2.5.1圆的标准方程 教学设计（表格式）-2024-2025学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

课题名称：数学选择性必修第1册 第2章 2.5.1圆的标准方程
教学方法： “一体二化三导四学”教学模式和自主学习模式. （一体二化三导四学：以学生为主体，教学内容问题化，教学活动探究化，引导，指导，督导，自主学习，探究学习，合作学习，体验学习）
教学目标： 1. 掌握圆的标准方程，理解圆的标准方程及其推导过程； 2.能够根据圆的标准方程正确地写出其圆心和半径； 3.掌握圆的标准方程的特点，能根据已知条件求出圆的标准方程. 4.通过自主探究和测试过程，让学生经历圆的标准方程的推导过程，体会“坐标法”思想，归纳出求圆的标准方程的一般步骤，并推广出求曲线方程的一般步骤；
教学重点、难点： 教学重点： 1.圆的标准方程的求法及其应用； 2.根据圆的标准方程写出圆心的坐标和圆的半径的大小． 教学难点：根据不同的已知条件，求圆的标准方程.
教学过程
【教学过程与设计】 整个教学过程是由问题链驱动的，共分为五个环节： 创设情境启迪思维 深入探究获得新知 课堂实练巩固提高 变式训练提炼方法 小结反思拓展引申
【教学程序与设计意图】 （一）创设情境——启迪思维 问题一：大家请看这幅图，你们都认识吗？ 它就是阴阳双鱼太极图，它博大精深，包罗万象，今天我们就用数学 的眼光来观察一下，构成太极图的基本图形是什么？圆。圆是大家早 已熟悉的图形，对于它的性质也早已熟知，那么今天我们将从另一个 角度来研究它.大家回忆一下，在平面直角坐标系中，一个关于 的二元一次方程都表示一条直线，那么，我们能否找到一个方程来表示圆呢？如果能，它的方程又有怎样的特征呢？ 【设计意图】这个引入从数学文化入手，让学生感到既耳目一新，又能深刻感受到数学存在于生活中，存在于我们悠久的文化中，从而引导学生用数学的眼光去观察生活。 在太极图上建立直角坐标系，将太极图中圆上的每一个点坐标化， 从而引导学生从另一个角度——解析几何角度去研究圆，这也是本章节的 重点，解析几何的本质就是用代数的方法去研究几何问题。这样的引入不 仅让学生眼前为之一亮，激发了其学习的兴趣，而且在内容上也做到了前 后知识相联系，让学生的思维快速地进入课堂中新知部分地探究. 通过对问题一的探究，抓住了学生的注意力，把学生的思维引到用坐标法研究圆的方程上来，此时再把问题深入，进入第二环节. （二）深入探究——获得新知 问题二：在平面直角坐标系中，半径为r的圆C的方程是什么？ 【设计意图】这一环节首先让学生自主思考，然后小组合作探究，得出圆的方程的步骤.
（三）课堂实练——巩固提高 I．直接应用内化新知 问题三： 1．下列方程是否表示圆？若是，请指出圆心和半径. (1) (2) (3) (4) (5) 2．写出圆心为，半径长为的圆的方程，并判断是否在圆上. 【设计意图】在这里，我设计了两个小问题，第一题是直接给出圆的方程，让学生写出圆心坐标和半径，第二题是给出圆的圆心坐标和半径求圆的标准方程，并回答具体点与圆的位置关系，这两题比较简单，可以安排学生口答完成，目的是先让学生熟练掌握圆心坐标、半径与圆的标准方程之间的关系，为后面的探究问题作准备.
II．灵活应用提升能力 问题四：例 已知圆经过点A（1,1）和B（5,5）两点，若AB为圆的直径，求圆的方程. 变式1.已知圆经过点A（1,1）和B（5,5）两点，若圆心在直线上，求圆的标准方程. 变式2.已知圆经过点A（1,1）和B（5,5）两点，若点C（5,1）也在圆上，求圆的标准方程. 变式3.已知圆经过点A（1,1）和B（5,5）两点，若圆的面积最小，求圆的标准方程. 【设计意图】在这个环节，我设置了1个问题以及3个便是，问题（1）已知两点坐标，求以该两点形成的线段为直径的圆的标准方程？（2）如果已知两点坐标，圆心在已知直线上，圆的标准方程如何求？（3）如果有第三点在圆上，那么怎样求同时过该三点的圆的标准方程？老师继续对题目进行创新，⑷求过两点的面积最小的圆的标准方程？在整个课堂中，我通过一题多变设置，使学生不仅收获了数学知识和方法，还使学生的逻辑推理能力和解题能力得到一定的提升。
（四）小结反思——拓展引申 课堂小结 （1）我们学到了哪些新的数学知识？ （2）我们运用了哪些解题方法和数学思想？ 激发新疑 问题五： 1．把圆的标准方程展开后是什么形式？ 2．方程表示什么图形？ 　　【设计意图】在本课的结尾设计这两个问题，作为对这节课内容的巩固与延伸，让学生体会知识的起点与终点都蕴涵着问题，旧的问题解决了，新的问题又产生了.在知识的拓展中再次掀起学生探究的热情.另外它为下节课研究圆的一般方程作了重要的准备. 在这一次课的结束，我用了一副对联，横批是求真向上，上联是定心有量数形结合圆巧解， 下联是勤学善问德智齐修中华兴。
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