黑龙江省牡丹江市牡丹江第一高级中学2024-2025学年高二上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

黑龙江省牡丹江第一高级中学 2024-2025 学年高二上学期期中数学试
卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线 + √ 3 + 2 = 0的倾斜角是( )
5 2
A. B. C. D.
6 3 3 6
2.已知条件 ： > 2，条件 ：点 (1, )在圆： 2 + 2 = 5外，则 是 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2 2
3.若双曲线 = 1的右支上一点 到右焦点的距离为9，则 到左焦点的距离为( )
9 11
A. 3 B. 12 C. 15 D. 3或15
2 2
4.已知椭圆 ： + = 1的两焦点为 1， 2， 为椭圆 上一点且 1 ⊥ 20 4 2，则|| 1| | 2|| =( )
A. 2√ 5 B. 4√ 3 C. 2√ 19 D. √ 38
2 2 3
5.已知椭圆 + = 1，则以点(2, )为中点的弦所在的直线方程为( )
16 9 2
A. 8 6 7 = 0 B. 3 + 4 = 0
C. 3 + 4 12 = 0 D. 6 + 8 25 = 0
6.如图，某种地砖 的图案由一个正方形和4条抛物线构成，体现了数学的对
称美. 1：
2 = 2 ， 22： = 2 ， 3：
2 = 2 ， 24： = 2 ， > 0，
已知正方形 的面积为64，连接 1， 2的焦点 1， 2，线段 1 2分别交 1， 2于
点 ， ，则| |的值为( )
A. 10 5√ 2 B. 8 5√ 2 C. 3 + √ 2 D. 1 + √ 2
2 2
7.如图，已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点分别为 ， 1 2，
过点 2的直线与椭圆 交于点 ， .直线 为椭圆 在点 处的切线，点 关于
| |
的对称点为 .由椭圆的光学性质知， 1， ， 三点共线.若| | = ,
1 =
| 1|
4 | |
，则 2 =( )
5 | 1|
第 1 页，共 10 页
1 2 9 13
A. B. C. D.
9 11 11 15

8.已知 1， 2是椭圆和双曲线的公共焦点， 是它们的一个公共点，且∠ 1 2 = ，若椭圆的离心率为 ，3 1
2 3 2
双曲线的离心率为 2，则
1
2 +
2
2 的最小值是( ) 1+1 2+3
2+√ 3 1+√ 3 2√ 3 4√ 3
A. B. C. D.
3 3 3 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若动点 到定点 ( 4,0)的距离与到直线 = 4的距离相等，则 点的轨迹不可能是( )
A. 抛物线 B. 线段 C. 直线 D. 射线
2 2
10.设双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左焦点为 1，右焦点为 2，点 在 的右支上，且不与 的顶点
重合，则下列命题中正确的是( )
3
A. 若 = 3且 = 2，则双曲线 的两条渐近线的方程是 = ±
2
B. 若 1 ⊥ 2，则△ 1
2
2的面积等于
C. 若点 的坐标为(2,4√ 2)，则双曲线 的离心率大于3
D. 以 2为直径的圆与以 的实轴为直径的圆外切
11.已知曲线 ：√ 2 + ( √ 3)2 +√ 2 + ( + √ 3)2 = 4，曲线 ： = 5 √ 1 2，下列结论正确的
是( )
A. 与 有4条公切线
B. 若 ， 分别是 ， 上的动点，则| |的最小值是3
1 80
C. 直线 = ( 4)与 ， 的交点的横坐标之积为
3 37
4
D. 若 ( , )( ≠ 0)是 上的动点，则| | + | |的最小值为8
+1 1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知抛物线方程为4 = 2，则抛物线的准线方程为______．
13.如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图.勤劳而充满智慧的我国古代劳动人民曾用太极图解释宇宙
现象.太极图由正方形的内切圆(简称大圆)和两个互相外切且半径相等的圆(简称小圆)的半圆弧组成，两个小
圆与大圆均内切.若正方形的边长为8，则以两个小圆的圆心(图中两个黑白点视为小圆的圆心)为焦点，正方
第 2 页，共 10 页
形对角线所在直线为渐近线的双曲线实轴长是 ．
14.如图①，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆．许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过
研究，其中比利时数学家 (1794 1847)的方法非常巧妙，极具创造性．在圆锥内放两个
大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面，截面相切，两个球分别与截面相切于 ， ，在截口曲线上任
取一点 ，过 作圆锥的母线，分别与两个球相切于 ， ，由球和圆的几何性质，可以知道， = ， = ，
于是 + = + = .由 ， 的产生方法可知，它们之间的距离 是定值，由椭圆定义可知，截
口曲线是以 ， 为焦点的椭圆．
如图②，一个半径为2的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源 ，则球在桌面上的投影是椭圆．已知 1 2
是椭圆的长轴， 1垂直于桌面且与球相切， 1 = 5，则椭圆的离心率为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知直线 1： + (2 2) = 0， 2：2 + 2 = 0，且满足 1 ⊥ 2，垂足为 ．
(Ⅰ)求 的值及点 的坐标．
(Ⅱ)设直线 1与 轴交于点 ，直线 2与 轴交于点 ，求△ 的外接圆方程．
16.(本小题15分)
如图，在圆锥 中， 为圆锥底面的直径， 为底面圆周上一点，点 在线段 上， = 2 = 6， = 2 ．
第 3 页，共 10 页
(1)证明： ⊥平面 ；
(2)若圆锥 的侧面积为18 ，求二面角 的余弦值．
17.(本小题15分)
2 2 √ 3 √ 3
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率为 ，且过点(1, )． 2 2
(Ⅰ)求椭圆 的方程；
1 3
(Ⅱ)过点 (1,0)的直线 与椭圆 交于点 、 ，设点 ( , 0)，若△ 的面积为 ，求直线 的斜率 ．
2 10
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥 中，平面 ⊥平面 ， ⊥ ， = ， ⊥ ，
= 1， = 2， = = √ 5．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；

