上海市2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题（含解析）

2024－2025学年上海市高二年级上学期
12月月考数学试卷
2024.12
一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1－6题每个空格填对得4分，7－12题每个空格填对得5分，否则一律得0分．
1．抛掷两枚质地均匀的骰子，观察两枚骰子出现“两个点数相等”的概率为_______．
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若则
3．事件A、B互斥，它们都不发生的概率为，且P（A）=3P（B），则P（B）=_______．
4．已知圆锥的母线长为10，侧面展开图的圆心角为π，则该圆锥的体积为_______．
5．某次数学考试后，随机选取14位学生的成绩，得到如下茎叶图，其中个数部分作为“叶”，百位数和十位数作为“茎”，若该组数据的第25百分位数是87，则x的值为_______．
6．已知某组数据为x，y，8，10，11．它的平均数为8，方差为6，则．的值为_______．
7．某校抽取100名学生测身高，其中身高最大值为186cm，最小值为154cm，根据身高数据绘制频率组距分布直方图，组距为5，且第一组的下限为153．5，则组数为_______．
8．某圆柱形容器里有一个球，该球与圆柱形容器的底面和侧面都相切，若球的体积为则圆柱的表面积为_______．
9．如图，在正方体中，E是棱CC 的中点，记平面AD E与平面ABCD的交线l ，平面AD E与平面ABB A 的交线l ，若直线AB与l 所成角为α，直线AB与l 所成角为β，则sin（2α－β）的值是_______．
10．甲、乙、丙三名志愿者需要完成A，B，C，D，E五项不同的工作，每项工作由一人完成，每人至少完成一项，且E工作只有乙能完成，则不同的安排方式在_______种．
11．一颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6．随机地抛掷该骰子三次（各次抛掷结果相互独立），所得的点数依次为a ，a ，a ，则事件发生的概率为_______．
12．将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以Pn表示没有出现连续2次正面的概率，则
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，……，50．从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行：
若从表中第1行第7个数字开始向右依次读取数据，则得到的第5个样本编号是（）．
A．09 B．05 C．65 D．71
14．设无穷等比数列{an}的首项为a ，公比为q，前n项和为Sn，则是“成立（）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
15．在数列{an}中，如果存在正整数T，使得对于任意的正整数m均成立，那么称数列{an}为周期数列，其中T叫做数列{an}的周期．已知数列{x }满足．如果当数列{x }的周期最小时，该数列前2024项的和是（）
A．674 B．1348 C．1350 D．2024
16．如图，在三棱锥A－A B C 中，AA ⊥平面A B C ，∠A B C =90°．P：为线段AB 的中点，M，N分别为线段AC 和线段B C 上任意一点，则的最小值为（）
B．
c． D．2
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若且a ，a ，a 成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若求数列{b }的前n项和．
18．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
如图，在直三棱柱中，D，E，F，G分别为AA ，AC，A C ，BB 的中点，
（1）求证：AC⊥GF；
（2）求异面直线FG与BD所成角的余弦值．
19．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
某类型题目需要从A，B，C，D四个选项中选出正确答案（四个选项中有两个或三个选项是正确的），其评分标准为全部选对则得6分，部分选对则得部分分数（两个答案的每个答案3分，三个答案的每个答案2分），有选错的得0分．
（1）有一道考试甲不会做，假设他随机选择两个或三个选项，且写下每种答案的可能性相等，若该题的正确的答案为ABD，求考生甲本题得4分的概率；
