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第28章 锐角三角函数 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 昆都仑区校级月考）的值是
A．1 B． C． D．
【答案】
【解析】由特殊角的三角函数值可知，．
故选．
2．（2024 宣化区模拟）在△中，，，，则的值为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】如图，根据勾股定理得，，
．
故选．
3．（2023秋 庐阳区期末）在中，，，则的值为
A． B． C． D．2
【答案】
【解析】在中，，、、的对边分别为、、，
由于，不妨设，则，由勾股定理得，，
所以，
故选．
4．（2024 义乌市模拟）若是锐角，且，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】是锐角，且，
，
故选．
5．（2024秋 沛县校级月考）在△中，如果一条直角边和斜边的长度都缩小至原来的，那么锐角的各个三角函数值
A．都缩小 B．都不变 C．都扩大5倍 D．无法确定
【答案】
【解析】在△中，设，，，．
则．
如果在△中，，，即一条直角边和斜边的长度都缩小至原来的．
那么由勾股定理，可知．
，
△△，
，
锐角的各个三角函数值都不变．
故选．
6．（2022秋 巴中期末）如图，在中，，，，的对边分别为，，，则下列结论中不正确的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】在中，，，，的对边分别为，，，
由勾股定理可得，因此选项不符合题意；
由锐角三角函数的定义可得，因此选项不符合题意；
由锐角三角函数的定义可知，，因此选项符合题意；
由于，因此选项不符合题意；
故选．
7．（2023秋 淄博期末）如图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器按此顺序输入：
，显示屏显示的结果为88.44300964．将这个数据精确到0.1后，下列说法正确的是
A．的正切函数值约为88.4
B．正切函数值为36.79的角约是88.4
C．的正切函数值约为88.4
D．正切函数值为36.79的角约是
【答案】
【解析】根据计算器的使用方法可知，
正切函数值为36.79的角约是88.4．
故选．
8．（2024秋 宁阳县期中）如图，在的正方形方格图形中，每个小正方形边长为2，小正方形的顶点称为格点，△的顶点都在格点上，则图中的正弦值是
A．2 B． C． D．
【答案】
【解析】由勾股定理可得，，，
，
△是直角三角形，
，
故选．
9．（2024秋 宁阳县期中）如图，在△中，，，，延长到点，使，连接．利用此图，可算出的值是
A． B．2 C． D．
【答案】
【解析】在△中，，，
，
，，
，
，
，
，
在△中，，
故选．
10．（2024秋 洛宁县月考）第14届国际数学教育大会会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形△，△，△，△和一个小正方形拼成的大正方形．若，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】根据题意，设，则，
△△△，四边形为正方形，
，，，
，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
，
，
，
故选．
二．填空题（共6小题）
11．（2024秋 浦东新区月考）已知为锐角，且，那么的余弦值为 ．
【答案】．
【解析】如图，
，可设，，
，
．
故答案为：．
12．（2024秋 裕安区月考）比较大小： ．
【答案】．
【解析】，而，
，
故答案为：．
13．（2024秋 青浦区期中）在△中，，，，那么 8 ．
【答案】8．
【解析】，，，
，
．
故答案为：8．
14．（2024 桂林二模）如图，一根竖直的木杆在离地面的处折断，木杆顶端落在地面的处上，与地面的夹角为，若，则木杆折断之前高度为 3.5 ．
【答案】3.5．
【解析】在中，，，
，
，
木杆折断之前高度为：，
故答案为：3.5．
15．（2024秋 合肥月考）如图，在△中，，，垂足为点，，则 ．
【答案】．
【解析】在△，，
设，则，
，
，
在△中，，
，
，
，
，
，即，
．
故答案为：．
16．（2022秋 余姚市校级期末）如图，点在半径为2的内，，为上一动点，当取最大值时，的度数为 ，的长等于 ．
【答案】，．
【解析】过作，如图，
，
，是定值，
