广东省广州市三校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（PDF版，含答案）

广东省广州市三校 2024-2025 学年高一上学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { 2, 1,0,1,2}， = { | 2 6 0}，则 ∩ =( )
A. { 2, 1,0,1} B. {0,1,2} C. { 2} D. {2}
2.下列函数中表示同一函数的是( )
A. ( ) = √ 4, ( ) = (√ )4
2 1
B. ( ) = 1, ( ) =
+1
C. ( ) = √ 2 + , ( ) = √ √ + 1
2 , ≥ 0,D. ( ) = √ , ( ) = {
, < 0
3.下列命题中正确的是( )
A. 若 > ，则 2 > 2
B. 若 > ，则 2 > 2
+
C. 若 > > 0， > 0，则 <
+
D. 若 1 < < 5，2 < < 3，则 4 < < 3
4.已知集合 = {1,3, 2}， = {1, + 2}，若 ，则 =( )
A. 1 B. 1或2 C. 2 D. 1
5.不等式“ 2 + 2 ≥ 0在 ∈ 上恒成立”的一个充分不必要条件是( )
A. < 1 B. > 4 C. 2 < < 3 D. 1 < < 2
6.设偶函数 ( )的定义域为 ，当 ∈ [0, +∞)时 ( )是增函数，则 ( 2)， ( )， ( 3)的大小关系是( )
A. ( ) < ( 2) < ( 3) B. ( ) < ( 3) < ( 2)
C. ( ) > ( 2) > ( 3) D. ( ) > ( 3) > ( 2)
( > 0 且 ≠ 1), 1 ( ) ( )
7.若函数 ( ) = { ，且满足对任意的实数
1 2
1 ≠ 2都有 > 0成立，则实数
(4 ) + 2, < 1 1 2
2
的取值范围是( )
A. (1, +∞) B. (1,8) C. (4,8) D. [4,8)
8.若函数 ( )的定义域为 ，如果对 中的任意一个 ，都有 ( ) > 0， ∈ ，且 ( ) ( ) = 1，则称函
数 ( )为“类奇函数”.若某函数 ( )是“类奇函数”，则下列命题中，错误的是( )
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A. 若0在 ( )定义域中，则 (0) = 1
1
B. 若 ( ) = (4) = 4，则 ( ) = ( 4) = 4
C. 若 ( )在(0, +∞)上单调递增，则 ( )在( ∞, 0)上单调递减
D. 若 ( )定义域为 ，且函数 ( )也是定义域为 的“类奇函数”，则函数 ( ) = ( ) ( )也是“类奇函
数”
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 命题“ 0 ∈ ，
2
0 + 3 0 + 2 ≤ 0”的否定是“ ∈ ，
2 + 3 + 2 > 0”
B. < 4是 < 3的必要不充分条件
1
C. ( ) = 的单调减区间为( ∞, 0) ∪ (0, +∞)

D. 函数 ( ) = 1 2( > 0且 ≠ 1)的图象恒过定点(1, 2)
10.设正实数 ， 满足 + = 1，则下列结论正确的是( )
1 1 1
A. + 有最小值4 B. √ 有最小值
2
1
C. √ + √ 有最大值√ 2 D. 2 + 2有最小值
2
11.已知定义在(0, +∞)上的函数 ( )满足 ( ) ( ) = ( )，且 (4) = 6，当 > 1时， ( ) > 0，则( )
A. (1) = 0
B. (2) = 3
C. ( )在区间(0,1)上单调递减，在区间(1, +∞)上单调递增
3
D. 不等式 ( + 1) ( ) < 3的解集是(0,2)

