四川省南充市白塔中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（PDF版，含答案）

四川省南充市白塔中学 2024-2025 学年高二上学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若直线的斜率是1，则其倾斜角为( )

A. B. C. D.
6 3 4 2
5
2.已知事件 ， 互斥， ( ∪ ) = ，且 ( ) = 2 ( )，则 ( ) =( )
6
5 4 5 13
A. B. C. D.
9 9 18 18
3.已知点 (2,2,3)， (1,2,2)， (0,0, 1)， (2,2, 1)，则异面直线 与 的夹角为( )
2 5
A. B. C. D.
3 6 3 6
4.已知圆 1：
2 + 2 = 4与圆 2关于直线2 + + 5 = 0对称，则圆 2的标准方程为( )
A. ( + 4)2 + ( + 2)2 = 4 B. ( 4)2 + ( 2)2 = 4
C. ( + 2)2 + ( + 4)2 = 4 D. ( 2)2 + ( 4)2 = 4
5.△ 中， (1,3)， (3,1)， ( 1, 1)，则△ 的面积( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
1
6. ， ∈ ，函数 ( , ) = √ ( 1)2 + ( 4)2 + |3 + 4 5|的最小值为( )
5
12 14 16
A. 2 B. C. D.
5 5 5
7.已知点 ( , 2 20 0)是圆 ： + 4 4 + 6 = 0上的动点，则下面说法正确的是( )
A. 圆的半径为2

B. 0的最大值为2 + √ 3
0
C. 2 20 + 0 + 2 0 + 3的最小值为16 √ 2
D. 0 + 0的最大值为5
8.点 为圆 ：( 4)2 + 2 = 4上的一动点， 为圆 ：( 6)2 + ( 4)2 = 1上一动点， 为坐标原点，
则| | + | | + | |的最小值为( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在长方体 1 1 1 1中， = = 1 ， 1 = 2 ，动点 在体对角线 1上(含端点)，则下
列结论正确的有( )
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A. 长方体 1
2
1 1 1的表面积为10
1B. 若 = 1，则 + 的值为√ 6 6
C. 当 为 1中点时，∠ 为锐角
D. 不存在点 ，使得 1 ⊥平面
10.以下四个命题表述正确的是( )
1 1 1
A. 若空间中任意一点 ，有 = + + ，则 ， ， ， 四点共面
3 6 2
3√ 2
B. 若直线 1：2 + 1 = 0与直线 2： + = 0平行，则直线 1与 2之间的距离为 4
C. 过点(2,0)的直线 与曲线 = √ 2 2相交于 ， 两点， 为坐标原点，当△ 的面积取最大值时，直
线 的方程为√ 3 + 2 = 0
D. 若直线 的方向向量为 = (2,4, 2)，平面 的一个法向量为 = ( 1, 2,1)，则 ⊥
11.如图，经过坐标原点 且互相垂直的两条直线 和 与圆 2 + 2 4 +
2 20 = 0相交于 ， ， ， 四点， 为弦 的中点，有下列结论( )
A. 弦 长度的最小值为4√ 5
B. 线段 长度的最大值为10 √ 5
C. 点 的轨迹是一个圆
D. 四边形 面积的取值范围为[20√ 5, 45]
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.体育课上甲、乙两名同学进行投篮比赛(甲、乙各投篮一次)，甲投中的概率为0.7，乙投中的概率为0.8，
则甲、乙两人恰好有一人投中的概率为______．
13.在四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形，侧面 ⊥底面 ，且△ 是正三角形，
是 的中点，则三棱锥 外接球的表面积为______．
14.已知圆 ： 2 + 2 = 16，点 (1,2)， 、 为圆 上两个不同的点，且 = 0，若 = + ，
则| |的最小值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
直线 的方程为( + 1) + 2 3 = 0( ∈ ).
