湖北省部分重点高中2024-2025学年高一上学期11月联考数学试卷（PDF版，含答案）

湖北省部分重点高中 2024-2025 学年高一上学期 11 月联考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
1.已知集合 = { 2, 1,0,1,2}， = { | < 0}，则 ∩ =( )
+1
A. { 1,1} B. {0,1} C. { 1,0,1} D. {0}
0 ≤ ≤ 1
2.已知 ， 是实数，则 1 ≤ + ≤ 1是{ 的( )
1 ≤ ≤ 0
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知“方程 2 + ( 1) 1 = 0至多有一个解”为假命题，则实数 的取值范围是( )
A. ≠ 1 B. ≠ 1且 ≠ 0 C. ∈ D. 无法确定
| |
4.函数 = 的图象大致为( )
1
A. B.
C. D.
5.已知函数 ( )满足 ( ) + ( ) = 0，当 ∈ (1, +∞)时， ( ) = 2 + 6 + 8，当 ∈ ( ∞, 1)时，
( ) =( )
A. ( ) = 2 + 6 + 8 B. ( ) = 2 + 6 + 8
C. ( ) = 2 + 6 8 D. ( ) = 2 6 + 8
+ 2, < 2
6.若函数 ( ) = { 2 在 上为增函数，则实数 的取值范围为( ) + 2 + 2, ≥ 2
A. > 0 B. ≥ 2 C. 0 < ≤ 2 D. = 2
( ) ( )
7.已知函数 ( )定义域为(0, +∞)， ， ∈ (0, +∞)， 1 2 2 1 < 0，且 (3) = 6， ( 21 2 + 2 ) > 2
2 +
1 2
4 ，则实数 的取值范围是( )
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A. ( ∞, 2) ∪ (0, +∞) B. ( ∞, 3) ∪ (1, +∞)
C. ( 3,1) D. ( 3, 2) ∪ (0,1)
5 12 20 3
8.设正实数 ， 满足 + + + = 13，则 的最小值为( )

A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 < < 0， > 0，则下列不等式一定成立的是( )
1 1 1 1 + +
A. > B. > C. < D. <
+ +
1, 是有理数
10.狄里克雷是解析数论的创始人之一，1837年他提出“狄里克雷函数” ( ) = { ，下列叙述
0, 是无理数
正确的是( )
A. ( ( )) = 1 B. ( )是偶函数
C. ( + ) = ( ) + ( ) D. ( ) = ( ) ( )
11.已知函数 ( ) = | 2024| + | + 2024|，其中 ∈ ，则下面说法正确的有( )
A. 存在 ∈ ，使得 ( )为偶函数 B. 存在 ∈ ，使得 ( )为奇函数
1
C. 若 = 2时，函数 ( )的最小值2024 D. 若 = 时，函数 ( )的最小值2024
2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
3
12.已知函数 ( ) = ，则函数 = (2 + 1)的定义域为______．
√ +4
13.若关于 的不等式 2 + ( + 2) + 2 < 0的解集中恰有两个整数，则实数 的取值范围是______．
1 2024 1 1
14.已知函数 ( ) = √ + 2024 ，若 ( ) + ( ) = 0，则2 + 的最小值是______．
√ 2 2
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
已知集合 = { |3 < < 2 + 1}， = { | 2 2 > 0}．
(1)当 = 2时，求 ∩ ( )， ∪ ( )．
(2)若 ∩ = ，求实数 的取值范围．
16.(本小题15分)
已知 ： ≥ 1， 2 + 3 ≥ 0， ：关于 的方程 2 2 + 6 = 0的两根均大于0．
(1)若 为真命题，求实数 的取值范围；
(2)若 和 中一个为真命题一个为假命题，求实数 的取值范围．
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17.(本小题15分)
某地政府为进一步推进地区创业基地建设，助推创业带动就业工作，拟对创业者提供 (0 ≤ ≤ 20)万元的
创业补助.某企业拟定在申请得到 万元创业补助后，将产量增加到 = ( + 2)万件，同时企业生产 万件
162 108
产品需要投入的成本为(7 + + 2 )万元，并以每件(6 + )元的价格将其生产的产品全部售出. (注：收

