辽宁省大连二十四中2024-2025学年高二上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

辽宁省大连二十四中 2024-2025 学年高二上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 = (1, , 0)， = ( 1,1,2)， = 0，则 =( )
A. 1 B. 0 C. 1 D. 2
2.已知直线 1：3 + 3 = 0与直线 2：3 + = 0之间的距离为2√ 10，则 =( )
A. 23 B. 23或 17 C. 17 D. 23或17
3.已知{ , , }是空间向量的一个基底，{ + , + , + }是空间向量的另一个基底，若向量 在基底
{ , , }下的坐标为(4,0,2)，则向量 在基底{ + , + , + }下的坐标为( )
A. (3,3,1) B. (1, 1,3) C. (3, 1,3) D. ( 1,1,3)
4.在长方体 1 1 1 1中， 1 = 1， = 2， = 3， 为 的中点，则异面直线 1 1与 的距
离为( )
6√ 19
A. √ 2 B. √ 10 C. 1 D.
19
3 9
5.已知⊙ 1：( + 1)
2 + ( + )2 = 与 22： +
2 + 4 +3 + = 0有且有只有两条公切线，则 的取
2 4
值范围是( )
15 23 1
A. 0 < < 6 B. < < C. < < 6 D. 1 < < 4
4 4 4
6.萤石是非常漂亮的一种矿物，其原石往往呈现正八面体形状.在如图所
示的正八面体 中， 与平面 所成的角为( )
A. 45°
B. 30°
C. 60°
D. 75°
2 17. 为圆 ： + ( 1)2 = 1上的一个动点，平面内动点 ( 0, 0)满足| 0| ≥ 且 = 0，则动点 运2
动的区域面积为( )
√ 3 4 2 2 √ 3
A. B. √ 3 C. √ 3 D.
3 2 3 3 3 2
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8.某工厂生产的一种零件是由一个圆柱 ′和一个正三棱锥 穿插
而成的对称组合体，如图所示.棱 和平面 都与圆柱侧面相切， 是
棱 与圆柱侧面的切点. ′//平面 .已知 = √ 6， = 2√ 3，圆
柱 ′的底面圆半径为 √ 6√ 3 ，则 =( )
2
3√ 2
A. 3
2
B. 3 3√ 2
3√ 2
C. 3
2
D. 3√ 2 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线 ： = 1，其中 ∈ [0,2 )，则以下命题正确的有( )
A. 直线 的倾斜角为
B. 直线 的斜率为
C. 若 ( , )是直线 上的任意一点，则 2 + 2 ≥ 1

D. 当 ∈ ( , )时，直线 与两坐标轴围成的三角形面积的最小值为1
2
10.如图，在多面体 中， ⊥平面 ，四边形 是正方形，且
// ， = = 2 = 2， ， 分别是线段 ， 的中点， 是线段
上的一个动点(含端点 ， )，则下列说法正确的是( )
A. 存在点 ，使得 ⊥
√ 5
B. 存在点 ，使得异面直线 与 所成的角的余弦值为
5
C. 当点 自 向 处运动时，直线 与平面 所成的角不变
2
D. 三棱锥 体积的最大值是
3
11.已知平面内的点 异于原点，且点 的坐标( , )满足关系式|4 + +1| = | 3 + 1| = √ 2 + 2，
若这样的点 恰有三个，则实数 的值可以是( )
5 2√ 13 13 13√ 29
A. B. C. D.
2 5 5 29
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
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12.已知二面角 ， ∈ ， ∈ ， ， ⊥ ， ， ⊥ ，若 = 1， = 2， = √ 3，
= 3，则二面角 的余弦值为______．
13.已知直线 1：2 + 1 = 0， 2： 2 1 = 0，若直线 1与 2关于直线 对称，则直线 的方程为______．
14.在平面直角坐标系 中，已知点 ( 2 21, 1)( 1 > 0)是圆 ：( 2) + = 1上的一个动点，直线 与
圆 交于另一点 ，过点 作直线 的一条垂线，与圆 ：( + 2)2 + 2 = 4交于点 ，若| | = | |，则
= ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， = ， 是 中点， ⊥平面 ， 为线段
上的动点(含端点)，若 = = 2．
(1)求平面 与平面 的夹角 的余弦值的取值范围；
(2)设四棱锥 的外接球球心为 ，当 为线段 中点时，求 到平面 的距离．
16.(本小题15分)
瑞士数学家欧拉( )1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心
在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知△ 的三个顶点分别为 (2,0)， (2,4)， (4,2)，直线 经
过点 ( 1,4)．
(1)求△ 的欧拉线方程；
(2)已知直线 与△ 的外接圆 相离，点 为直线 上的动点，过点 作圆 的两条切线 ， ，切点分别
