2024-2025学年陕西省商洛市洛南中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年陕西省商洛市洛南中学高二（上）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.抛物线的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
3.圆与圆的位置关系是( )
A. 相离 B. 外切 C. 内切 D. 相交
4.在空间四边形中，，分别为，的中点，，，，，( )
A. B.
C. D.
5.已知点是双曲线：的渐近线上在第一象限内的一点，为的左焦点，则直线斜率的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.已知点在直线上，那么的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知，为椭圆：的两个焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，已知正方体的棱长为，则( )
A.
B. 平面
C. 平面与平面的夹角为
D. 点到平面的距离为
10.已知方程表示的曲线为，则( )
A. 当时，曲线表示椭圆
B. 存在 ，使得表示圆
C. 当或时，曲线表示双曲线
D. 若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则焦距为
11.已知圆：，点是圆上的点，直线：，则( )
A. 直线与圆相交所得弦长是
B. 的最大值是
C. 圆上恰有个点到直线的距离等于
D. 过点向圆：引切线，为切点，则最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.平行线与间的距离为 ．
13.设，，，，，且，，则 ______．
14.如图，双曲线的左、右焦点，，为双曲线右支上一点，且，与轴交于点，若是的角平分线，则双曲线的离心率是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
求过点，且与直线平行的直线的一般式方程；
求点关于直线：的对称点的坐标．
16.本小题分
在过点，圆恒被直线平分，与轴相切，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知圆经过点，，_____．
求圆的一般方程；
设是圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程．
17.本小题分
在四棱锥中，底面，，，，．
证明：
求与平面所成的角的正弦值．
18.本小题分
已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点，，，的长半轴与的实半轴之差为，离心率之比为：．
求这两条曲线的方程；
求曲线以点为中点的弦所在直线的方程；
若为两条曲线的交点，求的余弦值．
19.本小题分
已知椭圆：的离心率为，焦距为．
求椭圆的标准方程；
若直线：与椭圆相交于，两点，且．
Ⅰ试求、的关系式；
Ⅱ证明：的面积为定值．
参考答案
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15.解：根据题意，设所求直线方程为，，
将点代入所求直线方程可得，解得，
故所求直线方程为；
法设点，由题意可知，，线段的中点在直线上，
且直线的斜率为，所以，
解得，故点的坐标为．
法由题意可得直线为线段的中垂线，
设直线的方程为，将点代入可得，解得，
即直线的方程为：，
联立，解得，，
即可得线段的中点，
由中点坐标公式，可得
16.解：选条件．
设圆的方程为，
则，解得，
则圆的方程为．
选条件．
直线恒过点．
因为圆恒被直线平分，所以恒过圆心，
所以圆心坐标为，
又圆经过点，所以圆的半径，所以圆的方程为，即．
选条件．
设圆的方程为，
由题意可得，解得，
则圆的方程为，即．
设，
因为为线段的中点，所以，
因为点是圆上的动点，所以，即，
所以的轨迹方程为．
17.解：如图所示，取中点为，连接，，则．
又，所以四边形为平行四边形．
又，
所以四边形为菱形，所以．
同理可得，四边形为菱形，所以，
所以．
因为底面，底面，所以，
又，平面，所以平面．
因为平面，所以．
由知，又，所以，
所以三角形为正三角形．
过点作垂直于的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，．
则，，．
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，所以．
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成的角的正弦值为．
18.解：中心在原点，焦点在轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点，，
，的长半轴与的实半轴之差为，离心率之比为：．
设椭圆方程为，
双曲线方程为，．
则，解得，，则，，
因此，椭圆方程为，双曲线方程为．
曲线以点为中点的弦的两端点分别为、，
由中点坐标公式可得，，
若轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，
因为，这两个等式作差可得，
所以，，可得，
所以，直线的方程为，即，
检验：联立可得，则，合乎题意，
因此，曲线以点为中点的弦所在直线的方程为．
不妨设、分别为两曲线的左、右焦点，是两曲线在第一象限的交点，
设，，由椭圆的定义可得，
由双曲线的定义可得，
解得，，
在中，由余弦定理可得．
19.解：由于的离心率为，所以，
又因为焦距为，所以，所以有，，所以，
因此的方程为．
联立椭圆方程和直线可得，
化简得，
根的判别式，
设，，根据韦达定理可得，，
所以，
所以，解得；
证明：由于，
又因为点到直线的距离，
因此三角形的面积
．
所以三角形的面积为．

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