云南省临沧市镇康县第一中学2024-2025学年高二上学期11月月考数学试卷（PDF版，含答案）

云南省临沧市镇康县第一中学 2024-2025 学年高二上学期 11 月月考数
学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.(4 3 )(2 3 ) =( )
A. 17 18 B. 1 18 C. 1 +6 D. 17 + 12
2.已知直线 1: + 2 +3 = 0，直线 2 :2 + + + 1 = 0，则命题 : 1// 2是命题 : = 2的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
+3
3.已知集合 = { | + = 0}，则 ∩ =( )
| | | +3|
A. { 2} B. { 2, 1,1,2} C. { 1,1} D. { 2, 1}
4.某省教育厅对全省高三学生采用分层抽样的方式抽取了1000名学生参加化学，物理和英语三大学科的抽
样考试，目的是为了更好地应对新高考的改革来调整日常教学同时检查各个学校的教学成果，考试结束后
对这1000名同学的化学成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，若同一组中数据用该组区间中
间值作为代表值，则这些同学化学成绩的上四分位数约为( )
A. 79.5分 B. 82.5分 C. 81分 D. 82分
5.薯条作为一种油炸食品，风味是决定其接受程度的基础.米其林三星餐厅大厨 对餐饮门
店的不同油炸批次的薯条进行整体品质的感官评价并提出了“油炸质量曲线”(图1)，将油炸过程划分为五
个阶段：诱导、新鲜、最佳、降解和废弃阶段，以解释食物品质与油炸时间之间的关系.在特定条件下，薯
条品质得分 与煎炸时间 (单位： )满足函数关系 = 2 + + ( 、 、 是常数)，图2记录了三次实验
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的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳煎炸时间为( )
A. 2.25 B. 2.75 C. 3.25 D. 3.75
2
6.已知甲、乙两人进行扳手腕游戏，且每人各有2个乒乓球.每次扳手腕甲获胜的概率均为 ，没有平局，且
3
每次扳手腕的结果互不影响.每次负方给胜方1个乒乓球，直到一方没有乒乓球时游戏结束，则第1次甲胜且
第4次扳手腕后游戏结束的概率为( )
10 2 16 10
A. B. C. D.
27 9 81 81
7.已知函数 ( ) = (3 2 ) + ( > 0)是奇函数，则log2 =( )
1 1 1 1
A. 1 + log23 B. 1 log23 C. + 23 D. 23 2 2 2 2
8.设抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ，直线 与 交于 ， 两点， ⊥ ，| | = 2| |，则 的斜率
是( )
A. ±1 B. ±√ 2 C. ±√ 3 D. ±2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在平行六面体 1 1 1 1中， 为 1 1与 1 1的交点，若 = ， = ， 1 = ，则
下列等式正确的是( )
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A.
1 1 1 1
= + + B. = +
2 2 1 2 2
1 1
C. = + + D. 1 = + + 2 2
10.已知圆 21 :( + 2) +
2 = 1，圆 : 2 + ( )22 = 9，则下列结论正确的是( )
A. 若 1和 2外离，则 > 2√ 3或 < 2√ 3
B. 若 1和 2外切，则 = ±2√ 3
C. 当 = 0时，有且仅有一条直线与 1和 2均相切
D. 当 = 2时， 1和 2内含
11.已知函数 ( )满足对任意 ∈ ，都有 ( + 1)+ ( 2 +2 ) = 2，则( )
1+√ 5
A. ( ) = 1 B. ( )可能为增函数
2
C. (2) = (8) D. ( )的图象关于 轴对称
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.现有一底面直径为2的圆锥，其轴截面是等边三角形，则该圆锥的表面积为______．
1 3
13.已知 2 + cos2 = ， ∈ ( , )，则 = ______．
2 2 4
2 2
14.已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左，右焦点分别为 1， 2，过 2且倾斜角为60°的直线 与 交于 ，
两点(点 在第一象限)，若3 2 = 2 2 ，则 的离心率是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在三棱锥 中，已知 = (1,0, 1)， = (2, 1,0)，平面 的法向量为 = ( 1, , 1)．
(1)求异面直线 ， 所成角的余弦值；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
16.(本小题15分)
√ 3
在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 = ．
3
(1)求角 的大小；
(2)若 = 4， + = 6，求△ 的面积．
17.(本小题15分)
已知 ( 2,2)， ( 2,6)， (4, 2)三点，点 在圆 ： 2 + 2 = 4上运动．
(1)若| |2 + | |2 + | |2的最大值和最小值分别为 和 ，求 + 的值；
(2)过点 (3,3)向圆 作切线，切点分别为 ， ，求直线 的一般式方程．
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18.(本小题17分)
2
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ，△ 是边长为2√ 3的等边三角形， = 2，∠ = ．
3
(1)证明：平面 ⊥平面 ；
√ 21
(2)若平面 与平面 夹角的余弦值为 ，求 的长．
7
19.(本小题17分)
2 2
已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点分别为 1， 2，且| 1 2 | = 8，过 2作其中一条渐近线
的垂线，垂足为 ，延长 2 交另一条渐近线于点 ，且| 2 | = | |，
(1)求 的方程；
(2)如图，过 (6,0)作直线 ( 不与 轴重合)与曲线 的两支交于 ， 两点，直线 1 ， 1 与 的另一个交点
分别为 ， ，求证：直线 经过定点．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】3
13.【答案】 3
2
14.【答案】
5
15.【答案】解：(1)根据题意可知 = (1,0, 1)， = (2, 1,0)，
设异面直线 ， 所成角为 ，
∴异面直线 ， 所成角的余弦值为：

