6.1 平面向量的概念（教学设计）- 【上好课】高一数学必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

6.1 平面向量的概念 教学设计
教学目标
1.了解任意角以及象限角的概念，会判断一个任意角是第几象限角，发展数学抽象素养．
2.理解角的加减运算以及相反角的概念．
3.掌握与角终边相同的角的表示方法．
重点难点
教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.
教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
学情分析&教材分析
本节内容是平面向量的概念，由物理中的路程和位移情境导入，学习平面向量的概念、表示以及平面向量之间的关系这些知识点，为平面向量的运算做铺垫。
学习目标
1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量,了解向量的实际背景.掌握向量与数量的区别.
2.掌握向量的几何表示,会用字母表示向量,用向量表示点的位置.
3.理解向量、零向量、单位向量、向量的长度(模)的意义,了解平行向量(共线向量)和相等向量的意义,并会判断向量间共线(平行)、相等的关系.
导入新知
情境导入：
情境一：小船由A地航行15 n mile 到达B地。试问小船能到达B地吗？
情境二：小船由A地向东南方向航行15 n mile 到达B地。试问小船能到达B地吗？
问:位移和距离这两个量有什么不同？
情境三：物体受到的重力是竖直向下的，物体的质量越大，它受到的重力越大。
情境四：物体在液体中受到的浮力是竖直向上的，物体浸在液体中的体积越大，它受到的浮力越大。问:你能通过这些物理量得出向量的概念吗？
在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后只用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等．还有一些量则不是这样，例如下图中小船的位移，小船由A地向东南方向航行15 n mile到达B地（速度的大小为10 n mile/h)．这里，如果仅指出“由A地航行15 n mile”，而不指明“向东南方向”航行，那么小船就不一定到达B地了．这就是说，位移是既有大小又有方向的量．力、速度、加速度等也是这样的量．对这种既有大小又有方向的量加以抽象，就得到了我们本章将要研究的向量．
向量是近代数学中重要和基本的概念之一，向量理论具有丰富的物理背景、深刻的数学内涵．向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁，是进一步学习和研究其他数学领域问题的基础，在解决实际问题中发挥着重要作用．
本章我们将通过实际背景引入向量的概念，类比数的运算学习向量的运算及其性质，建立向量的运算体系．在此基础上，用向量的语言、方法表述和解决现实生活、数学和物理中的一些问题．
我们知道，力、位移、速度等物理量是既有大小、又有方向的量．本节我们将通过对这些量的抽象，形成向量概念及其表示方法；通过研究向量之间的一些特殊关系，初步认识向量的一些特征．
向量的实际背景与概念
在本章引言中，小船位移的大小是A，B两地之间的距离15 n mile，位移的方向是东南方向；小船航行速度的大小是10 n mile/h，速度的方向是东南方向．又如，物体受到的重力是竖直向下的（图6.1-1)，物体的质量越大，它受到的重力越大；物体在液体中受到的浮力是竖直向上的（图6.1-2)，物体浸在液体中的体积越大，它受到的浮力越大．
力、位移、速度等有各自的特性，而“既有大小，又有方向”是它们的共同属性．我们知道，从一支笔、一棵树、一本书……中，可以抽象出只有大小的数量“1”．类似地，我们可以对力、位移、速度……这些量进行抽象，形成一种新的量．
在数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向量(vector)，而把只有大小没有方向的量称为数量，如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等都是数量．
物理学中常称向量为矢量，数量为标量，你还能举出物理学中的一些向量和数量吗？
向量的几何表示
由于数量可以用实数表示，而实数与数轴上的点一一对应，所以数量可用数轴上的点表示，而且不同的点表示不同的数量．那么，该如何表示向量呢？
我们仍以位移为例，小船以A为起点，B为终点，我们可以用连接A，B两点的线段长度代表小船行进的距离，并在终点B处加上箭头表示小船行驶的方向．于是，这条“带有方向的线段”就可以用来表示位移．受此启发，我们可以用带箭头的线段来表示向量，线段按一定比例（标度）画出，它的长短表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向．
通常，在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B为终点，我们就说线段AB具有方向，具有方向的线段叫做有向线段(directed line segment)(图6.1-3)．
通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段的长度也叫做有向线段的长度，记作．
有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． 知道了有向线段的起点、方向和长度，它的终点就唯一确定了．
向量可以用有向线段表示，我们把这个向量记作向量．有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．用有向线段表示向量，使向量有了直观形象．
向量的大小称为向量的长度（或称模），记作．长度为0的向量叫做零向量（zero vector)，记做．长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量（unit vector)．
向量也可以用字母，，，…表示．
应用新知
例1 在图6.1-4中，分别用向量表示A地至B，C两地的位移，并根据图中的比例尺，求出A地至B，C两地的实际距离（精确到1km)．
解： 表示A地至B地的位移，且；
表示A地至C地的位移，且．
【变式】如图所示，在平行四边形中成立的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质及相等向量的定义判断即可.
【详解】在平行四边形中且，且，
所以，.