当最大时候，取得最大值，
即，
，
，
此时，，
由勾股定理可得．
故答案为：，．
三．解答题（共8小题）
17．（2023秋 甘州区校级月考）计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【解析】（1）
；
（2）
；
（3）
．
18．（2024秋 雁塔区校级期中）在中，，是中线，，．求，和．
【解析】如图所示：
中，，是中线，，
，，
是等腰三角形，
，
中，，，
，
；
；
．
19．（2024 秦都区校级一模）在中，，，，分别是、、的对边．
（1）已知，，求；
（2）已知，，求．
【解析】（1），
；
（2），，
，
，
20．（2024秋 岱岳区期中）如图，在△中，，．
（1）求的值；
（2）延长至点，使得，求的长．
【解析】（1）过点作的垂线，垂足为，
，，
．
，
．
（2），即，
，
．
21．（2024秋 莘县期中）某数学兴趣小组到一公园测量塔楼的高度，如图所示，塔楼剖面图与斜坡剖面图在同一平面内，在斜坡底部处测得塔顶的仰角为，沿斜坡走13米到达斜坡处，测得塔顶的仰角为，且斜坡的坡度，其中点，，，在同一条水平直线上．求：
（1）点到地面的距离；
（2）塔的高．（精确到0.1米）（参考数据：，，，，，
【解析】（1）斜坡的坡度，
设，，
，，
，
解得，
答：点到地面的距离为5米；
（2）如图，过点作，垂足为，
米，，，
斜坡的坡度，米，
设米，
米，
，
米，
，
米，
，
，
解得：，
米，
塔高约为17.1米．
22．如图，为沙坪坝区物流中心，，，为三个菜鸟驿站，在的正南方向处，在的正东方向，在的南偏西方向处，在南偏西方向．，，，，，
（1）求驿站，驿站之间的距离（结果精确到；
（2）“双11”期间，派送员从沙坪坝区物流中心出发，以的速度沿着———的路线派送快递到各个驿站，派送员途径，两个驿站各停留存放快递，请计算说明派送员能否在内到达驿站？
【解析】（1）在的正南方向处，在的正东方向，在的南偏西方向处，在南偏西方向．如图，过点作于，于，
，，，，
在△中，，
，
，，，
四边形是矩形，
，
，
在△中，，
，
答：驿站，驿站之间的距离约为．
（2）派送员能在内到达驿站；理由如下：
，
，
，
派送员能在内到达驿站．
23．（2024秋 张店区校级月考）如图所示，根据提供的数据回答下列问题：
（1）在图①中， ， ， ；
在图②中， ， ， ；
通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明；
（2）在图①中， ， ；
在图②中， ， ；
通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明．
【解析】（1），，，
，，，
规律：对于任意锐角有，
故答案为：，，1，，，1；
证明：如图所示，在中，，
，，，
．
（2），，
，
规律：对于任意锐角有，
证明：如图，
，，
．
故答案为：，，，．
24．（2024 鼓楼区校级模拟）直觉的误差：有一张的正方形纸片，面积是．把这些纸片按图1所示剪开成四小块，其中两块是三角形，另外两块是梯形．把剪出的4个小块按图2所示重新拼合，这样就得到了一个的长方形，面积是，面积多了这是为什么？
小明给出如下证明：如图2，可知， ， ．，，，，，因此、、三点不共线，同理、、三点不共线．所以拼合的长方形内部有空隙，故面积多了．
（1）将小明的证明补充完整， ， ；
（2）小红给出的证明思路为：以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，证明三点不共线，请你帮小红完成她的证明．
【解析】（1）解：依题意得拼接的四边形为矩形，
，，
则在中，，
在中，，
，
，
，
，
，
因此、、三点不共线，
同理、、三点不共线．
所以拼合的长方形内部有空隙，故面积多了．
故答案为：；．
（2）证明：以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，延长交于，如图所示：
依题意得拼接的四边形为矩形，
则四边形，四边形，四边形都是为矩形，
，，，，
点，点，点，点，
设直线的表达式：，
将点，点代入，得：，解得：，
直线的表达式：，
对于，当时，，
点不在直线上，
点，，三点不共线，
对于，当时，，
点不在直线上，
、、三点不共线，
拼合的长方形内部有空隙，故面积多了．中小学教育资源及组卷应用平台
第28章 锐角三角函数 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 昆都仑区校级月考）的值是
A．1 B． C． D．