（2）现有2道两个正确答案的多项选择题，根据训练经验，每道题考生乙得6分的概率为得3分的概率为；考生丙得6分的概率为，得3分的概率为．乙、丙二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题乙、丙两位考生总分刚好得18分的概率．
20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
如图1，四面体ABCD中，△ABC为等边三角形，且AB=2，△ADC为等腰直角三角形，且∠ADC=90°．
（1）当时，求二面角D－－AC－B的正弦值：
（2）当时，当P为线段BD中点时，求直线AD与平面APC所成角正弦值；
（3）当BD=2时，若且PH⊥平面ABC，H为垂足，CD中点为M，AB中点为N；直线MN与平面APC的交点为G，当三棱锥P－ACH体积最大时，求的值．
21．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满二进一，就是二进制：满十进一就是十进制；满十六进一，就是十六进制等等．一般地，若k是一个大于1的整数，那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字符号连写在一起的形式其中并且最高位k进制的数也可以表示成不同位上数字符号与基数的幂的乘积之和的形式，如
例如十进制数所以25在三进制下可写为221（3）．
（1）设正整数m在三进制下的各位数字之和为S（m）：
①将满足S（m）=3的数从小到大排成一列，直接写出该列数的前四个数；
②在十进制1至2025中任选一个正整数m，求S（m）为3的倍数的概率．
（2）已知正整数a≤31，设正项数列{an}的前n项和为且求证：（其中[x]表示不大于x的最大整数）．
2024－2025学年上海市高二年级上学期
12月月考数学试卷
2024.12
一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1－6题每个空格填对得4分，7－12题每个空格填对得5分，否则一律得0分．
1．【答案】
【解析】抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），
基本事件总数，
观察两枚骰子出现“两个点数相等”包含的基本事件有：，（6，6），共6个，观察两枚骰子出现“两个点数相等”的概率为．
2．【答案】48
【解析】．
3．【答案】
【解析】根据题意，设，则，
事件、互斥，它们都不发生的概率为，则，
则有，
解可得，即．
4．【答案】
【解析】设圆锥底面的半径为，根据题意得，解得，
所以圆锥的高，所以圆锥的体积．
5．【答案】7
【解析】，则是数据从小到大排列后的第四位数是87，则．
6．【答案】65
【解析】因为．它的平均数为8，所以，解得，
由，得，
则，即．
7．【答案】7
【解析】，则组数为7．
8．【答案】
【解析】可设球的半径为，则根据题意可知圆柱的底面半径也为，
圆柱的高等于直径，即为，由球的体积为，
利用球的体积公式可得：，解得：，
再由圆柱的表面积公式得：
．
9．【答案】
【解析】延长与直线相交于，连接，则平面与平面的交线为，
即为直线，故即为，
又，
是棱的中点，且，
，
又为锐角，且，
则，
又平面平面平面，
所以平面，
又平面，平面平面，
所以，又，
故直线与所成角为，
又，故，
所以．
10．【答案】50
【解析】由题意可分为两类
（1）若乙只完成工作，即甲、丙二人完成A，B，C，D，四项工作，则一共有种安排方式；
（2）若乙不止完成工作，即甲、乙、丙三人完成A，B，C，D，四项工作，则一共有种安排方式．
综上共有种安排方式．
11．【答案】
【解析】所有投掷结果共有种，
由事件“”，
可得，
，
设，则，
还有一个数为，
由题意得．
当时，三个数为对应，有种方法，
当时，三个数为对应有种方法，
当时，三个数为对应有种方法，
当时，三个数为对应有种方法，
一共有种，
事件“”发生的概率为．
12．【答案】
【解析】由题意知，
设首次为正面向上时，第次抛硬币正面向上的结果数为，反面向上的结果数为，
则首次为反面向上时，第次抛硬币正面向上的结果数为，反面向上的结果数为，
首次为正面向上时，第次抛硬币正面向上的结果数为，反面向上的结果数为，
首次为反面向上时，第次抛硬币正面向上的结果数为，反面向上的结果数为，
首次为正面向上时，第次抛硬币正面向上的结果数为，反面向上的结果数为，
首次为反面向上时，第次抛硬币正面向上的结果数为，反面向上的结果数为，
所以，
设，则有，解得，
即
设，解得，
所以有，
即数列是以为公比的等比数列，
依次代入，即可得．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．【答案】A