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(1)证明：直线 过定点；
(2)已知 是坐标原点，若直线 分别与 轴正半轴、 轴正半轴交于 、 两点，当△ 的面积最小时，求
△ 的周长及此时直线 的方程．
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， ⊥底面 ，且 = ，点 是棱 的中点，点
为 的中点．
(1)证明： //平面 ；
(2)证明： ⊥ ．
17.(本小题15分)
已知点 为线段 的中点， (6,4)，点 为圆( 4)2 + ( 2)2 = 1上动点．
(1)求 点的轨迹曲线 的方程；
(2)过点 ( 1,0)的直线 与(1)中曲线 交于不同的两点 ， (异于坐标原点 )，直线 ， 的斜率分别为 1、
2，判断 1 2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
18.(本小题17分)
如图，在以 为顶点的圆锥中，点 是圆锥底面圆的圆心， 是圆锥底面圆的直径， ， 为底面圆周上的
两点，且△ 为等边三角形， 是母线 的中点， = = 4．
(1)求圆锥的体积；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值；
(3)设 与 交于点 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
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19.(本小题17分)
已知 (0,1)， (3,1)，动点 满足2| | = | |，点 的轨迹为曲线 1．
(1)求 1的方程．
(2)曲线 2：
2 + 2 4 + 4 2 = 0，曲线 1与曲线 2的交点为 ， .以 为直径的圆 与 轴， 轴正
半轴交点分别为 ， ．
( )点 在直线 ： 4 = 0上移动，过 作圆 的切线，切点为 ， ，试问直线 是否过定点？若是.求
出这个定点；若否，请说明理由．
( ) 为圆 上异于 ， 的一点，直线 交 轴于点 ，直线 交 轴于点 ，求证：| | | |为定值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】0.38
28
13.【答案】
3
14.【答案】3√ 3 √ 5
15.【答案】解： (1)证明：由( + 1) + 2 3 = 0得( 2) + + 3 = 0，
2 = 0 = 2
令{ ，得{ ，所以直线 过定点(2,1)．
+ 3 = 0 = 1
2 +3
2 +3
(2)分别令 = 0， = 0，得 (0,2 + 3)， ( , 0)，且{ > 0 +1 ，所以 > 1，
+1
2 + 3 > 0
2
1 2 +3 1 (2 +3)
所以△ 的面积 = | | |2 + 3| = ，
2 +1 2 +1
2
1 (2 +1) 1 1
设 + 1 = > 0，则 = = 2 + + 2 ≥ 2√ 2 + 2 = 4，
2 2 2
1 1 1
当且仅当2 = 即 = 时取等号，此时 = ， (4,0)， (0,2)
2 2 2
所以△ 的面积最小时，△ 的周长为4 + 2 + √ 42 + 22 = 6 + 2√ 5，
此时直线 的方程为 + 2 4 = 0
16.【答案】证明：(1)点 是棱 的中点，点 为 的中点．
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∴ // ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ //平面 ．
(2) ∵在四棱锥 中，底面 是正方形，
⊥底面 ，且 = ，点 是棱 的中点，
∴ ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，
∵ ∩ = ，∴ ⊥平面 ，
∵ 平面 ，∴ ⊥ ，
∵ ∩ = ，∴ ⊥平面 ，
∵ 平面 ，∴ ⊥ ．
17.【答案】解：(1)因为 (6,4)，
设 ( , )， ( 0, 0)，
因为点 为线段 的中点，
+6
0 =
所以{ 2 ，
+4
0 = 2
因为点 在圆( 4)2 + ( 2)2 = 1上，
所以( 0 4)
2 + ( 20 2) = 1，
+6 2 +4即( 4) + ( 2)2 = 1，
2 2
整理得( 2)2 + 2 = 4，
则曲线 的方程为( 2)2 + 2 = 4；
(2)设直线 的方程为 = ( + 1)， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= +
联立{ 2 2 ，消去 并整理得(1 +
2) 2 + (2 2 4) + 2 = 0，
( 2) + = 4
此时 = (2 2 4)2 4 2(1 + 2) = 4(4 5 2) > 0，
2√ 5 2√ 5
解得 ∈ ( , 0) ∪ (0, )，
