2024-2025学年陕西省榆林市高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年陕西省榆林市高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点，，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.若直线是圆的一条对称轴，则该圆圆心坐标为( )
A. B. C. D.
3.“直线与直线平行”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知椭圆：与双曲线：的离心率互为倒数，则双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
5.过抛物线：焦点的直线交于、两点，过点作该抛物线准线的垂线，垂足为，若是正三角形，则( )
A. B. C. D.
6.已知椭圆：的左、右焦点分别为、，点在上，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.已知两直线与的交点在圆的内部，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.若椭圆的一个焦点和一个顶点在圆上，则该椭圆的离心率不可能为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知关于，的方程表示的曲线是，则曲线可能是( )
A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆
10.若圆：与圆：的交点为，，则( )
A. 公共弦所在直线方程为
B. 线段中垂线方程为
C. 过点作圆：的切线方程为
D. 若实数，满足圆：，则的最大值为
11.已知双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角已知、分别为双曲线：的左、右焦点，过右支上一点作双曲线的切线交轴于点，交轴于点，则( )
A. 双曲线的离心率为
B. 直线的方程为
C. 过点作，垂足为，为原点，则
D. 四边形面积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线：与直线：间的距离是______．
13.设是抛物线上的一个动点，为抛物线的焦点，若点，则的最小值为______．
14.如图，半径为的圆与轴和轴都相切当圆沿轴向右滚动，圆滚动到与出发位置时的圆相外切时，记此时圆心为；当圆沿轴向上滚动，圆滚动到与出发位置时的圆相外切时，记此时圆心为若直线与圆和圆都相切，且与圆相离，则直线的方程为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线过定点．
若直线与直线垂直，求直线的方程；
若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程．
16.本小题分
已知圆经过三点，，．
Ⅰ求圆的方程；
Ⅱ若过点的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程．
17.本小题分
已知双曲线：的一个焦点到一条渐近线的距离为，离心率为设直线交双曲线的右支于、两点，交轴于点，且线段的中点为，为原点．
Ⅰ求双曲线的方程；
Ⅱ求直线的方程；
Ⅲ求的面积．
18.本小题分
已知抛物线：，过点的直线与抛物线交于，两点，为原点，直线交抛物线的准线于点．
Ⅰ若，求实数的值；
Ⅱ是否存在正数，使得，若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由．
19.本小题分
已知椭圆：过的三个顶点，，，当直线垂直于轴时，直线过椭圆的一个焦点．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ若的平分线垂直于轴，求证：直线的斜率为定值．
参考答案
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15.解：直线的斜率为，
直线与直线垂直，
直线的斜率为．
又直线过点，
直线的方程为，即，
当直线不过原点时，设直线的方程为，即，
直线过点，，直线的方程为，
直线过原点时，设直线的方程为，
直线过点，，直线的方程为，即，
综上，直线的方程为或．
16.解：圆经过三点，，．
Ⅰ设圆的方程为，
可得，解得，
故圆的方程为；
Ⅱ，
故圆的圆心为，半径为，
当直线的斜率存在时，设：，
圆心到：的距离，
由得，故，解得，
故直线的方程为，即，
当直线的斜率不存在时，：，此时圆心到：的距离，
，满足要求．
故直线的方程为或．
17.解：Ⅰ不妨设双曲线的一个焦点为，双曲线的一条渐近线为，即，
焦点到渐近线的距离为，，又，解得，
，可得，
则双曲线的方程为；
Ⅱ设，，
线段的中点为，，，
又，，
，
得，
又直线过点，直线的方程为，即，
经验证直线与双曲线有两个交点，满足题意，
故直线的方程为；
Ⅲ联立，得，
由根与系数的关系可得，
，
又点到直线的距离，
的面积．
18.解：Ⅰ由过点的直线与抛物线交于，两点，
可知直线斜率不为，
设直线的方程为：，与抛物线的方程联立，
可得，
设，，
由韦达定理可得，
，且恒成立，
因为，所以，
所以，
所以，解得．
Ⅱ连接，，因为，
所以，
所以，所以，
所以，
又直线的方程为，准线方程为：，
所以，且，
所以，
可得，
所以，
综上所述，存在满足条件．
19.Ⅰ解：由题意，可得，
则有，解得，，
所以椭圆的方程为；
Ⅱ证明：设直线的斜率为，
由题意知，直线的斜率为，
设，，
直线的方程为，即，
联立方程组，消去，
得，
因为，为直线与椭圆的交点，
所以，把换成得：，
所以，，
所以直线的斜率，
故直线的斜率为定值．
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