三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
√ 2 4
12.函数 ( ) = 0的定义域为______．
( 2 3 4)
13.如图，某池塘里浮萍的面积 (单位： 2)与时间 (单位；月)的关系为 = ，
关于下列说法正确的命题序号是______，
①这个指数函数的底数为3；
②浮萍每月增加的面积都相等；
③第4个月时，浮萍面积超过80 2．
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( ) ( )
14.设 ( )是定义在( ∞, 0) ∪ (0, +∞)上的奇函数，对任意的 ， 1 2 2 11 2 ∈ (0, +∞)满足 > 0且 1 2
(3) = 15，则不等式 ( ) > 5 的解集为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知 = { | 2 2 3 ≤ 0}， = { | 1 ≤ ≤ 2 + 1}， ∈ ，
(1)当 = 1时，求 ∪ 和 ；
(2)若 ∩ = ，求实数 的取值范围．
16.(本小题15分)
2
若函数 ( ) = ( 2 3 + 3) +2 4为幂函数，且在(0, +∞)上单调递减．
(1)求实数 的值；
(2)若函数 ( ) = ( )，且 ∈ (0, +∞)，
①判断函数 ( )的单调性，并证明；
②求使不等式 (2 1) < ( )成立的实数 的取值范围．
17.(本小题15分)
常州市某企业为紧抓新能源发展带来的历史机遇，决定开发一款锂电池生产设备.生产此设备的年固定成本
1
为280万元，且每生产 台( ∈ )需要另投入成本 ( )(万元)，当年产量 不足40台时， ( ) = 2 + 40
3
3600
430(万元)；当年产量 不少于40台时 ( ) = 61 + 1290(万元).经过市场调查和分析，若每台设备的
+2
售价定为60万元时，则该企业生产的锂电池设备能全部售完．
(1)分别求年产量 不足40台和年产量 不少于40台时，年利润 (万元)关于年产量 (台)的函数关系式；
(2)年产量 为多少台时，企业在这款锂电池生产设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？
18.(本小题17分)
已知 = ( )是定义在 上的奇函数，当 > 0时， ( ) = 2 + 2 ．
(1)求函数 ( )的解析式；
(2)若函数 ( )在区间[ 1, 2]上单调递增，求实数 的取值范围；
(3)若 ( ) ≥ 2 2 4对所有 ∈ [ 1,1]， ∈ [0,1]恒成立，求实数 的取值范围．
19.(本小题17分)
设函数 ( ) = ( ∈ , > 0且 ≠ 1)．
(1)若0 < < 1，判断 = ( )的奇偶性和单调性；
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(2)若 (1) < 0，求使不等式 ( 2 + ) + (4 ) < 0恒成立时实数 的取值范围；
3
(3)若 (1) = ， ( ) = 2 + 2 2 ( )且 ( )在[1, +∞)上的最小值为 2，求实数 的值．
2
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】[2,4) ∪ (4, +∞)
13.【答案】①③
14.【答案】( ∞, 3) ∪ (0,3)
15.【答案】解：(1)由 2 2 3 ≤ 0解得： 1 ≤ ≤ 3，故 A= { | 1 ≤ ≤ 3}，
当 = 1时， = { |0 ≤ ≤ 3}，所以 ∪ = { | 1 ≤ ≤ 3}， = { | < 0或 > 3}．
(2)因为 ∩ = ，所以 ，
当 = 时， 1 > 2 + 1，解得 < 2，满足 ；
1 < 2 + 1
当 ≠ 时，{ 1 ≤ 1 ，解得0 ≤ ≤ 1，
2 + 1 ≤ 3
所以0 ≤ ≤ 1或 < 2，实数 的取值范围为( ∞, 2) ∪ [0，1]．
16.【答案】解：(1)由题意知 2 3 + 3 = 1，解得： = 1或 = 2，
当 = 1时，幂函数 = 1，此时幂函数在(0, +∞)上单调递减，符合题意；
当 = 2时，幂函数 = 4，此时幂函数在(0, +∞)上单调递增，不符合题意；
所以实数 的值为1．
1
(2)① ( ) = ( ) = ，