为 ， ，当四边形 的面积的最小值为2√ 5时，求直线 的方程．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ， // ， ⊥ ，且 = = √ 2， = 2√ 2， = 2．
(1)取 中点 ，求证： //平面 ，
(2)求直线 与 所成角的余弦值，
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(3)在线段 上，是否存在一点 ，使得二面角 的大小为45°，如果存在，求 与平面 所
成角，如果不存在，请说明理由．
18.(本小题17分)
已知圆 ： 2
1
2 + 2 = 0，点 (1,0)关于直线 ： = + 的对称点为 ( 2,3)．
2
(1)求 的方程；
(2)讨论 与圆 的位置关系；
(3)若 与圆 相交于 ， 两点，圆心 到 的距离为√ 2，圆 的圆心在线段 上，且圆 与圆 相切，切点
在劣弧 上，求圆 的半径的最大值．
19.(本小题17分)
过点 ( 0, 0)作斜率分别为 1， 2的直线 1， 2，若 1 2 = ( ≠ 0)，则称直线 1， 2是 ( )定积直线或
( , )( )定积直线． 0 0
1
(1)已知直线 1： = 2 + 1， 2： = +1，试问是否存在点 ，使得直线 1， 2是 ( )定积直线？请3
说明理由．
(2)若 为坐标原点，点 与点 均在第二象限，且点 ( 0, 0)在二次函数 =
2 3的图象上.若直线 与直
2
线 是 (0,0)(1)定积直线，直线 与直线 是 ( 2)定积直线，直线 与直线 是 ( 0, )( )定积直0 20
线，求点 的坐标．
(3)已知点 (0,1)，直线 与 是 ( 1)定积直线，若 与 轴交于 ( 1,0)， 与 轴交于点 ，直线 = +
( > 0)将△ 分割成面积相等的两个部分，求 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
1
12.【答案】
4
13.【答案】 = 0
√ 7
14.【答案】
2
15.【答案】解：(1) ∵ ⊥平面 ，底面 为正方形，
∴以 为原点，以过 且与直线 平行的直线为 轴，建立空间直角坐标系，如图，
则 (0,0,2)， (1, , 0)， ( 1,2,0)， (1,0,0)，
∴ = (1, 2,2), = (2, 2,0), (0 ≤ ≤ 2)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
= 0 2 + 2 = 0则{ {2 + ( 2) = 0， = 0
令 = 4，则 = (4 2 ,4,2 + )，
取平面 的法向量 = (0,1,0)，
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又平面 与平面 的夹角为 ，
| | 4 4
∴ = = =
| | | | ， √ 2 2 (4 2 ) +16+(2+ ) √ 5 2 12 +36
∵ 0 ≤ ≤ 2，
2 6 144 6 6∴ 5 12 + 36 = 5( )2 + 在[0, )单调递减，在( , 2]单调递增，
5 5 5 5
6 144 144
5 2 12 + 36 = 5( )2 + ∈ [ , 36]，
5 5 5
∴ √ 5 2
12 4 2 √ 5
12 + 36 ∈ [ , 6], ∈ [ , ]
√ 5 3 3 ， √ 5 2 12 +36
即 2 √ 5 ∈ [ , ]，
3 3
2 √ 5
∴平面 与平面 的夹角 的余弦值的取值范围为[ , ].
3 3
(2)设 (0,1, )，则| | = | |，即√ 1 + 1 + 2 = √ 1 + (2 )2，
3 3 3
解得 = ，则 (0,1, )， = (1, 1, )，
4 4 4
此时平面 的法向量 = (2,4,3)，
9
|2 4+ |
∴ 到平面 的距离为 | | 4 √ 29 = = = ． | | √ 29 116
16.【答案】解：(1)由题意得| |2 = 16，| |2 = (2 4)2 + (4 2)2 = 8 = | |2，
所以| |2 + | |2 = | |2，△ 为等腰直角三角形，
其外心为斜边中点，垂心为直角顶点，
所以△ 的欧拉线是由(2,2)、(4,2)确定的直线，可知欧拉线方程为 = 2；
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(2)由(1)得 (2,2)
1
，△ 外接圆的半径等于 | | = 2，| | = | |，
2
设直线方程为 + 4 + 1 = 0，
则四边形 的面积 = 2 △ = | | | | = 2| |，
显然当| |取最小值时， = 2√ 5，即| | = √ 5，| | = √ | |2 + | |2 = 3，
因为 ⊥ 时，| |达到最小值3，
|3+2 |
12
所以 到 的距离为 = = 3√ 2 ，解得 = 0或 = ． +1 5
12 48
所以直线 的方程为 + 1 = 0或 + + 1 = 0，即 + 1 = 0或5 12 + 53 = 0．
5 5
17.【答案】证明：(1)取 中点 ，连结 、 、 ，
∵在四棱锥 中， ⊥平面 ， // ， ⊥ ，
= = √ 2， = 2√ 2， = 2， 是 中点，
∴ // ， // ，