2．（2024 宣化区模拟）在△中，，，，则的值为
A． B． C． D．
3．（2023秋 庐阳区期末）在中，，，则的值为
A． B． C． D．2
4．（2024 义乌市模拟）若是锐角，且，则
A． B． C． D．
5．（2024秋 沛县校级月考）在△中，如果一条直角边和斜边的长度都缩小至原来的，那么锐角的各个三角函数值
A．都缩小 B．都不变 C．都扩大5倍 D．无法确定
6．（2022秋 巴中期末）如图，在中，，，，的对边分别为，，，则下列结论中不正确的是
A． B．
C． D．
7．（2023秋 淄博期末）如图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器按此顺序输入：
，显示屏显示的结果为88.44300964．将这个数据精确到0.1后，下列说法正确的是
A．的正切函数值约为88.4
B．正切函数值为36.79的角约是88.4
C．的正切函数值约为88.4
D．正切函数值为36.79的角约是
8．（2024秋 宁阳县期中）如图，在的正方形方格图形中，每个小正方形边长为2，小正方形的顶点称为格点，△的顶点都在格点上，则图中的正弦值是
A．2 B． C． D．
9．（2024秋 宁阳县期中）如图，在△中，，，，延长到点，使，连接．利用此图，可算出的值是
A． B．2 C． D．
10．（2024秋 洛宁县月考）第14届国际数学教育大会会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形△，△，△，△和一个小正方形拼成的大正方形．若，则
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题）
11．（2024秋 浦东新区月考）已知为锐角，且，那么的余弦值为 ．
12．（2024秋 裕安区月考）比较大小： ．
13．（2024秋 青浦区期中）在△中，，，，那么 ．
14．（2024 桂林二模）如图，一根竖直的木杆在离地面的处折断，木杆顶端落在地面的处上，与地面的夹角为，若，则木杆折断之前高度为 ．
15．（2024秋 合肥月考）如图，在△中，，，垂足为点，，则 ．
16．（2022秋 余姚市校级期末）如图，点在半径为2的内，，为上一动点，当取最大值时，的度数为 ，的长等于 ．
三．解答题（共8小题）
17．（2023秋 甘州区校级月考）计算：
（1）；
（2）；
（3）．
18．（2024秋 雁塔区校级期中）在中，，是中线，，．求，和．
19．（2024 秦都区校级一模）在中，，，，分别是、、的对边．
（1）已知，，求；
（2）已知，，求．
20．（2024秋 岱岳区期中）如图，在△中，，．
（1）求的值；
（2）延长至点，使得，求的长．
21．（2024秋 莘县期中）某数学兴趣小组到一公园测量塔楼的高度，如图所示，塔楼剖面图与斜坡剖面图在同一平面内，在斜坡底部处测得塔顶的仰角为，沿斜坡走13米到达斜坡处，测得塔顶的仰角为，且斜坡的坡度，其中点，，，在同一条水平直线上．求：
（1）点到地面的距离；
（2）塔的高．（精确到0.1米）（参考数据：，，，，，
22．如图，为沙坪坝区物流中心，，，为三个菜鸟驿站，在的正南方向处，在的正东方向，在的南偏西方向处，在南偏西方向．，，，，，
（1）求驿站，驿站之间的距离（结果精确到；
（2）“双11”期间，派送员从沙坪坝区物流中心出发，以的速度沿着———的路线派送快递到各个驿站，派送员途径，两个驿站各停留存放快递，请计算说明派送员能否在内到达驿站？
23．（2024秋 张店区校级月考）如图所示，根据提供的数据回答下列问题：
（1）在图①中， ， ， ；
在图②中， ， ， ；
通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明；
（2）在图①中， ， ；
在图②中， ， ；
通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明．
24．（2024 鼓楼区校级模拟）直觉的误差：有一张的正方形纸片，面积是．把这些纸片按图1所示剪开成四小块，其中两块是三角形，另外两块是梯形．把剪出的4个小块按图2所示重新拼合，这样就得到了一个的长方形，面积是，面积多了这是为什么？
小明给出如下证明：如图2，可知， ， ．，，，，，因此、、三点不共线，同理、、三点不共线．所以拼合的长方形内部有空隙，故面积多了．
（1）将小明的证明补充完整， ， ；
（2）小红给出的证明思路为：以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，证明三点不共线，请你帮小红完成她的证明．
