2024-2025学年陕西省汉中市汉台二中等校高二（上）第二次月考数学试卷（12月份）（含答案）

2024-2025学年陕西省汉中市汉台二中等校高二（上）第二次月考
数学试卷（12月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，，是空间中互不相同的四个点，则( )
A. B. C. D.
2.抛物线的准线方程是( )
A. B. C. D.
3.已知是椭圆：上的一点，，分别是椭圆的左，右焦点，则( )
A. B. C. D.
4.设为实数，已知向量，，若，则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知，则在方向上的投影为( )
A. B. C. D.
6.已知是空间的一组基，若是空间的另一组基，则不可以为( )
A. B. C. D.
7.若直线与直线平行，则与之间的距离为( )
A. B. C. D.
8.已知正方体的棱长为，，分别在，上，且，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于空间向量的说法中不正确的是( )
A. 方向相反的两个向量是相反向量
B. 空间中任意两个单位向量必相等
C. 若向量满足，则
D. 相等向量其方向必相同
10.在空间直角坐标系中，点，，，则下列结论正确的有( )
A. 点关于轴的对称点的坐标为 B.
C. D.
11.某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数的图象是双曲线，设其焦点为，，若为其图象上任意一点，则( )
A. 是它的一条对称轴 B. 它的离心率为
C. 点是它的一个焦点 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知空间向量，，则 ______．
13.已知三点不共线，点为平面外一点，若由向量确定的点与共面，那么
14.已知点为抛物线：上的动点，点为圆上的动点，设点到轴的距离为，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线：，直线：，设直线与的交点为，点的坐标为．
Ⅰ求经过点且与直线垂直的直线方程；
Ⅱ求以线段为直径的圆的方程．
16.本小题分
如图，给定长方体，，，点在棱的延长线上，且设，，．
试用表示向量；
求．
17.本小题分
如图，在矩形中，，，矩形所在平面外一点满足平面，、分别是、的中点，且请建立适当的空间直角坐标系，然后证明：
Ⅰ；
Ⅱ，，共面．
18.本小题分
已知拋物线：的焦点在直线上．
求拋物线的方程；
设直线经过点，且与拋物线有且只有一个公共点，求直线的方程．
19.本小题分
已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率为，点在椭圆上，且满足轴，．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ若直线交椭圆于，两点，求为坐标原点面积的最大值．
参考答案
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15.解：Ⅰ易知的斜率为，故所求直线斜率是，
又直线过点，故直线方程为，
故所求方程为；
Ⅱ联立方程组，解得，
故，，由中点坐标公式得中点坐标为，
由两点间距离公式得：，
故所求圆方程为．
16.解：因为点在棱的延长线上，且，
所以，
则．
由题意得，
又，
所以．
17.证明：Ⅰ如图，以为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
已知，，，则，，，，，
为的中点，为的中点，，，
，，
，
，．
Ⅱ由Ⅰ得，，，
，
，，共面．
18.解：由拋物线方程 ，知其焦点在轴正半轴上，
在直线中，令，得焦点坐标为，所以，即，
故拋物线的方程是．
直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由方程组 消去，得，
因为直线与拋物线有且只有一个公共点，所以，解得或．
此时直线的方程为或；
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，直线与拋物线有且只有一个公共点．
综上，可得当直线的方程为，或时，直线与拋物线有且只有一个公共点．
19.解：由已知得，又由，
可得，，
得椭圆方程为，
因为点在第一象限且轴，
可得的坐标为，
由，解得，
所以椭圆方程为；
设，，
将代入椭圆，可得，
由，即，可得，
则有
所以，
因为直线与轴交点的坐标为，
所以的面积，
令，由知，
可得，当且仅当时，取等号．
所以时，面积最大为．
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