中小学教育资源及组卷应用平台
专题2:累加法和累乘法求数列的通项公式---自检定时练--详解版
一、单选题
1．已知数列的首项，且，则（ ）
A．810 B．820 C．830 D．840
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用累加法、结合等差数列前项和公式计算即得.
【详解】数列中，，，
则.
故选：B
2.在数列中，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】由，可以采用累加法进行求解.
【详解】由，则
，
，
，
，
…
，
以上各式累加得．
所以．
因为也适合上式，
所以．
故选：C.
3．在数列中，，，则等于（ ）
A．4 B． C．13 D．
【答案】A
【分析】由于，然后由累加法求解即可.
【详解】依题意，在数列中，，，
即，
所以
．
故选：A
4.南宋数学家杨辉在《解析九章算法 商功》一书中记载的三角垛 方垛 刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，，设第层有个球，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可得，用累加法求得，从而得，再利用裂项相消法求解即可.
【详解】由题意可得，，，，，
于是有，
所以，，，
，，，
将以上个式子相加，得，
所以，
所以
.
故选：D.
5.已知数列的项满足，而，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】依题意可得，利用累乘法计算可得.
【详解】因为，所以，
则，，，，，，
累乘可得，
所以，又，所以，
经检验时也成立，
所以.
故选：B
6.已知数列对任意满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由，得，从而，再利用累乘法求解.
【详解】解：由，得，
所以，
所以，即①．
又因为②，
①②两式相乘，得．
故选：A．
多选题
7．已知数列满足，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，且，则
C．若，则
D．若，则数列的前项和
【答案】ABD
【分析】对于A，令，即可判断；对于B，由可得，从而有，进而得到，即可判断；对于C，令，利用累乘法即可求得，从而可判断；对于D，令，得是以1为首项，1为公差的等差数列，即可求得，从而可判断.
【详解】对于A，令，则，A正确；
对于B，由题可知，
因为，所以，所以，
所以，即，B正确；
对于C，令，则，所以，
累乘可得，所以错误；
对于D，令，则，所以是以1为首项，1为公差的等差数列，所以正确.
故选：ABD.
8．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．1225既是三角形数，又是正方形数
C．
D．，总存在，使得成立
【答案】BCD
【分析】用累加法求出、，再用裂项相消法可判断A；
分别令和，看有无正整数解即可判断B；
将放缩后用裂项相消求和即可判断C；
取即可判断D.
【详解】三角形数构成数列：1，3，6，10，…，
则有，
利用累加法，得，得到，n=1时也成立；
正方形数构成数列：1，4，9，16，…，
则有，
利用累加法，得，得到，n=1时也成立.
对于A，，利用裂项求和法：，故A错误；
对于B，令，解得；
令，解得；故B正确；
对于C，，则
，
整理得，，故C正确；
对于D，取，且，则令，
则有，故，总存在，使得成立，
故D正确.
故选：BCD.
填空题
9．已知数列满足，，则 .
【答案】，
【分析】利用累加法可求数列的通项公式.
【详解】因为，
所以.
所以，，…，
以上各式相加，得：
所以
又也符合上式，
所以，.
故答案为：，
10．已知数列满足，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】由题意可得数列是首项为，公比为的等比数列，由累乘法求出，结合指数函数和二次函数的性质求即可得出答案.
【详解】因为，所以，
所以，因此数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
当时，，
因为时，，所以，
因此当或时，取得最小值，为.
故答案为：.
解答题
11.已知数列满足，，求数列的通项公式.
【答案】.
【分析】将条件变形得到，累加法，结合等比数列求和公式得到，从而得到通项公式.
【详解】可化为，
，，，…，，，
将以上个式子相加，得，
即.
，
，，经验证时也满足，
故.
12．已知数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据与的关系结合累乘法求解即可；
（2）利用错位相减法求解即可.
【详解】（1）令，得，
当时，因为，所以，
两式相减得，
即，所以，
所以，即，
所以，
又，符合上式，所以；
（2），
则，
，
两式作差得，
即，
所以．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题2:累加法和累乘法求数列的通项公式---自检定时练--学生版
【1】知识清单
①累加法求通项
适用于：，一般转化为(其中可求和)，
两边分别累加加得：，并验证，求出数列的通项公式
②累乘法求通项
适用于：，一般转化为其中可求积)，，
两边分别累乘得：，并验证，求出数列的通项公式
【2】微型自检报告
完成时间 不会解答的题号 解答错误的题号 需要重点研究的题目
分钟
【3】自检定时练(建议40分钟)
一、单选题
1．已知数列的首项，且，则（ ）
A．810 B．820 C．830 D．840
2.在数列中，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．在数列中，，，则等于（ ）
A．4 B． C．13 D．
4.南宋数学家杨辉在《解析九章算法 商功》一书中记载的三角垛 方垛 刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，，设第层有个球，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5.已知数列的项满足，而，则（ ）
A． B． C． D．
6.已知数列对任意满足，则（ ）
A． B． C． D．
多选题
7．已知数列满足，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，且，则
C．若，则
D．若，则数列的前项和
8．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．1225既是三角形数，又是正方形数
C．
D．，总存在，使得成立
填空题
9．已知数列满足，，则 .
10．已知数列满足，则的最小值为 ．
解答题
11.已知数列满足，，求数列的通项公式.
12．已知数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【4】核对简略答案,详解请看解析版！
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C A D B A ABD BCD
9.【答案】，
10.【答案】
11.【答案】.
12.【答案】(1) (2)
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
