四川省成都市成飞中学2024-2025学年高一年级上学期教学质量检测数学试卷（PDF版，含答案）

四川省成都市成飞中学 2024-2025 学年高一年级上学期教学质量检测
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集 = { ∈ | < 3}， = {0,1,2,3}，则 ∩ =( )
A. {0,1} B. {1,2} C. {0,1,2} D. {0,1,2,3}
2.命题“ < 1， 2 1 > 0”的否定形式是( )
A. ≥ 1， 2 1 ≤ 0 B. < 1， 2 1 ≤ 0
C. ≤ 1， 2 1 ≤ 0 D. > 1， 2 1 ≤ 0
3.如图，已知矩形 表示全集， 、 是 的两个子集，则阴影部分可表示为( )
A. ( ∪ )
B. ( ∩ )
C. ( ) ∩
D. ( ) ∩
4.“ = 1”是“ 2 1 = 0”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而充分不条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. ， ， ∈ ， > ，下列不等式恒成立的是( )
A. + 2 > + 2 B. 2 + > 2 + C. 2 > 2 D. 2 > 2
6.下列结论正确的是( )
1 4
A. 当 < 2时， + ≥ 4 B. 当 > 0时，√ + ≥ 4
2 √
2 1
C. 当 ≥ 2时， + 的最小值是2√ 2 D. 当 > 0时， + 的最小值为1
+1
7.已知集合 = { | 2 + 4 + 3 = 0}， = { | 2 + 6 + = 0}，若 ∪ = ，求实数 的取值范围( )
A. ( ∞, 9] B. [9, +∞) C. ( ∞, 9) D. (9, +∞)
8.某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加
化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，
只参加数、化两科的有5名.若该班学生共有51名，则没有参加任何竞赛的学生共有( )名
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.下列选项错误的是( )
A. {1} ∈ {0,1,2} B. {1, 3} = { 3,1}
C. {0,1,2} {1,0,2} D. ∈ {0}
10.若正实数 ， 满足2 + = 1，则下列说法正确的是( )
1 1 4
A. 有最大值为 B. + 有最小值为6 + 4√ 2
8
1 1
C. 4 2 + 2有最小值为 D. ( + 1)有最大值为
2 2
11.下列四个命题中正确的是( )
| | | | | |
A. 由 + + ( , , ∈ )所确定的实数集合为{ 3, 2, 1,1,2,3}

2 + 4 > 0
B. 同时满足{ 的整数解的集合为{ 1,0,1,2}
1 + ≥ 2 1
C. 集合{( , )|3 + 2 = 16， ∈ ， ∈ }可以化简为{(0,8)，(2,5)，(4,2)}
6
D. = { | ∈ , ∈ }中含有三个元素
3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若1 ∈ { , 2}，则 的值是______．
13.命题 ∈ ， 2 + < 0是真命题，则实数 的取值范围是______．
14.设 ∈ ，若 > 0时，均有[( 2) 1]( 2 1) ≥ 0成立，则实数 的取值集合为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
(1)求不等式 2 + 4 + 5 < 0的解集．
2 1
(2)解分式不等式： ≥ 1．
3 +1
16.(本小题15分)
设 = ，已知集合 = { 2 ≤ ≤ 7}， = { + 1 ≤ ≤ 2 1}．
(1)当 = 4时，求集合 ∩ 和 ∪ ；
(2)设 ： ∈ ； ： ∈ ，若 是 的必要不充分条件，求实数 的范围．
17.(本小题15分)
已知 = 2 + (2 1) 2．
(1)当 = 5时，求满足 ≤ 0的 值的集合；
(2)求满足 > 0的 值的集合．
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18.(本小题17分)
某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一
种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费(单位：万元)与设备的占地面积 (单位：平方米)成
正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费 (单位：万元)与设备占地面积 之间的函数关系
20
为 ( ) = ( > 0).将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为 (单位：万元)．
+5
(1)要使 不超过7.2万元，求设备占地面积 的取值范围；
(2)设备占地面积 为多少时， 的值最小？
19.(本小题17分)
整数集的符号 取自德文整数单词的首字母，这是为了纪念得国女数学家艾米 诺特对整数理论的重大贡献，
她的代表著作《整环的理想理论》大幅推动了现代数学抽象代数理论的发展.数环的定义为：设 是非空数集，
如果对 ， ∈ ，都有 + ∈ ， ∈ ，且 ∈ 成立，称 是个数环．
(1)分别判断下列3个集合是否是一个数环，并说明理由： , , { ∈ | = + √ 2 , ∈ , ∈ }；
(2)求证：任何数环都有元素0；
(3)求证：若 、 是数环，则 ∩ 是数环．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 1
1
13.【答案】( ∞, )
4
3+√ 3
14.【答案】{ }
2
15.【答案】解：(1)由不等式 2 + 4 + 5 < 0得： 2 4 5 > 0，即( + 1)( 5) > 0，解得： < 1或
> 5，
所以原不等式的解集是{ | < 1或 > 5}；
2 1 2
(2)由不等式 1得： 0，即( + 2)(3 + 1) ≤ 0且3 + 1 ≠ 0，
3 +1 3 +1
1
所以原不等式的解集是{ | 2 ≤ < }．
3
16.【答案】解：(1) = 4时， = { |5 ≤ ≤ 7}，
故 A∩ = { | 2 ≤ ≤ 7} ∩ { |5 ≤ ≤ 7} = { |5 ≤ ≤ 7}，
∪ = { | 2 ≤ ≤ 7} ∪ { |5 ≤ ≤ 7} = { | 2 ≤ ≤ 7}；
(2) ： ∈ ； ： ∈ ，若 是 的必要不充分条件，
由题可得 ，
当 = ，则 + 1 > 2 1 < 2；
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+ 1 ≤ 2 1 + 1 ≤ 2 1
当 ≠ ，则{2 1 < 7 或{2 1 ≤ 7 ，解得2 ≤ ≤ 4，
+ 1 ≥ 2 + 1 > 2
综上， 的范围为{ | ≤ 4}．
17.【答案】解：(1)当 = 5时， = 5 2 + 9 2 = (5 1)( + 2) ≤ 0，
1
解得 2 ≤ ≤ ，
5
1
即不等式的解集为{ | 2 ≤ ≤ }；
5
(2)因为 = 2 + (2 1) 2 = ( 1)( + 2)，
若 = 0，则 = ( + 2) > 0，解得 < 2；
1 1
若 > 0，则 > 0，即( )( + 2) > 0，解得 > 或 < 2；