故选：D
相等向量与共线向量
下面，我们通过向量之间的关系进一步认识向量．
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（parallel vectors)．如图6.1-5，用有向线段表示的向量与是两个平行向量． 向量与平行，记作．
我们规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量，都有．
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量（equal vector)．如图6.1-6，用有向线段表示的向量与相等，记作．
任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关；同时，两条方向相同且长度相等的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的模和方向确定．
如图6.1-7，，，是一组平行向量，任作一条与所在直线平行的直线，在上任取一点，则可在l上分别作出，，．这就是说，任一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此，平行向量也叫做共线向量（collinear vectors)．
例2 如图6.1-8，设O是正六边形ABCDEF的中心．
（1）写出图中的共线向量；
（2）分别写出图中与，，相等的向量．
解：（1）是共线向量；
是共线向量；
是共线向量．
（2）
【变式】如图，为正方形对角线的交点，四边形，都是正方形.在图中所示的向量中：
(1)分别写出与，相等的向量；
(2)写出与的相反向量；
(3)写出与模相等的向量.
【答案】(1)，
(2)，
(3)，，，，，，
【分析】（1）根据相等向量的定义直接求解即可；
（2）根据相反向量的定义直接求解即可；
（3）根据模相等向量的定义求解即可.
【详解】（1）由题意，．
（2）由题意，与的相反向量为：，．
（3）由题意，与模相等的向量为：，，，，，，．
能力提升
题型一、向量的有关概念及辨析
【练习1】下列说法中正确的是（ ）
A．平行向量就是向量所在的直线平行的向量 B．长度相等的向量叫相等向量
C．零向量的长度为零 D．共线向量是在一条直线上的向量
【答案】C
【分析】直接根据共线向量、相等向量、零向量的概念判断即可．
【详解】解：平行向量也叫共线向量，是指方向相同或相反的两个向量，另外规定零向量与任意向量平行，故A，D错；
相等向量是指长度相等、方向相同的向量，故B错；
长度为零的向量叫零向量，故C对；
故选：C．
【点睛】本题主要考查平面向量的有关概念，属于基础题．
1．判断一个量是否为向量的2个关键条件
(1)大小；(2)方向，两个条件缺一不可．
2．理解零向量和单位向量应注意的问题
(1)零向量的方向是任意的；
(2)单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．　　
解决与向量概念有关问题的关键是突出向量的核心——方向和长度,只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题.
题型二、相等向量与共线向量
【练习2】下列命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；②长度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若，则.其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据平面向量的相关概念，逐项判断，即可得到本题答案.
【详解】对于①，由共线向量的定义可知：方向相反的两个向量也是共线向量，故①错误；
对于②，长度相等，方向相同的向量是相等向量，故②正确；
对于③，平行向量的方向相同或相反，不一定方向相同，所以不一定相等，故③错误；
对于④，若，可能只是方向不相同，但模长相等，故④错误.
故选：A
相等向量与共线向量的探求方法:
(1)寻找相等向量:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是同向共线.
(2)寻找共线向量:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向与反向的向量.
题型三　向量的表示与向量的模
【练习3】在方格纸（每个小方格的边长为1）中，画出下列向量．
(1)，点在点的正东方向；
(2)，点在点的北偏东方向；
(3)求出的值．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)．
【知识点】平面向量的概念与表示、向量的模
【分析】（1）根据要求画出点的位置即可；
（2）根据要求画出点的位置即可；
（3）向量由点指向点，画出图形即可求出．
【详解】（1）所求向量如图所示：
（2）所求向量如图所示：
（3）由图知，是等腰直角三角形，所以．
(1)向量的两种表示方法
①几何表示法:先确定向量的起点,再确定向量的方向,最后根据向量的长度确定向量的终点;
②字母表示法:为了便于运算可用字母a,b,c表示,为了联系平面几何中的图形性质,可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量.
(2)向量的模也就是向量的长度,求解已知图形中的向量的模的问题,一般转化为求图形中线段的长度问题.
【感悟提升】
用有向线段表示向量的步骤
　　
课堂总结
1.向量的概念及表示
(1)定义:既有大小又有方向的量叫做向量.
(2)表示:
①有向线段:具有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素:起点、方向、长度.
(3)两个特殊向量:
①零向量与非零向量:
长度为0的向量叫做零向量.印刷时用加粗的阿拉伯数字零表示,即0;书写时,可写为.长度不为0的向量称为非零向量.
②单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量.
2.向量间的关系
(1)平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,向量a,b平行,记作a∥b.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量a,都有0∥a.
(2)相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量;向量a与b相等,记作a=b.