= |cos ,
| | 2 √ 10
| = = = ；
| || | √ 2×√ 5 5
(2) ∵ = (1,0, 1)， = (2, 1,0)，平面 的法向量为 = ( 1, , 1)．
∴ = (2, 1,0) ( 1, , 1) = 2 = 0，解得 = 2，
∴ = ( 1, 2,1)，
设直线 与平面 所成角为 ，
∴直线 与平面 所成角的正弦值为：
|
| 2 √ 3
= |cos , | = = = ． | || | √ 2×√ 6 3
√ 3
16.【答案】解：(1)由 = 和正弦定理可得：
3
√ 3
= ，
3
√ 3 √ 3
因 ≠ 0，故得 = ，即 = ，
3 3
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因 ∈ (0, )，故 = ；
6
(2)由余弦定理 2 = 2 + 2 2 ，
可得( + )2 (2 +√ 3) = 16，
20
又 + = 6，则 = = 20(2 √ 3)，
2+√ 3
1
故△ 的面积为 = = 10 5√ 3．
2
17.【答案】解：(1)设 ( , )，且 2 + 2 = 4， 2 ≤ ≤ 2，
故| |2 + | |2 + | |2 = ( + 2)2 + ( 2)2 + ( + 2)2 + ( 6)2 + ( 4)2 + ( + 2)2
= 3( 2 + 2) 12 + 68 = 12+ 68 12 = 80 12 ，
因为 2 ≤ ≤ 2，当 = 2时，取得最小值 = 56，
当 = 2时，取得最大值 = 104，
所以 + = 160；
(2)因为过 (3,3)且斜率为0的直线也不是圆 的切线，
且过 (3,3)且斜率不存在的直线不是圆 的切线，
所以直线 ， 的斜率都存在，

设切点 ( 1 11 , 1)， ( 2, 2)，则 = , = ， 1 1
1
所以直线 方程为 = ( 1)+ ， 11
整理得： 1 +
2 2
1 = 1 + 1 = 4，
同理可得直线 方程为： 2 + 2 = 4，
因为直线 ， 均过点 (3,3)，则3 1 + 3 1 = 4，3 2 +3 2 = 4，
所以点 ， 都在直线3 + 3 = 4上，
故直线 的方程为3 + 3 4 = 0．
2
18.【答案】解：(1)证明：在△ 中， = 2， = 2√ 3，∠ = ， 3
由余弦定理 2 = 2 + 2 2 ∠ ，得到 2 +2 8 = 0，