5 5
2 2
4 2
由韦达定理得 1 + 2 = 2 ， 1 2 = 2，
1+ 1+
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1
2
2 ( 1+1)( 2+1) 2 1 2+ 1+ +1所以 = = = 21 2 ， 1 2 1 2 1 2
2 2
4 2
因为 1 + 2 = 2 ， 1 2 = 2，
1+ 1+
2 2
4 2
2+ 2 +1
所以 = 2 1+ 1+ = 2
5
1 2 2 2 = 5．
2
1+
则 1 2为定值，定值为5．
18.【答案】解：(1)因为 = = 4，
又点 是圆锥底面圆的圆心， 是圆锥底面圆的直径，
1 1 16
所以圆锥的体积 = × × ( )2 × = × 4 × 4 = ；
3 2 3 3
(2)如图，
以 为原点，垂直于面 的直线， 所在的直线， 所在的直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
根据题意得， (0,1,2)， (0, 2,0)， (√ 3, 1,0)， ( √ 3, 1,0)， (0,0,4)，
所以 = (0,3,2), = (√ 3, 0,2), = ( √ 3, 0,2)，
令平面 的法向量为 = ( ′, ′, ′)，
3 ′ + 2 ′ = 0
所以{ ，可取 = (2√ 3, 2,3)，
√ 3 ′ + 2 ′ = 0
令平面 的法向量为 = ( , , )，
3 + 2 = 0
所以{ ，
√ 3 + 2 = 0
可令 = (2√ 3, 2, 3)，
令平面 与平面 的夹角为 ，
| | |12 4 9| 1
= |cos < , > | = = = ；
| || | √ 12+4+9×√ 12+4+9 25
(3)如图，
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过点 作 ⊥ 于点 ，那么 为 中点，并且 // ，
所以 = 3， = 1， = 2，
2 4 4
根据 = 得， = ，所以 = ，所以 (0,0, )，
2 3 3 3
4 4
所以 = (0,0, ) ( √ 3, 1,0) = (√ 3, 1, )，
3 3
令直线 与平面 所成角为 ，
| | 12 18√ 13
= |cos < ， > | = = =| || | 2√ 13 65 ． ×5
3
19.【答案】解：(1)设 ( , )，
因为2| | = | |，
所以2√ 2 + ( 1)2 = √ ( 3)2 + ( 1)2，
整理得( + 1)2 + ( 1)2 = 4，
则 1的方程为( + 1)
2 + ( 1)2 = 4；
( + 1)2 + ( 1)2 = 4
(2)( )联立{
2 + 2
，
4 + 4 2 = 0
= 1 = 1
解得{ 或{ ，
= 1 = 1
所以圆 的方程为 2 + 2 = 2，
所以 (√ 2, 0)， (0, √ 2)，
设 ( , 4)， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
易知圆 的圆心为原点 ，
所以 ⊥ ， ⊥ ，
可得 = | |2， = | |2，
+ ( 4) = 2
所以{ 1 1 ，
2 + ( 4) 2 = 2
则 ， 两点均满足直线 + ( 4) = 2，
1 1
所以直线 的方程为 + ( 4) = 2，直线 过定点( , )；
2 2
( )设 ( 0, 0)，
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因为点 在圆 上，
所以 2 + 20 0 = 2，
√ 2 √ 2
此时 ： = ， ： = ，
0 0 √ 2 0 √ 2 0
令 = 0，
√ 2
解得 = 0，
0 √ 2
√ 2
即 (0, 0)，
0 √ 2
令 = 0，
√ 2
解得 = 0，
0 √ 2
√ 2
即 ( 0 , 0)，
0 √ 2
√ 2 0 √ 2 所以| | = √ 2 + ，| | = √ 2 + 0 ，
0 √ 2 0 √ 2
2
√ 2 +√ 2 2 √ 2 +√ 2 2 2( + √ 2)
所以| | | | = 0 0 × 0 0 = 0 0 ，
0 √ 2 0 √ 2 ( 0 √ 2)( 0 √ 2)
因为 20 +
2
0 = 2，
设 0 = √ 2 ， 0 = √ 2 ，
2
2( 2 2
则| | | | = 0
+ 0 √ 2) 4( + 1) 2( + 1)= =
( 0 √ 2)( 0 √ 2) (√ 2 √ 2)(√ 2 √ 2) sin cos (sin +cos )+1
2 2
4( + 1) 4( + 1)
= 2 = 2 = 4．
(sin +cos ) 2(sin +cos )+1 (sin +cos 1)
故| | | |为定值，定值为4．
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