∵ ∩ = ， ∩ = ， 、 平面 ， 、 平面 ，
∴平面 //平面 ，
∵ 平面 ，∴ //平面 ．
解：(2)以 为原点， 为 轴， 为 轴，过 作平面 的垂线为 轴，建立空间直角坐标系，
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(√ 2, 0,0)， (0, √ 2, 0)， (√ 2, 0,2)， (0,0,0)，
= ( √ 2, √ 2, 0)， = ( √ 2, 0, 2)，
设直线 与 所成角为 ，
| · | 2 √ 6
则 =
|
= = ．
|·| | 2√ 6 6
∴直线 与 所成角的余弦值为√ 6．
6
(3)假设在线段 上，存在一点 ，使得二面角 的大小为45°，
设 ( , , )， = ，0 ≤ ≤ 1，
则( √ 2, , 2) = ( √ 2 , 0, 2 )，
√ 2 = √ 2
∴ { = 0 , ∴ (√ 2 √ 2 , 0,2 2 )，
2 = 2
= ( √ 2, √ 2, 0)， = ( √ 2 , 0,2 2 )，
设平面 的法向量 = ( , , )，
= √ 2 + √ 2 = 0
则{ ,
= √ 2 + (2 2 ) = 0
取 = 1，得 √ 2 = (1,1, )，
2 2
平面 的法向量 = (0,0,1)，
∵二面角 的大小为45°，
√ 2
| | | | √ 2
∴ 45° = = 2 2 =
| | | | ， √ √ 2 2 2 2+( )
2 2
2
则0 ≤ ≤ 1，解得 = ，∴ = (1,1,√ 2)，
3
√ 2 2
( , 0, )， (2√ 2,√ 2, 0)，
3 3
5√ 2 2 = ( , √ 2, )，
3 3
设 与平面 所成角为 ，
| | 2√ 2 1
则 = = = ，∴ = 30°， | | | | √ 8 √ 4 2
∴ 与平面 所成角为30°．
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1 3
18.【答案】解：(1) ∵点 (1,0)关于直线 ： = + 的对称点为 ( 2,3)，且线段 的中点坐标为( , )，
2 2
3 0
× = 1,
∴ { 2 1
= 1,
解得{
1 3
+ = , = 2.
2 2
∴ 的方程为 +2 = 0．
1 1
(2)圆 ： 2 2 + 2 = 0的方程可变形为( )2 + 2 = 2 + ，
2 2
1 1
则圆心 的坐标为( , 0)，且 2 + > 0，解得 > 0或 < ，
2 2
1
圆 的半径 = √ 2 + ．
2
| +2|
设圆心 到 ： + 2 = 0的距离为 ，则 = ．
√ 2
1 | +2|
若 = ，√ 2 + = .则 = 1或 = 4，此时 与圆 相切；
2 √ 2
| +2| 1
若 > ，则( )2 > (√ 2 + )2，解得 1 < < 4，
√ 2 2
1 1
又 < 或 > 0，∴ 1 < < 或0 < < 4，
2 2
此时 与圆 相离；
若 < ，则 > 4或 < 1，此时 与圆 相交．
| +2|
(3)由题可知 = √ 2，解得 = 4或 = 0(舍去)．
√ 2
当 = 4时，圆 ：( + 4)2 + 2 = 14，圆心 ( 4,0)，半径 1 = √ 14．
由题可知圆 的圆心 在圆 内且两圆内切，记圆 的半径为 2，
由切点在劣弧 上，知| | = 1 2，∴ 2 = 1 | |．
∵点 在线段 上，∴ | | ≥ √ 2．
当且仅当圆心 与线段 的中点重合时， 2最大，且( 2) = √ 14 √ 2．
∴圆 的半径的最大值为√ 14 √ 2．
1
19.【答案】解：(1)根据题意，直线 1： = 2 + 1， 2： = +1， 3
1 2
显然两直线斜率之积2 ( ) = 是定值，且两直线都经过点(0,1)，
3 3
根据定义可知 为两直线交点，则 (0,1)，
2
即存在 使得 1， 2是 ( )定积直线； 3
(2)设 ( , )( < 0, > 0, ≠ 0)，
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0 0
则可知 = , = , = ( 0 < 0, 0 > 0) 0 ， 0
= 1
= 2
根据题意有{ ，
2
= 20
2 1 1 2
即 = 2 = 2 = , = , = 0， 0 0 0
1
所以由 0 = = 0 = 1, 0 = 2， 0 0

= = 0 = 2 = 1
则{ 0 2 { { ，即 ( 1,2) 1 ； = = = 1
= 2
0 0 +2
(3)根据题意，因为直线 与 是 ( 1)定积直线，
过 (0,1)， ( 1,0)，则 ： + 1 = 0，
而 ： + 1 = 0， (1,0)，易知△ 为等腰直角三角形，即 △ = △ ，
要满足题意需直线 = + ( > 0)与线段 有交点，且1 > > 0；
1
= + = 1 +
联立{ { 1+ ，如下图所示，易知 ( , 0), ( , )，
= + 1 + 1+ 1+ =
1+
1 + 1
则 2△ = (1 + ) = +2 = 0， 2 1+ 2
1 2
显然 = 时上方程无解，则 1
2 ≠ = > 0， 2 1 2
1 1
解不等式得0 < < ，即 的取值范围为(0, ).
2 2
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