解得 = 2，所以 = = 2，得到∠ = 6，

又因为∠ = 3，所以∠ = 2，即 ⊥ ，
又因为 ⊥平面 ， 面 ，所以 ⊥ ，
又因为 ∩ = ， ， 面 ，所以 ⊥面 ，
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又 面 ，所以平面 ⊥平面 ．
(2)由(1)知， ， ， 两两互相垂直，
则以 ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

设 = ( > 0)，因为 = 2， = 2√ 3，∠ = 3，
则 (0,0,0), (2,0,0), (0,2√ 3, 0), (3, √ 3,0), (0,0, )，
则 = (1,√ 3, 0), = ( 2,0, )，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，则 ⊥ ， ⊥ ，
{ 则 = 0，即{ + √ 3 = 0 ，取 = ，得 √ 3 = , = 2，
= 0 2 + = 0 3
√ 3
所以 = ( , , 2)，
3
由题知，平面 的一个法向量为 = (1,0,0)，
设平面 与平面 的夹角为 ，
| | √ 21
则 = |cos < , > | = = = 2| | | | 1 7 ，整理得到 = 4，解得 = 2， √ 2+ 2+4
3
所以 = 2．
(1) 19.【答案】解： 易知双曲线 的渐近线 1： = ，渐近线 2： = ，
不妨设 在 1上， 在 2上， 是线段 2的中垂线，
易知△ 2 ，
所以∠ 2 = ∠ ，
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由双曲线对称性可得∠ 2 = ∠ 1 ，
所以∠ 2 = ∠ = ∠ 1 ，

| × |
∠ = = 此时 2 3， 2
=
√ 2
，
( ) +1

√ 3
在 △ 2 中，sin∠ 2 = = = ， 4 2
解得 = 2√ 3，
所以 2 = 2 2 = 42 12 = 4，
2 2
则 的方程为 = 1；
4 12
(2)证明：不妨设 ( 1 , 1)， ( 2, 2)， ( 3, 3)， ( 4, 4)，直线 的方程为 = ( 6)，

则直线 ： =
1 ( + 4)
， 1+4

= 1 ( + 4)
1+1
联立{ 2 ，消去 并整理得[3( + 4)
2 2] 2 8 2 16 2 12( + 4)2 = 0，
2 1 1 1 1 1
= 1
4 12
8 21
由韦达定理得 1 + 3 = 2 2， 3( 1+4) 1
又 21 = 3
2
1 12，
8(3 21 12) 24(
2
1 4) 2(
2 4)
所以 1 + 3 = = =
1
2
3( 1+4) (3
2 12) 24 1+60 2 1+5
，
1
5 1+8 5 1+8 3 +12 3
此时 13 = , 3 = ( +4) =
1 1 = 1 ，
2 1+5 1+4 2 1+5 1+4 2 1+5 2 1+5
5 1+8 3
所以 ( , 1 )，
2 1+5 2 1+5
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5 +8 3
同理得 (
2 , 2 )，
2 2+5 2 2+5
3
= 1
3 1(2 2+5) 3 2(2 1+5)
则 5 =
1
+8 5 +8
( 2 ) (5 1+8)(2 2+5)+(2 1+5)(5 2+8)
2 1+5 2 2+5
3 ( 1 6)(2 2+5) 3 ( 2 6)(2 1+5) 3 (17 1 17 2) 17 = = = ，
(5 1+8)(2 2+5)+(2 1+5)(5 2+8) 9( 2 1) 3
3 1 17 5 1+8
此时直线 ： = [ ( )]，
2 1+5 3 2 1+5
令 = 0，
38
解得 = ，
17
38
故直线 过定点( , 0)．
17
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