益=销售金额+创业补助 成本)
(1)求该企业获得创业补助后的收益 万元与创业补助 万元的函数关系式；
(2)当创业补助为多少万元时，该企业所获收益最大？
18.(本小题15分)
已知函数 ( ) = √ + ，其中 ∈ ．
(1)用定义证明：函数 ( ) = √ + ，在[0, +∞)上单调递增；
(2)若函数 = ( )的图象不经过第四象限，求 的取值范围；
(3)已知 > 1，当 ∈ [0,1]时，函数 = 2 2 2 + 1的图象与 = ( )的图象有且只有一个交点，求
的取值范围．
19.(本小题17分)
已知 ( ) = 2 ，其中 ∈ ．
(1)若函数 ( )为偶函数，求 的值；
(2)若函数 = | ( )|在区间[1,2]上单调递增，求 的取值范围；
(3)若函数 ( ) = 2 + ( 4) + 2 + | ( )|的最小值为0，求 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
5
12.【答案】( , +∞)
2
13.【答案】[ 1,0) ∪ (4,5]
14.【答案】2√ 2
15【. 答案】解： = { | 2 2 > 0} = { |( + 1)( 2) > 0} = { | < 1或 > 2}， = { | 1 ≤ ≤
2}，
(1)当 = 2时， = { |1 < < 5}，
所以 ∩ ( ) = { |1 < ≤ 2}， ∪ ( ) = { | 1 ≤ < 5}；
(2)由 ∩ = ，得 ，
2 2
当3 ≥ 2 + 1，即 ≤ 时， = ，满足 ，则 ≤ ；
3 3
2
当 > 时， ≠ ，由 ，得3 < 2 + 1 ≤ 1或2 ≤ 3 < 2 + 1，
3
解3 < 2 + 1 ≤ 1，得无解；
2 2
解2 ≤ 3 < 2 + 1，得 < ≤ 1，则 < ≤ 1，
3 3
所以实数 的取值范围是{ | ≤ 1}．
16.【答案】解：(1)因为 ≥ 1， 2 + 3 ≥ 0，
= ( )2 4(3 ) = 2 + 4 12，
当 = 2 + 4 12 ≤ 0，即 6 ≤ ≤ 2时，满足题意；
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2 + 4 12 > 0
当 = 2

+ 4 12 > 0时，则有{ < 1 ，解得 < 6，
2
1 × ( 1) + 3 ≥ 0
综上，实数 的取值范围( ∞, 2]；
(2) ∵两根均大于0，
= 4 2 4(6 ) ≥ 0
则{2 > 0 ，
6 > 0
解得，2 ≤ < 6，
①若 真 假， < 2，
②若 假 真，2 < < 6，
综上得：{ | < 2或2 < < 6}．
108 108
17.【答案】解：(1)依据题意可知，销售金额(6 + ) = (6 + )( + 2)万元，创业补助 万元，成本为
+2
162 162
(7 + + 2 ) = [7( + 2) + + 2 ]万元，
+2
108 162 162
所以收益 = (6 + )( + 2) + [7( + 2) + + 2 ] = 106 2 ，0 ≤ ≤ 20．
+2 +2 +2
162 162
(2)由(1)可知 = 106 2 = 110 [2( + 2) + ]，0 ≤ ≤ 20，
+2 +2
162 162 162
由基本不等式可得，2( + 2) + ≥ 2√ 2( + 2) = 36，当且仅当2( + 2) = ，即 = 7时，取等
+2 +2 +2
号．
此时函数取得最大值74，
所以当 = 7时，该企业所获收益最大，最大值为74万元．
18.【答案】解：(1)证明：设0 ≤ 1 < 2，又 ( ) = √ + ，

∴ ( 1) (
1 2
2) = √ 1 √ 2 =
√ 1+√ 2
∵ 1 < 2，∴ 1 2 < 0，
∴ ( 1) ( 2) < 0，
∴ ( 1) < ( 2)，
∴ ( )在[0, +∞)上单调增；
(2)如图：只要 (0) = ≥ 0即可满足题意，
∴ 的取值范围为[0, +∞)；
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1
(3)当 > 1时0 < < 1，

要使函数 = 2 2 2 + 1的图象与 = ( )的图象有且只有一个交点，
也就是方程 ( ) = ( 1)2有一个解，
如图可知：只要( 1)2 ≥ + 1，
即 ≥ 3，
∴ 的取值范围为[3, +∞)．
19.【答案】解：(1)因为 ( )为偶函数，
所以 ( ) = ( )，
即 2 = 2 + ，2 = 0，
解得 = 0；
(2) = | 2 |， ∈ [1,2]，

因为函数 = 2 的对称轴为 = ，
2
1
① ≤ 1时，对称轴 = ≤ ，
2 2
所以函数 = ( )在[1,2]上单调递增，符合题意；

② ≥ 2时， = 2 + ，只需 ≥ 2即可， ≥ 4；
2
③1 < < 2时， = 1时， = |1 |，而|1 | > 0，不满足题意．
综上 的取值范围( ∞, 1] ∪ [4, +∞)；
(3) ( ) = 2 + ( 4) + 2 + | 2 |，
令 = 2 + ( 4) + 2， = 2 ，
因为 + | | = { + , }，
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所以 ( ) = {2( 1)2, (2 4) + 2}，
函数 = 2( 1)2 ≥ 0，
当 = 1时， = 0，
所以只要(2 4) × 1 + 2 ≤ 0即可，
即2 2 ≤ 0，解得 ≤ 1，
综上 的取值范围是( ∞, 1]．
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