天津市静海区第一中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷（PDF版，含答案）

天津市静海区第一中学 2024-2025 学年高二上学期 12 月月考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在数列{ }中，已知 1 = 2，

= 1 + ( ≥ 2, ∈ )，则 4等于( )
A. 4 B. 11 C. 10 D. 8
2.抛物线 = 3 2的焦点坐标是( )
3 3 1 1
A. ( , 0) B. ( , 0) C. (0, ) D. (0, )
4 4 12 12
3.以点(3, 2)为圆心，且与直线3 1 = 0相切的圆的方程是( )
A. ( 3)2 + ( + 2)2 = 1 B. ( + 3)2 + ( 2)2 = 1
C. ( + 3)2 + ( 2)2 = 10 D. ( 3)2 + ( + 2)2 = 10
2 2
4.已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点分别为 1， 2，点 是 上一点，且∠ 1 2 = ， 3
| 2 | = 3| 1|，则 的渐近线方程为( )
2√ 3 √ 3 √ 3
A. = ± B. = ± C. = ±√ 3 D. = ±
3 3 2
( ) {
2 2 , < 4
5.已知函数 = ，数列{ }满足 = ( )( ∈ )，且数列{ }是单调递增数列，
2 + ln( 3), ≥ 4
则 的取值范围是( )
25 5 32 32 25 3
A. ( , ) B. [ , 4] C. [ , 3] D. ( , )
7 2 9 9 7 2
2 2
6.设双曲线 的方程为 2 2 = 1( > 0, > 0)，过抛物线
2 = 4 的焦点和点(0, )的直线为 .若 的一条渐

近线与 平行，另一条渐近线与 垂直，则双曲线 的方程为( )
2 2 2 2
A. = 1 B. 2 = 1 C. 2 = 1 D. 2 2 = 1
4 4 4 4
7.已知过抛物线 2 = 2 ( > 0)的焦点 作直线交抛物线于 、 两点，若| | = 3| |， 的中点到 轴的
5
距离为 ，则 的值为( )
2
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
1 25
8.在1和11之间插入 个数，使得这 + 2个数成等差数列.若这 个数中第1个为 ，第 个为 ，则 + 的

最小值是( )
5 9
A. B. 2 C. 3 D.
4 4
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
9.已知 为数列{ }的前 项和，且满足 =
2
+ 2 + 2，则{ }的通项公式为______．
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10.已知圆 ： 21 +
2 = 4与圆 2：
2 + 2 8 + 6 + = 0外切，此时直线 ： + = 0被圆 2所截的
弦长______．
3 1 2
11.已知棱长为1的正方体 ，若点 在正方体内部且满足 = + + ，则点 到
4 2 3
的距离为______．
12.已知抛物线 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ，以点 为圆心的圆与直线2 + 3 = 0相切于点 ( 2, 1)，
则 = ．

13.一条倾斜角为 的直线经过抛物线 2 = 4 的焦点，且该直线与圆 2 + 2 +2 3 = 0相交于 ， 两点，
4
则| | = ______．
+ +
14.设公差 ≠ 0的等差数列{ }中，满足
2 = ，则 1 3 55 3 8 的值为______． 1+ 4+ 7
三、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知数列{ }和{ }都是等差数列，公差分别为 1， 2，数列{ }满足 = +2 ．
(1)数列{ }是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由．
(2)若{ }的公差为 2，{ }的公差为 3， 1 = 5， 1 = 8，求数列{ }的通项公式．
16.(本小题12分)
如图， 垂直于梯形 所在平面，∠ = ∠ = 90°， 为线段 上一点， = √ 2, = =
1
= 1，四边形 为矩形．
2
(1)若 是 的中点，求证： //平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
1
(3)若点 到平面 的距离为 ，求 的长．
6
17.(本小题12分)
√ 3
已知椭圆 的两个焦点分别为 1( √ 3, 0)， 2(√ 3, 0)，且椭圆 过点 (1, )． 2
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(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若与直线 平行的直线交椭圆 于 ， 两点，当 ⊥ 时，求△ 的面积．
18.(本小题12分)
求通项公式
2 4 6 8
(1)数列 , , , 求通项公式；
3 9 27 81
(2)在数列{ }中， 1 = 3，且点