【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
作业设计
习题6.1 2,3题
板书设计
§6.1 平面向量的概念
情境导入 三、课堂小结
1.向量概念 2.向量的表示 3.向量之间的关系
二、探索新知 四、作业布置
例1、2、
练习（第4页）
1．下列量中哪些是向量？
悬挂物受到的拉力，压强，摩擦力，频率，加速度．
1．解析：悬挂物受到的拉力，摩擦力，加速度都是向量．
2．画两条有向线段，分别表示一个竖直向下、大小为18 N的力和一个水平向左、大小为28 N的力．（用1 cm长表示10 N）
2．解析：图（1）表示竖直向下、大小为18 N的力，图（2）表示水平向左、大小为28 N的力．
3．指出图中各向量的长度．（规定小方格的边长为0.5）
3．解析：．
4．将向量用具有同一起点的有向线段表示．
（1）当与是相等向量时，判断终点与的位置关系；
（2）当与是平行向量，且时，求向量的长度，并判断的方向与的方向之间的关系．
4．解析：（1）当与是相等向量时，终点与重合．
（2）当与方向相同时，，且与方向相反；
当与方向相反时，，且与方向相同．
习题6.1（第5页）
复习巩固
1．在如图所示的坐标纸（规定小方格的边长为1）中，用直尺和圆规画出下列向量：
（1），点在点的正南方向；
（2），点在点北偏西方向；
（3），点在点南偏西方向．
1．解析：
2．如图，点是平行四边形ABCD的对角线的交点，且，，，分别写出平行四边形ABCD和折线中与，，相等的向量．
2．解析：与相等的向量有；与相等的向量有；与相等的向量有．
综合运用
3．判断下列结论是否正确（正确的在括号内打“√”，错的打“×”），并说明理由．
（1）若与都是单位向量，则． （ ）
（2）方向为南偏西的向量与北偏东的向量是共线向量． （ ）
（3）直角坐标平面上的轴、轴都是向量． （ ）
（4）若与是平行向量，则． （ ）
（5）若用有向线段表示的向量与不相等，则点与不重合． （ ）
（6）海拔、温度、角度都不是向量． （ ）
3．解析：（1）× 单位向量的长度都是1，但方向可能不同．
（2）√ 方向为南偏西的向量与北偏东的向量方向相反，它们是共线向量．
（3）× 轴和轴都只有方向而没有大小，因此它们不是向量．
（4）× 因为同向或反向的向量是平行向量，与的方向不一定相同，模也不一定相等，所以不一定成立．
（5）√ 假设点与重合，则，这与与不相等矛盾，所以点与不重合．
（6） √ 因为海拔、温度、角度只有大小，没有方向，所以它们都不是向量．
拓广探索
4．如图，在矩形中，，，分别为边，的中点，在以，，，，，为起点和终点的所有有向线段表示的向量中，相等的向量共有多少对？
4．解析：易知，则模为1的相等向量共有18对，其中与同向的共有6对；与反向的也有6 对；与同向的共有3对；与反向的也有3对．模为的相等向量共有4对．模为2的相等向量共有2 对．综上，相等的非零向量共有24对．
思考与阅读
向量及向量符号的由来
向量最初应用于物理学，被称为矢量．很多物理量，如力、位移、速度、电场强度、磁感应强度等都是向量．向量的概念萌芽于二千多年前，大约在公元前350年，古希腊著名学者亚里士多德（Aristotle，公元前384一前322)就知道了力可以表示成向量．“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最先使用有向线段表示向量的是英国科学家牛顿（Isaac Newton，1642-1727)．
向量是一种带几何性质的量，除零向量外，总可以画出“箭头表示方向，线段长表示大小”的有向线段来表示它．1806年，瑞士人阿尔冈（J．R． Argand,1768-1822)以表示有向线段或向量．1827年，默比乌斯（A． F．Mobius,1790-1868)以表示起点为A，终点为B的向量，这种用法被数学家广泛接受．另外，哈密顿（W．R．Hamilton，1805-1865）、吉布斯（J．W．Gibbs,1839-1903)等人则以小写希腊字母表示向量．后来，字母上加箭头表示向量的方法逐渐流行，尤其用在手写稿中；为了方便印刷，人们又用粗黑体小写字母a，b等表示向量．这两种符号一直沿用至今．
莱布尼茨（G．W．Leibniz，1646-1716）曾经从位置几何学研究的视角进行过预想：“我已经发现了一些完全不同的有新特点的元素，即使在没有任何图形的情况下，它也能有利于表达思想、表达事物的本质．我的这个新系统能紧跟可见的图形，以一种自然的、分析的方式，通过一个确定的程序同时给出解、构造和几何的证明．”莱布尼茨所说的“有新特点的元素”和“新系统”就是逐渐形成和发展起来的向量及其理论．
向量进入数学并得到发展，是从复数的几何表示开始的．1797年，丹麦测量学家韦塞尔（Caspar Wessel，1745-1818）把复数表示为向量，并利用向量定义复数运算．他把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何与三角问题．人们逐步接受了复数，也学会了利用复数表示、研究平面中的向量．
发展到现在，向量在数学、物理、计算机科学与技术等学科，以及社会生产、生活、经济、金融与贸易等各领域中都有广泛的应用，成为解决这些领域中各种问题的有力工具．
你能说一说用符号表示向量所起的重要作用吗？