贵州省县中新学校计划项目2024-2025学年高一上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

贵州省县中新学校计划项目 2024-2025 学年高一上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = { ∈ |√ < 4}， = {0,2,4,8,16}，则 ∩ =( )
A. {2,4,8} B. {2,4,8,16} C. {0,2,4,8} D. {0,2,4,8,16}
2.已知命题 ： ∈ ， 2 5 + 6 < 0，则￢ 是( )
A. ∈ ， 2 5 + 6 ≤ 0 B. ∈ ， 2 5 + 6 ≥ 0
C. ∈ ， 2 5 + 6 < 0 D. ∈ ， 2 5 + 6 ≥ 0
3.若函数 = ( )的定义域为 = { | 2 ≤ ≤ 2}，值域为 = { |0 ≤ ≤ 2}，则函数 = ( )的图象可
能是( )
A. B.
C. D.
4.下列各组函数中， ( )和 ( )表示相等函数的是( )
A. ( ) = 2(1 2 )0， ( ) = 2
B. ( ) = (√ 3 )2， ( ) = √ 9 2
, ≥ 0
C. ( ) = | |， ( ) = {
, < 0
3+ 2 1
D. ( ) = + 1， ( ) = 2 1
5.设 ， ∈ ，则“ + < 6”是“ < 3且 < 3”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件
5
6.已知 ， > 0，且 = + + ，则下列关系正确的是( )
4
1
A. + ≥ 5 B. + ≤ 1 C. ≥ 10 D. ≤
2
7.已知函数 ( )为定义在 上的奇函数，且在区间[0,1)上单调递增，在区间[1, +∞)上单调递减， (2) = 0，
则不等式 ( ) ≥ 0的解集为( )
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A. ( ∞, 2] ∪ [0,2] B. [ 2,0] ∪ [2, +∞)
C. ( ∞, 2] ∪ {0} ∪ [2, +∞) D. [ 2,2]
8.已知集合 = { | 2 5 6 ≤ 0}，对于任意的 ∈ ，不等式 2 + > 2 1恒成立，则实数 的取
值范围是( )
A. (1,2) B. ( ∞, 1) ∪ (1, +∞)
C. ( 5,2) D. ( ∞, 5) ∪ (2, +∞)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知集合 = { | 2 2 + 1 = 0}恰有4个子集，则实数 的值可以是( )
A. 2 B. 1 C. 0 D. 1
10.下列命题中，正确的是( )
A. 若 < ，则 2 < 2
+
B. 若 > > 0， > 0，则 >
+
1 1
C. 若 < ，则 >

D. 若 2 < < 3，1 < < 4，则 5 < 2 < 8

11.形如 ( ) = + ( > 0)的函数，我们称之为“对勾函数”.“对勾函数”具有如下性质：该函数在


(0, √ )上单调递减，在(√ , +∞)上单调递增.已知函数 ( ) = + ( > 0)在区间[2,4]上的最大值比最小值

3
大 ，则实数 的值可以是( )
2
A. 2 B. 14 C. 7 + 4√ 3 D. 7 4√ 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2 , ≥ 2,
12.已知 ( )是定义在 上的偶函数，当 ∈ [0, +∞)时， ( ) = {
2
则 ( (3)) = ______．
+ 1,0 ≤ < 2,

13.定义运算 = { | = , ∈ , ∈ }.若 = {0,1,2}， = { | 2 4 + 3 < 0, ∈ }，则 =

______．
2
2( +4) + ( )
14.已知 ( )是定义在 上的奇函数，设函数 ( ) =
2
的最大值为 ，最小值为 ，则 + =
+16
______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知集合 = { | 2 2 ≤ 0}，集合 = { |2 + 1 < < }．
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(1)若 ∩ = ，求实数 的取值范围；
(2)若集合 = { ∈ |2 + 1 < < 1}，且 ∩ ( )为单元素集，求 的取值范围．
16.(本小题15分)
已知关于 的不等式 2 + ( 2) < 0．
(1)若该不等式的解集为{ | 1 < < 2}，求 和 的值；
(2)若 = 2 ，求该不等式的解集．
17.(本小题15分)
2
已知函数 ( ) = 2 ( ≠ 0, ≥ 0)． +
(1)判断函数 ( )的奇偶性，并证明；
(2)讨论函数 ( )在区间(√ , +∞)上的单调性．
18.(本小题17分)
六盘水市乌蒙大草原旅游景点某年国庆期间，团队收费方案如下：不超过30人时，人均收费80元；超过30人
且不超过 (30 < ≤ 100)人时，每增加1人，人均收费降低1元；超过 人时，人均收费都按照 人时的标准
.设该景点接待有 名游客的某团队，收取总费用为 元．
(1)求 关于 的函数解析式；
(2)景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少
这一现象.为了让收取的总费用随着团队中人数增加而增加，求 的取值范围．
19.(本小题17分)
+ 2
材料：当 > 0， > 0时，称 为 ， 的算术平均数，√ 为 ， 的几何平均数， 为 ， 的调和平均
2 +
2 2 2
√ + 2 +
2+
数， 为 ， 的平方平均数，大小关系是 ≤ √ ≤ ≤ √ (当且仅当 = 时等号成立).问
2 + 2 2
题：
(1)求√ 3 + 1与√ 3 1的调和平均数和平方平均数；
1
(2)已知函数 ( ) = 2 + √ ( > 0, > 0)，且 2 + 4 2 = 2，求证： ( ) ≥ ；
2 2
(3)根据某市场规律，两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降，可以用两种不同的策略：第一种是每
次购买这种物品的数量一定；第二种是每次购买这种物品所花的钱数一定.假设该物品第一次价格为 (元
/ )，第二次价格为 (元/ )，试问哪种购物方式比较经济？说明理由．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】2
1
13.【答案】{0, , 1}
2
14.【答案】2
15.【答案】解：(1)集合 = { | 2 2 ≤ 0} = { | 1 ≤ ≤ 2}，
因为 ∩ = ，所以 ，
当 = 时，2 + 1 ≥ ，
解得 ≥ 1，
2 + 1 <
当 ≠ 时，则{2 + 1 ≥ 1，无解，
≤ 2
综上所述，实数 的取值范围{ | ≥ 1}；
(2)因为 = { | 1 ≤ ≤ 2}，
所以 = { | < 1或 > 2}，
又因为 = { ∈ |2 + 1 < < 1}，且 ∩ ( )为单元素集，
所以 3 ≤ 2 + 1 < 2，
3
解得 2 ≤ < ，
2
3
所以 的取值范围为[ 2, ).
2
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16.【答案】解：(1)由题设知 1，2是 2 + ( 2) = 0的两个根，
则{
1 + 2 = 2 = 1
{ ．
1 × 2 = = 2
(2)由 2 + ( 2) < 0且 = 2 ，
可得 2 + ( 2) 2 = ( + )( 2) < 0，
当 < 2 > 2时，解集为( , 2)；
当 = 2 = 2时，解集为 ；
当 > 2 < 2时，解集为(2, )．
17.【答案】解：(1) ( )为奇函数，
2
证明如下：函数 ( ) =
2
，
+
2
当 = 0时，函数定义域为{ | ≠ 0}， ( ) = ，