(3)在棱 上是否存在点 ，使得 //平面 ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由．

19.(本小题17分)
2 2
已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点分别为 1( , 0)， 2( , 0)，点 (2√ 2, 1)是 上一点.若
为△ 1 2的内心，且5 5 1 = 2√ 5 ． 2 1 2
(1)求 的方程；
(2)点 是 在第一象限的渐近线上的一点，且 2 ⊥ 轴，点 ( 0, 0)是 右支上的一动点， 在点 处的切
4√ 5 | |
线 与直线 2相交于点 ，与直线 = 相交于点 .证明：
2 为定值．
5 | 2|
第 4 页，共 10 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 = 1
13.【答案】2√ 2
2
14.【答案】
3
15.【答案】解：(Ⅰ)因为直线 1： + (2 2) = 0， 2：2 + 2 = 0，且满足 1 ⊥ 2，
所以1 2 + (2 2) 1 = 0，
1
解得 = ，
2
可得直线 1的方程为： = 0，
直线 2的方程为： + 2 = 0，
= 0
联立{ ，解得 = = 1，
+ 2 = 0
即两条直线的交点 (1,1)；
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 (0,0)， (2,0)，
由题意可得圆心在线段 的中垂线，线段 的中垂线上，
而 的中垂线的方程为 = 1，
1 1
的中垂线的方程 = ( )，即 + 1 = 0，
2 2
= 1
联立{ ，解得 = 1， = 0，
+ 1 = 0
第 5 页，共 10 页
即圆心的坐标(1,0)，半径 = 1，
所以圆的方程为( 1)2 + 2 = 1．
16.【答案】解：(1)证明：∵ ⊥平面 ， ⊥ ，故以 为坐标原点，
为 轴正方向， 为 轴正方向，与 同向的方向为 轴正方向建立空间直角坐标系，设| | = ，故
B(0,0,0)， (3,0,0)， (0,3√ 3, 0)，
3 3√ 3 3 3√ 3
( , , 0)， ( , , )， (0,√ 3, 0)，
2 2 2 2
3 3√ 3 3 3√ 3 = ( 3,√ 3, 0)， = ( , , 0)， = ( , , )，
2 2 2 2
∵
3 3√ 3 3 3√ 3
= 3 × + √ 3 × = 0， = 3 × + √ 3 × = 0，
2 2 2 2
故 AD⊥ ， ⊥ ，∵ ∩ = ， ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ；
(2) ∵侧面积 = 3 × = 18 ，∴ = 6，∴ = = 3√ 3，
由(1)可知， 为平面 的法向量，设平面 的法向量为 = ( , , )，而 = (3,0,0)，故
= 3 = 0
{
3 3√ 3
，
= + + 3√ 3 = 0
2 2
2√ 3 √ 5
令 = 2，则 = (0,2, 1)，则cos , = | | = ，即二面角 的余弦值为
√ 5．
2√ 3×√ 5 5 5
2
√ 3
17.【答案】解：(Ⅰ)因为椭圆的离心率为√ 1 2 = ， 2
所以 2 = 4 2，
√ 3
又椭圆过点(1, )，
2
3
1
所以 2 +
4
2 = 1，解得
2 = 4， 2 = 1，
4
第 6 页，共 10 页
2
故椭圆 的方程为 + 2 = 1．
4
(Ⅱ)由题意知，直线 的斜率不可能为0，设其方程为 = + 1， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= + 1
联立{ 2 2 2
+ 2
，消去 ，得( + 4) + 2 3 = 0，
= 1
4
2 3
所以 1 + 2 = 2 ， 1 2 = 2 ， = (2 )
2 + 4 × 3 × ( 2 + 4) = 16( 2 + 3) > 0恒成立，
+4 +4
2
1 1 1 2 1
4√ +3 3
所以△ 的面积 = | | | 1 2| = × √ ( 1 + 2) 4 1 2 = = ， 2 2 2 4 2+4 10
整理得9 4 28 2 156 = 0，即( 2 6)(9 2 + 26) = 0，
解得 2 = 6或 2
26
= (舍)，
9
所以 = ±√ 6，
1 √ 6
所以直线 的斜率 = = ± ．
6
18.【答案】(1)证明：∵平面 ⊥平面 ，且平面 ∩平面 = ，
且 ⊥ ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，
∵ 平面 ，
∴ ⊥ ，
又 ⊥ ，且 ∩ = ， 、 平面 ，
∴ ⊥平面 ；
(2)解：取 中点为 ，连接 ， ，
∵ = = √ 5，
∴ ⊥ ，
又∵ = ，
∴ ⊥ ．
∵平面 ⊥平面 ，且平面 ∩平面 = ，
且 平面 ，
∴ ⊥平面 ，
以 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：
第 7 页，共 10 页
则 (0,0,1)， (1,1,0)， (0, 1,0)， (2,0,0)，
则 = (1,1, 1), = (0, 1, 1)， = (2,0, 1)，
设 = ( 0, 0, 0)为平面 的法向量，
则由{
= 0 0 0 = 0 1，得{ ，令 0 = 1，则 = ( , 1,1)．
= 0 2 0 0 = 0 2
设 与平面 的夹角为 ，则
1
1 1 √ 3
= |cos < , > | = | | = | 2 | =
| || | 1 3 ； √ +1+1×√ 3
4