( , +1)( ∈ )在直线 +1 = 0上，求数列{ }的通项公式；
(3)数列{ }( > 0)的首项为1，且前 项和 满足 1 = √ + √ 1( ≥ 2)，求数列{ }的通项公
式；
(4)数列{ }满足 1 = 2， + +1 = 4 + 2，求数列{ }的通项公式．
19.(本小题12分)
2 2
已知 ， 分别为椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)在 轴正半轴， 轴正半轴上的顶点，原点 到直线 的距
2√ 21
离为 ，且| | = √ 7．
7
(1)求椭圆 的离心率；
12√ 2
(2)直线 ： = + 与圆 2 + 2 = 2相切，并与椭圆 交于 ， 两点，若| | = ，求 的值．
7
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
5, = 1
9.【答案】 = { 2 + 1, ≥ 2
10.【答案】√ 34
5
11.【答案】
6
12.【答案】4
13.【答案】2√ 2
4
14.【答案】
5
15.【答案】解：(1)数列{ }是等差数列，理由如下：
因为数列{ }，{ }都是等差数列，公差分别为 1， 2，且 = + 2 ，
由等差数列的定义，可得 +1 = 1， +1 = 2，
所以 +1 = +1 +2 +1 ( + 2 )
= ( +1 )+ 2( +1 )
= 1 +2 2为常数，
所以数列{ }是以 1 + 2 2为公差的等差数列；
(2)因为 1 = 5， 1 = 8，
所以 1 = 1 + 2 1 = 5 +2 × 8 = 21，
由(1)可知数列{ }是等差数列，且公差为 1 +2 2，
因为{ }的公差为 2，{ }的公差为 3，
所以数列{ }的公差 = 2 + 2 × ( 3) = 8，
则 = 1 + ( 1) = 21 8( 1) = 29 8 ．
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16.【答案】解：(1)证明：设 ∩ = ，连接 ，
∵四边形 为矩形，
∴ 为 中点，
又 为 中点，
∴ // ，
又 平面 ， 平面 ，
∴ //平面 ．
(2)以 为坐标原点， , , 正方向为 ， ， 轴，可建立如图所示空间直角坐标系：
则 (1,0,0) (1,1,0), (0,2,0), (0,0,√ 2), (0,2,√ 2)，
∴ = ( 1,1,0), = (0, 2,√ 2)， = ( 1,2,√ 2)，
设平面 的法向量 = ( , , )，
= + = 0
∴ { ，
= 2 + √ 2 = 0
令 = 1，解得： = 1, = √ 2，
∴ = (1,1, √ 2)，
设直线 与平面 所成角为 ，
( 1,2,√ 2) (1,1,√ 2) 3√ 7
∴ = |cos < ， > | = | |
| = | | =
|| | √ 2 2 2 ( 1) +2 +(√ 2) √ 12+12
2 14 ，
+(√ 2)
则直线 与平面 所成角正弦值为3√ 7．
14
(3) = (1,0, √ 2)，
设 = = ( , 0, √ 2 ), ∈ [0,1]，
由平面 的法向量 = (1,1,√ 2)，
| | | | 1
点 到平面 的距离 = = = ，
| | 2 6
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1
解得 = ，
3
1 √ 3∴ | | = | | = ．
3 3
2 2
17.【答案】解：(1)设椭圆 的方程为 + = 1( > > 0)，
2 2
2 2 = 3 2由题意可得{ { = 41 3+ = 1，解得 2 ,
2 2 = 14
2
故椭圆 的方程为 + 2 = 1．
4
√ 3
(2)直线 的方程为 = ，
2
√ 3
设直线 方程为 = + ， ( 1, 1)， ( 2 , 2). 2
将直线 的方程代入椭圆 的方程并整理得 2 + √ 3 + 2 1 = 0，
由△= 3 2 4( 2 1) > 0，得 2 < 4，则 1 +
2
2 = √ 3 , 1 2 = 1，
由 ⊥ ，得 = 0，
√ 3 √ 3 7 √ 3 7则 = 1 2 + 1 2 = 1 2 + ( 1 + )( 2 + ) =
2 2
2 2 4 1
2 + ( 1 + 2 2)+ = ( 1) +4
√ 3 5 7
( √ 3 ) + 2 = 2 = 0，
2 4 4
2 7解得 = ．
5
3 √ 7
又| | = √ 1+ √ ( 1 + )
2 4 2
4 2 1
2 = √ 4 ， 2
| | | |
到直线 的距离 = = ．
3 √ 7√ 1+
4 2
1 1 √ 7 | | √ 91
所以 △ = | | = × × √ 4 2 × = ． 2 2 2 √ 7 10
2
18.【答案】解：(1)由题意可知，数列的奇数项为负，偶数项为正，分母为3的指数幂，分子为项数的2倍，
2
所以通项公式为 = ( 1)
；
3
(2)因为点 ( , +1)( ∈
)在直线 + 1 = 0上，
所以 +1 + 1 = 0，即 +1 = 1，
所以数列{ }是首项为3，公差为1的等差数列，
所以 = 3 + 1 = + 2；
(3)因为 1 = √ + √ 1( ≥ 2)，
所以(√ + √ 1)(√ √ 1) = √ +√ 1( ≥ 2)，
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又√ > 0，所以√ √ 1 = 1( ≥ 2)，
又√ 1 = 1，所以数列{√ }是首项为1，公差为1的等差数列．
所以√ = 1 + ( 1) × 1 = ，即 =
2
；
当 ≥ 2时， = 2 2 1 = ( 1) = 2 1，
当 = 1时， 1 = 1符合上式，所以 = 2 1；
(4)因为 + +1 = 4 + 2，所以 +1 + +2 = 4( + 1)+ 2，
两式相减得： +2 = 4，即数列{ }的奇数项和偶数项都是以4为公差的等差数列，
由 1 = 2和 1 + 2 = 6，得 2 = 4，
所以 2 1 = 2 + 4( 1) = 4 2 = 2(2 1)， 2 = 4 + 4( 1) = 4 = 2 × 2 ，
所以 = 2 ．
19.【答案】解：(1)由椭圆的方程可得 ( , 0)， (0, )，所以| | = √ 2 + 2，直线 的方程为： +
= 0