2
( ) = = ( )，所以 ( )为奇函数，

当 > 0时，函数定义域为 ，
2 2
且 ( ) = 2 = 2 = ( )， ( ) + +
所以 ( )为奇函数，
综上， ( )为奇函数．
(2)令 1 > 2 > √ ，
2 2 ( 2+ ) ( 2+ ) ( )( )
则 ( 1) ( ) =
1 22 2 2 = 2
1 2 2 1 = 2 1 2 1 2 ，
1+ 2+ (
2
1+ )(
2
2+ ) (
2
1+ )(
2
2+ )
( 1 2)( )又由 1 > 2 > √ ，则 1 2 > 0， 1 2 < 0，即
1 2 < 0，
( 21+ )(
2
2+ )
当 > 0时， ( 1) < ( 2)，此时 ( )在(√ , +∞)上单调递减；
当 < 0时， ( 1) > ( 2)，此时 ( )在(√ , +∞)上单调递增；
综合可得：当 > 0时， ( )在(√ , +∞)上单调递减；
当 < 0时， ( )在(√ , +∞)上单调递增．
18.【答案】解：(1)已知旅游景点某年国庆期间，团队收费方案如下：不超过30人时，人均收费80元；超
过30人且不超过 (30 < ≤ 100)人时，每增加1人，人均收费降低1元；超过 人时，人均收费都按照 人时
的标准，
又该景点接待有 名游客的某团队，收取总费用为 元，
则当0 ≤ ≤ 30时， = 80 ；
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当30 < ≤ 且30 < ≤ 100时， = (80 + 30) = (110 ) ；
当 > 且30 < ≤ 100时， = (110 ) ；
80 , 0 ≤ ≤ 30
综上， = { (110 ),30 < ≤ ，且 ∈ ，30 < ≤ 100．
(110 ) , >
(2)由(1)知：总费用在[0,30]和[ , +∞)上都是递增，
所以，只需在(30, ]上总费用不出现递减即可，
对于 = 110 2，开口向下且对称轴为 = 55，
所以，只需30 < ≤ 55，总费用随着团队中人数增加而增加．
2 2×2 2√ 3
19.【答案】解：(1)令 = √ 3 + 1, = √ 3 1，则调和平均数 = = ，
+ 2√ 3 3
2 2
平方平均数√
+ √ 4+2√ 3+4 2√ 3 = = 2；
2 2
+2 +2
(2)证明：由 ( ) = 2 + √√ = ( + )2 ≥ ，且 > 0， > 0，
2 2 4 4
又因为 2 + 4 2 = 2，且 > 0， > 0，
2
2 ( +2 ) 1所以 + 4 2 = 2 ≥ ，当且仅当 = 2 ，即 = 1, = 时等号成立，
2 2
所以( + 2 )2 ≤ 4，
即0 < + 2 ≤ 2，
1 +2
所以 ≤ < 0，
2 4
1
显然 ( ) ≥ ，得证．
2
+ +
(3)若每次购买这种物品的数量 一定，则物品平均价格为 = 元/ ，
2 2
2 2
若每次购买这种物品所花的钱数 元一定，则物品平均价格为 = 元/ ，
+ +

2 +
由题意可知， ≥ ，当且仅当 = 时等号成立，
+ 2
2 +
当 ≠ 时， > ，此时每次购买这种物品的数量一定比较经济；
+ 2
2 +
当 = 时， = ，此时两种购买方式一样经济．
+ 2
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