(3)解：假设存在 点使得 //平面 ，设 = ∈ (0,1)， (0,
1
, 1)，
由(2)知， (0,1,0)， (0,0,1)， = (0, 1,1)， (1,1,0)， = (0, 1 1, 1)，
则有 = ，可得 (0,1 , )，
∴ = ( 1, , )，
1
∵ //平面 ， = ( , 1,1)为平面 的法向量，
2
∴
1 1
= 0，即 + + = 0，解得 = ．
2 4
1
综上，存在点 ，即当 = 时， 点即为所求．
4
8 1
19.【答案】解：(1)因为点 (2√ 2, 1)是 上一点，所以 2 2 = 1.设△ 1 2的内切圆半径为 ，
1 1 1
则 △ = | 1| ， △ = | 2| ， 1 2 2 2 △ 1 = | 2 2 1 2|
．
因为5 △ 5 △ = 2√ 5 △ ， 1 2 1 2
5 5 1
所以 | 1| | 2| = 2√ 5 × | 1 2| ， 2 2 2
| | | | 2√ 5
所以5| 1| 5| 2| = 2√ 5| |，所以
1 2
1 2 = ． | 1 2| 5
第 8 页，共 10 页
由双曲线的定义及其几何性质，得2 2√ 5= ，即√ 5 = 2 ．
2 5
8 1
2 2 = 1 2 = 4, 2
联立{ ，解得{ 所以 的方程为 2 = 1．
√ 5 = 2 2 = 1. 4
2 + 2 = 2
(2)证明：由题意可知，直线 的斜率存在，则可设直线 的方程为 0 = ( 0).
2 2 2由 2 = 1，可得 2
4
= 1 = ．
4 4 4
由题意知 0 ≠ 0．
√ 2
若点 在双曲线 的右支的上半支上，则 4 = ，
2

2 = 0
所以 ′ = = ，故 2 ．
2×2√ 2 4 2√ 2 4 2√ 0 4
0 0
因为
2
0 2 = = 2 = 1，所以 0 4 = 4
2
0 0
，所以
4 2√ 4
2 4 0．
0
√ 2
若点 在双曲线 的右支的下半支上，则 4 = ，
2

2 0
所以 ′ = =
=
，故 ．
2×2√ 2 4 2√
2
2 4 2√ 0 4
2 0 2 2 2 =
0 = 0
因为 = 1，所以 0 4 = 4 0，所以
4 0 2√ 4
2 4 0．
0
0
综上可知， = 4 ． 0
0
将 = =
0 ( )
4 代入直线 的方程，得 0 4 0 ，即 0 4 0 =
2 4 20 0．
0 0
4
又 2 4 = 4 2，所以直线 的方程为 0 4 0 = 4，即
0
0 0
= ( > 2)
4 0 ． 0
√ 5 4 √ 5
因为直线 的方程为 ，所以当 时， = 0 ，即直线 与直线 的交点 (√ 5, 0
4
2 = √ 5 = √ 5 )，4 20 4 0
√ 5
所以| | = 0
4
2 ． 4| 0|
0 4
√ 5
= 1 = 5
0
4
联立{ 0 ，得 0 ，
4√ 5
= 4√ 5
5 { = 5
√ 5
1
所以直线 与直线 4√ 5 = 的交点 4√ 5 0
5 ( ,
5 )．
5 0
√ 5 √ 5 2
1 ( 1)
又 2(√ 5, 0)，所以
4√ 5 0 1 0
| |22 = (√ 5 )
2 + (0 5 )2 = + 5
5 5 20 0
2 5
( 0 1)+ 20 2√ 5
2
4 0
+5 0 2√ 5 0+4= = 4 ．
5 20 5
2
0
第 9 页，共 10 页
5 22 0 8√ 5 0+16
2
| | 4
因为| 22| = ，所以 = ， 16 2 20 | 52|
| 2| 2√ 5所以 = ，为定值．
| 2| 5
．
第 10 页，共 10 页