人教A版（2019）数学选择必修第二册 5.2.1 基本初等函数的导数 课件（25页ppt）

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选择必修
第五章 一元函数的导数及其应用
5.2 导数的运算
5.2.1 基本初等函数的导数
教学目标
学习目标 数学素养
1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y=x3, 的导数． 1.数学运算素养和逻辑推理素养.
2.掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用． 2.数学运算素养.
温故知新
如果当 x→0时, 平均变化率无限接近一个确定的值, 即有极限, 则称y=f(x)在x=x0处可导, 并把这个确定的值叫做y=f(x)在x=x0处的导数(也称瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x=x ，即
f′(x0)=.
1.导数的定义
从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到, 当x=x0时, f ′(x0) 是一个唯一确定的数. 这样, 当x变化时, y= f ′(x)就是x的函数, 我们称它为y=f(x)的导函数(derived function)(简称导数), y=f(x)的导函数有时也记作y',即
f ′(x)=y'=.
温故知新
⑴求函数的增量 y=f(x+ x)-f(x);
2.导数的几何意义
函数y=f(x)在x=x0处的导数f ′(x0)就是切线P0T的斜率k0.
k0==f ′(x0).
3.如何求函数y=f(x)的导数
⑵求函数的增量与自变量的增量的比值
;
⑶求极限，得导函数f ′(x)=y'=.
新知探究
由导数的定义知，一个函数的导数是唯一确定的．我们今后遇到的求复杂函数的导数问题，是不是都要按照这三个步骤来完成呢？
这显然是比较麻烦的.
在必修第一册中，我们学过基本初等函数，并且知道，很多复杂的函数都是通过对这些函数进行加、减、乘、除等运算得到的. 由此自然想到，能否先求出基本初等函数的导数，然后研究出导数的“运算法则”，这样就可以利用导数的运算法则和基本初等函数的导数求出复杂函数的导数．本节课开始，我们就来研究这些问题.
下面，我们先来求几个常用函数的导数.
知新探究
1.函数 y＝f (x)＝c 的导数
∵=0.
∴y'==0.
x
y
O
y＝c
即 c'=0,
也就是说任意一个常数的导数是0.
若y=c(如图)表示路程关于时间的函数，则y′=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态. 所以路程保持不变，是关于时间的常值函数.
知新探究
2.函数 y＝f (x)＝x 的导数
∵=1,
若y=x (如图)表示路程关于时间的函数，则y′=1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速直线运动.可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速直线运动.
∴y'==1.
即 x'=1.
x
y
y=x
O
知新探究
3.函数 y＝f (x)＝x2 的导数
∵
y′= 2x 表示函数y＝x2的图象(如图)上点(x, y)处切线的斜率为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化. 另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看， y′= 2x表明：当x<0时，随着x的增加，|y′|越来越小， y＝x2减少得越来越慢；当x>0时，随着x的增加， |y′|越来越大， y＝x2增加得越来越快.
∴y'=.
即 (x2)'=2x.
=
=2x+ x.
若 y＝x2表示位移关于时间的函数，则y′= 2x可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x.
知新探究
4.函数 y＝f (x)＝x3 的导数
∵
y′= 3x2 表示函数y＝x3的图象(如图)上点(x, y)处切线的斜率为3x2,这说明随x的变化，切线的斜率也在变化，且恒为非负数.
∴y'=.
即 (x3)'=3x2.
=
=.
O
x
y
知新探究
5.函数 y＝f (x)＝ 的导数
∵
∴y'=.
即 ()'=.
=
知新探究
5.函数 y＝f (x)＝ 的导数
画出函数的图象.根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点(1，1)处的切线方程.
O
x
y
由函数图象及y'=可知
当x<0时，随着x的增加，函数减少得越来越快；
当x>0时，随着x的增加，函数减少得越来越慢.
∵y'=，当x=1时，切线的斜率k=-1,
∴曲线在点(1，1)处的切线方程为y-1=-(x-1),
即x+y-2=0.
知新探究
6.函数 y＝f (x)＝的导数
∵
∴y'=.
即()'=.
=
=.
O
x
y
知新探究
x'=1,
()',
()'=.
(x2)'=2x,
(x3)'=3x2,
前面几个函数都是我们学过的一类基本初等函数——幂函数，根据这些幂函数的导数结果，
你能总结出对于一般幂函数f(x)=的导函数公式吗？
.
知新探究
前面我们根据导数的定义求出了一些常用函数的导数．一般地，有下面的基本初等函数的导数公式表（如下表），这些公式可以直接使用．
原函数 导函数
1.若f (x)＝c（c为常数）,
则f '(x)＝0；
2.若f (x)＝(α∈Q，且α≠0),
则f '(x)＝；
3.若f (x)＝,
则f '(x)＝；
4.若f (x)＝,
则f '(x)＝；
5.若f (x)＝(a>0，且a≠1),
则f '(x)＝；
特别地，若f (x)＝,
则f '(x)＝；
6.若f (x)＝(a>0，且a≠1),
则f '(x)＝；
特别地，若f (x)＝,
则f '(x)＝.
知新探究
【例1】求下列函数的导数：
⑴; ⑵ ;
⑶; ⑷.
解：
⑴y'=;
⑵y'=;
⑶y'=;
⑷∵,
∴y'=.
初试身手
⑴∵， ∴ y'=0;
1.求下列函数的导数:
⑴; ⑵;
⑶; ⑷.
解：
⑵y'=;
⑶y'=;
⑷∵,
∴y'=.
知新探究
【例2】已知曲线上一点P(e,1),求曲线在点P处的切线方程.
解：
∵，
∴y'=,
∴y'|x=e=,即切线斜率为.
∴曲线在点P处的切线方程为,
即.
初试身手
由图形的直观性可知，当P到直线l：x＋y＋2＝0的距离最小时，抛物线在点P处的切线与直线l是互相平行的，那么它们的斜率是相等的，即切线的斜率为－1.
2.已知点P为抛物线y＝x2上任意一点，当P到直线l：x＋y＋2＝0的距离最小时，求点P的坐标及点P到直线l的距离.
解：
设P(x0，y0)，则
y'|x=x0＝2x0＝－1，
∴x0＝,即P(),
∴由点到直线的距离公式知点P到l的距离为.
知新探究
【例3】假设某地在20年间的年均通货膨胀率为5%，物价p(单位:元)与时间t(单位:年)之间的关系为p(t)=p0(1+5％) t , 其中p0为t=0时的物价. 假定某种商品的p0=1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01元/年)
解：
当p0=1时，p(t)=1.05t,
根据基本初等函数的导数公式表，有
p'(t)=.
∴p'(10)=≈0.08.
所以，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年
的速度上涨．
如果某种商品的p0=5 ，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少
初试身手
∵s'＝，
3.若质点P的运动方程是s＝(s的单位为m，t的单位为s)，求质点P在t＝8时的瞬时速度．
解：
∴s'|t=8＝，
∴质点P在t＝8时的瞬时速度为 m/s.
课堂小结
基本初等函数的导数公式
1.若f (x)＝c（c为常数）,
则f '(x)＝0；
2.若f (x)＝(α∈Q，且α≠0),
则f '(x)＝；
3.若f (x)＝,
则f '(x)＝；
4.若f (x)＝,
则f '(x)＝；
5.若f (x)＝(a>0，且a≠1),
则f '(x)＝；
特别地，若f (x)＝,
则f '(x)＝；
6.若f (x)＝(a>0，且a≠1),
则f '(x)＝；
特别地，若f (x)＝,
则f '(x)＝.
作业布置
作业：
P75 练习 第1,2，3，4题
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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