所以原点 到直线 的距离为： = ，
√ 2 2+
2√ 21
由题意可得 = ，①，
√ 2 2
7
+
√ 2 + 2 = √ 7②，
由①②可得 2 = 4， 2 = 3， 2 = 2 2 = 1，
1
所以离心率 = = ；
2
2 2
(2)由(1)可得椭圆的方程为： + = 1，
4 3
| |
由直线 与圆相切可得 = √ 2，即 2 = 2 + 2 2①，
√ 2 1+
= +
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，联立直线与椭圆的方程：{ 2 2 ， + = 1
4 3
整理可得：(4 + 3 2) 2 + 6 + 3 2 12 = 0，
△= 36 2 2 4(4 + 3 2)(3 2 12) > 0，即 2 < 3 2 +4，
6 3 2 12
1 + 2 = 2， 1 2 = 2 ，
4+3 4+3
2
36 2 4(3 2
2
12)(4+3 )
所以| | = √ 1 + 2√ ( 21 + 2) 4 1 2 = √ 1 + 2√ 2 2 =
(4+3 )
2 2
4√ 3√ 1+ √ 3 2+4
2 ②
4+3
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将①②联立可得5 4 3 2 2 = 0，解得： 2 = 1，符合判别式大于0．
所以 的值为±1．
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