所以 ( )在区间(0, +∞)单调递增．证明如下：
任取0 < 1 < 2，
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1 1 1 1 1
则 ( 1) ( 2) = ( 1 ) ( 2 ) = ( 1 2) ( ) = ( )
2 1
1 2 = ( 1 2)(1 + )， 1 2 1 2 1 2 1 2
1
由0 < 1 < 2，可得 1 2 < 0，1 + > 0， 1 2
则 ( 1) ( 2) < 0，即 ( 1) < ( 2)，
故 ( )在区间(0, +∞)单调递增．
②由①知， ( )在区间(0, +∞)单调递增，
又由 (2 1) < ( )，
2 1 > 0
1
可得{ > 0 ，解得 < < 1，
2
2 1 <
1
所以实数 的取值范围是( , 1)．
2
17.【答案】解：(1)由题意可知，当0 < < 40， ∈ 时，
1 1
= 60 280 ( 2 + 40 430) = 2 + 20 + 150，
3 3
当 ≥ 40， ∈ 时，
3600 3600
= 60 280 (61 + 1290) = + 1010，
+2 +2
1
2 + 20 + 150,0 < < 40, ∈
所以年利润 关于年产量 的函数关系式为 = { 3 3600 ；
= + 1010, ≥ 40, ∈
+2
1 1
(2)当0 < < 40， ∈ 时， = 2 + 20 + 150 = ( 30)2 + 450，
3 3
由二次函数的性质可知，当 = 30时， 取得最大值450，
当 ≥ 40， ∈ 时，
3600 3600 3600
= + 1010 = [( + 2) + ] + 1012 ≤ 2√ ( + 2) + 1012 = 2 × 60 + 1012 = 892，
+2 +2 +2
3600
当且仅当 + 2 = 时，即 = 58时，等号成立，
+2
即 = 58时， 取得最大值892，
由于892 > 450，
所以当年生产58台时，该企业年利润的最大值为892万元．
18.【答案】解：(1)因为 = ( )是定义在 上的奇函数，当 > 0时， ( ) = 2 + 2 ．
所以当 < 0时， > 0，
则有 ( ) = ( )2 + 2( ) = 2 2 ，
即 ( ) = 2 2 ，
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所以 ( ) = 2 + 2 ，
又因为 (0) = 0，
2 + 2 , ≥ 0
所以 ( ) = { 2 ； + 2 , < 0
(2)作出函数 = ( )的图象，如图所示：
由此可得函数在[ 1,1]上单调递增，
又因为函数在[ 1, 2]上单调递增，
2 > 1
所以{ ，解得1 < ≤ 3，
2 ≤ 1
所以实数 的取值范围为(1,3]；
(3)当 ∈ [ 1,1]时， ( ) = ( 1) = 1，
又因为 ( ) ≥ 2 2 4对所有 ∈ [ 1,1]， ∈ [0,1]恒成立，
即 1 ≥ 2 2 4对所有 ∈ [0,1]恒成立，
所以 2 2 3 ≤ 0对所有 ∈ [0,1]恒成立，
当 = 0时，则有 3 ≤ 0恒成立，满足题意；
1 3
当 ≠ 0时，则有 ≥ ( )，
2
3
易知 = 在 ∈ (0,1]上单调递增，

3
所以( ) = 1 3 = 2，

所以 ≥ 1，
即实数 的取值范围为[ 1, +∞)．
19.【答案】解：(1) ( )的定义域为 ，关于原点对称，且 ( ) = = ( )，
∴ ( )为奇函数，
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∵ 0 < < 1，∴ = 递减， = 递减，
故 ( )是减函数；
(2) ( ) = ( > 0且 ≠ 1)．
1
∵ (1) < 0，∴ < 0，

又 > 0，且 ≠ 1，
∴ 0 < < 1，
故 ( )在 上单调递减，
不等式化为 ( 2 + ) < ( 4)，
∴ 2 + > 4，即 2 + ( 1) + 4 > 0恒成立，
∴△= ( 1)2 16 < 0，
解得 3 < < 5；
3 1 3
(3) ∵ (1) = ，∴ = ，即2 2 3 2 = 0，
2 2
1
解得 = 2或 = (舍去)，
2
∴ ( ) = 2 + 2 2 ( ) = (2 2 )2 2 (2 2 ) + 2，
令 = ( ) = 2 2 ，由(1)可知 ( ) = 2 2 为增函数，
3
∵ ≥ 1，∴ ≥ (1) = ，
2
3
令 ( ) = 2 2 + 2 = ( )2 + 2 2( ≥ )，
2
3
若 ≥ ，当 = 时， ( ) = 2
2 = 2，∴ = 2；
2
3 3 25 3
若 < 时，当 = 时， ( ) = 2，解得 = > ，无解； 2 2 12 2
综上， = 2．
第 8 页，共 8 页