1
当 < 0时，则 > 0，可得( )( + 2) < 0，

1 1
方程( )( + 2) = 0的根为 ， 2，

1 1 1
若 < 2，即 < < 0，此时 > 0，可得不等式的解为 < < 2；
2
1 1
若 = ，此时 = ( + 2)2 > 0，此时不等式无解，即解集为 ；
2 2
1 1 1
若 > 2，即 < ，此时 > 0，可得不等式的解为 2 < < ；
2
综上所述： = 0时，解集为( ∞, 2)；
1
> 0时，解集为( ∞, 2) ∪ ( , +∞)；

1 1
< < 0时，解集为( , 2)；
2
1
= 时，解集为 ；
2
1 1
< 时，解集为( 2, )．
2
80
18.【答案】解：(1)由题意得 = 0.2 + ， > 0，
+5
要满足题意，则 ≤ 7.2，
80
即0.2 + ≤ 7.2，解得11 ≤ ≤ 20．
+5
即设备占地面积 的取值范围为[11,20]．
80 +5 80 +5 80
(2) = 0.2 + = + 1 ≥ 2√ 1 = 7，
+5 5 +5 5 +5
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当且仅当 = 15时，等号成立．
所以设备占地面积为15 2时， 的值最小．
19.【答案】解：(1)取 = 1， = 2，则 ， ∈ ，但 = 1 2 = 1 ，故 不是数环；
+
取 = , = ( , , , ∈ )，则 ， ∈ ，则 + = + = ，

∵ ， ， ， ∈ ，∴ ， ， ∈ ，可得 + ∈ ，

同理 = = ∈ ， = = ∈ ，故 是数环；

设 = + √ 2 , = + √ 2 ( , , , ∈ )，∴ ， ∈ ，
则 + = + + √ 2( + )，
∵ ， ， ， ∈ ，∴ + ∈ ，
= + √ 2( )，
∵ ， ， ， ∈ ，∴ ∈ ，
= ( + √ 2 )( + √ 2 ) = + 2 + √ 2( + )，
∵ ， ， ， ∈ ，∴ + 2 ∈ ， + ∈ ，得 ∈ ，
∴ { ∈ | = + √ 2 , ∈ , ∈ }是数环；
(2)假设存在一个数环 ，它不包含0，即对于所有 ∈ ，都有 ≠ 0，
根据数环定义，对于任意 ， ∈ ，有 + ∈ ， ∈ ， ∈ ，
特别地，当 = 时， + = 0，这与 不包含0的假设矛盾，
因此任何数环都有元素0；
(3)设 、 是数环，∵ 0 ∈ ，0 ∈ ，∴ 0 ∈ ∩ ，
若 ∈ ∩ ，∴ ∈ ， ∈ ，
∵ 是数环，∴对于整数 ，有 ∈ ，
同理 ∈ ，∴ ∈ ∩ ，则 ∩ 是数环．
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