【解析】依次读取的数据依次是37，14，05，11，09，则得到的第5个样本编号是09，故选A．
14．【答案】B
【解析】当时，，则，
故“”是“”不充分条件，
若“”，则，即“”，
故“”是“”必要条件，
综上可得：“”是“”成立必要非充分条件，
故选：B．
15．【答案】C
【解析】因为，所以，
因为数列是周期数列，而，
当时，可得，则，即，不满足题意，
当时，则，即，解得或（舍去），
则，不满足题意，
当时，则，即，则或，
当时，，即，解得（舍去），
当时，，此时，即，
又，即，则或，
当时，，此时，即，
当时，，即，解得（舍去），
所以且，故，
此时，，
，满足题意，
所以数列的周期最小值为3，
此时；；…，
故此时数列的前2024项和是．
故选：C．
16．【答案】C
【解析】平面，
，又，
平面，
，
在中，．
过点分别作，垂足分别，
，
，，
，
故选：C．
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17．【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设等差数列的公差为．
由，且成等比数列，
得，解得：，
数列的通项公式为．
（2）由（1）知，得，
．
18．【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）证明：在直三棱柱中，D，E，F，G分别为，的中点，
．
在直三棱柱中，平面，
四边形为矩形，
又，分别为，的中点，，且，
，，
，，平面，
平面，平面．
（2）由（1）知，
平面，平面，
平面，，
，，，．
以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
如图，
由题意得，，，
，，，
，
异面直线所成角的范围为，
异面直线与所成角的余弦值为．
19．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）甲同学所有可能的选择答案有10种：，，，，，，，，，，
设事件表示“猜对本题得4分”，
则，有3个样本点，
所以．
（3）由题意得乙得0分的概率为，丙得0分的概率为，
乙、丙总分刚好得18分的情况包含：
事件：乙得12分有一种情况，丙得6分有三种情况，
则，
事件：乙得9分有两种情况，丙得9分有两种情况，
则，
事件：乙得6分有三种情况，丙得12分有一种情况，
则，
所以乙、丙总分刚好得18分的概率．
20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
【答案】（1）；（2）；（3）1
【解析】（1）取的中点，连接，，
因为为等腰直角三角形，且，所以，则，
所以，又因为，
所以，则，又因为，
所以为二面角的平面角，
，
所以，
所以二面角的正弦值为．
（2）过点作轴垂直平面，又因为，
建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，，
设平画的法向量为，
则，
取，可得，所以，
设直线与平面所成角为，
，
直线与平面所成角正弦值为．
（3）取的中点，连接，，
因为为等腰直角三角形，且，
所以，则，所以，
又因为，所以，
则，又因为，
所以，又因为平面，
所以平面，
因为，，两两相互．垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，，，
设，因为，
所以由，可得：，
所以，
由（1）知，平面，又平面，
所以在上，
因为，所以，
，所以，
即，所以，
所以，
三棱锥体积为：
，
因为，当时，三棱锥体积最大为，此时，分别为，的中点，所以，
，，
，，，
设，设
因为，
所以，
所以，
因为在平面上，所以设，
所以，
所以
解得，
所以，所以．
21．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
【答案】（1）5，7，11，13；（2）；（3）见解析
【解析】（1）①由，
可得，
可得该列数的前四个数为5，7，11，13。
（2）设，
若为3的倍数，则为3的倍数，即，
所以，，
所以当为3的倍数时，中恰有一个是3的倍数，
所以都不是3的倍数．
而，这2022个数中，有个是3的倍数，
所以为3的倍数的概率为．
（3）由时，，可得，
由正项数列的前项和为，且，
可得，可得，
因为为正项数列，所以，所以，
因为所以，
结合时，，
两式作差得，
所以是以为首项，为公比的等比数列，可得，
因为，所以设，
则，
当时，，当时，，
所以，即，
，
当时，，
当时，，
所以，即，
同理可得，
当时，，所以，
所以
．