6 + 3，3+ 6两种情况，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
则 ( ) = ( × + × ) × ( × + × ) = ，
4 2 2 4 6 3 3 6 36
事件 ：丙得6分有6 + 0，0 + 6，3 + 3三种情况，丁得12分有6 + 6一种情况，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
则 ( ) = ( × + × + × ) × × = ，
4 4 4 4 2 2 6 6 96
5 1 1 1
所以丙丁总分刚好得18分的概率 = ( ) + ( ) + ( ) = + + = ．
288 36 96 18
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