2024-2025学年天津市河北区高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年天津市河北区高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.空间四边形中，，，，点在上，，点为的中点，则( )
A.
B.
C.
D.
3.已知椭圆的短轴长为，焦距为，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
4.过和两点的面积最小的圆的标准方程为( )
A. B.
C. D.
5.已知与关于直线对称，则下列说法中错误的是( )
A. 直线过，的中点 B. 直线的斜率为
C. 直线的斜率为 D. 直线的一个方向向量的坐标是
6.已知过原点的直线与圆：相交，则直线的斜率的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是( )
A. B. C. D.
8.从直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为( )
A. B. C. D.
9.平行六面体中，，，，，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
10.已知是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.已知点是点在坐标平面内的射影，则______．
12.已知点与点之间的距离为，则实数的值为______．
13.如图，在长方体中，，，点为线段的中点，则直线与直线所成角的余弦值为______．
14.已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为______；公共弦长______．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知椭圆的焦点为，，过点的直线与椭圆交于，两点，若，，则的方程为______．
16.本小题分
在中，，，．
Ⅰ求点到直线的距离；
Ⅱ求线段垂直平分线所在的直线方程；
Ⅲ求过点且在轴和轴截距相等的直线的方程．
17.本小题分
已知直线：与圆：交于，两点，且．
Ⅰ求实数的值；
Ⅱ若点为直线：上的动点，求的面积．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，，底面为正方形，分别为的中点．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
求点到平面的距离．
19.本小题分
已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上顶点为，且，动直线与椭圆交于，两点；当直线过焦点且与轴垂直时，．
求椭圆的方程；
若直线过点，椭圆的左顶点为，当面积为时，求直线的斜率．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.
16.解：Ⅰ因为，，，
由题可知直线的斜率为，
所以直线的方程为，即；
由点到直线距离公式可得点到的距离，
即点到直线的距离为；
Ⅱ易知，且过的中点，
可得该直线的点法式方程为，
即；
Ⅲ当在轴和轴截距都为时，此时直线过，，
此时直线方程为；
当在轴和轴截距不为时，因为直线在，轴的截距相等，
可得直线方程为，将点代入可得，可得，
此时直线方程为：；
综上可知，过点且在轴和轴截距相等的直线方程为或．
17.解：Ⅰ将圆：可化为，
所以其圆心，半径，
作于点，
由垂径定理可得为的中点，
由可得，
又，
解得；
Ⅱ由可知，
所以，
又直线：与直线：平行，
所以点到的距离为，
因此，
即的面积为．
18.解：证明：，分别为，的中点，
，又平面，平面，
平面；
由已知可得，，两两垂直，
如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系，因为，
则，
所以，
设平面的法向量为，则，可取，
设直线与平面所成角为，则；
由，得，
因为平面的法向量，
所以点到平面的距离．


19.解：易知椭圆的上顶点，左，右焦点分别为，，
所以，，
因为，
所以，
即，
又，
所以，
因为当直线过焦点且与轴垂直时，，
所以，
联立，
解得，，
则椭圆方程为；
不妨设直线的方程为，设，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
则，
解得，
故直线的斜率为．
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