2024-2025学年四川省绵阳中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年四川省绵阳中学高二（上）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.方程所表示的图形是( )
A. 一个半圆 B. 一个圆 C. 两个半圆 D. 两个圆
3.如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为这艘轮船能被海监船监测到的时长为( )
A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时
4.椭圆的焦点为，，点在此椭圆上，如果线段的中点在轴上，那么的值为( )
A. B. C. D.
5.棱长为的正四面体中，点是的中点，则( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点，且，则该椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，平面平面，四边形为正方形，四边形为菱形，，则直线，所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
8.我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决，列如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题已知点在直线，点在直线上，且，结合上述观点，的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.年月日，“嫦娥五号”顺利进入环月轨道，其轨道是以月球的球心为一个焦点的椭圆如图所示已知它的近月点离月球表面最近的点距离月球表面千米，远月点离月球表面最远的点距离月球表面千米，为椭圆的长轴，月球的半径为千米设该椭圆的长轴长，焦距分别为，，则下列结论正确的有( )
A. B. C. D.
10.瑞士数学家伯努利于年发现了双纽线，即在平面直角坐标系中，点到两个定点，的距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，则当时，下列结论正确是( )
A. 点在双纽线上
B. 点的轨迹方程为
C. 双纽线关于坐标轴对称
D. 满足的点有个
11.以下四个命题表述正确的是( )
A. 直线恒过定点
B. 圆上有且仅有个点到直线：的距离都等于
C. 曲线：与曲线：恰有三条公切线，则
D. 已知圆：，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.两平行直线，的距离为
13.如图，过双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则 ______．
14.已知椭圆的两个焦点分别为、，经过的直线交椭圆于，两点，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上．
求双曲线的标准方程；
过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求．
16.本小题分
已知圆心为的圆经过点，，且圆心在直线上．
求圆的方程；
已知直线过点且直线截圆所得的弦长为，求直线的一般式方程．
17.本小题分
如图所示，直角梯形中，，，，四边形为矩形，，平面平面．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
18.本小题分
已知的圆心在直线上，点在轴右侧且到轴的距离为，被直线：截得的弦长为．
求的方程；
设点在上运动，且点满足，为原点记点的轨迹为．
求曲线的方程；
过点的直线与曲线交于，两点，问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知、分别是椭圆的左、右顶点，过点且斜率为的直线交椭圆于、两个不同的点、与、不重合．
求椭圆的焦距和离心率；
若点在以线段为直径的圆上，求的值；
若，设为坐标原点，直线、分别交轴于点、，当且时，求的取值范围．
参考答案
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15.解：因为双曲线的实轴长为，
所以，
解得；
又因为点在双曲线上，
所以，
解得，
所以双曲线的标准方程为：；
由题可得过点且斜率为的直线方程为：，
即，
联立，
消去可得：，
设，，
所以，，
所以．
16.解：，的中点为，的垂直平分线方程为，即，
将联立可得，即圆的圆心坐标为，
圆的半径为，
所以圆的标准方程为；
设圆心到直线的距离为，由弦长公式得，故，
若直线的斜率不存在，则，此时圆心到直线的距离为，符合题意．
若直线的斜率存在，则设直线的方程为，即，
所以，解得，
则直线的方程为．
故直线的方程为或．
17.Ⅰ证明：取中点，连接，
因为，又因为，
所以四边形为平行四边形，
所以，又因为，所以，
因为四边形为矩形，所以，
又因为平面平面，平面平面，
所以平面，所以，，
于是、、两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，
设平面的法向量为，
，令，，
因为，又因为平面，
所以平面．
Ⅱ解：，，
设平面的法向量为，
，令，，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
18.解：由题意可设圆的圆心的坐标为，
圆的圆心在直线上，
，解得：，即圆心为，
圆心到直线的距离为，设圆的半径为，
弦长为，
由已知，
所以，所以圆的标准方程为
设，，则，，
由得：，所以，
在圆上运动，，
整理可得点的轨迹方程为：；
当直线轴时，轴平分，
当直线斜率存在时，设直线的方程为，
联立，化简可得，
方程的判别式
，
设，，，
，，
若轴平分，则，所以，
又，，
所以，
所以，
所以，
所以解得，
当时，能使轴平分．
19.解：因为椭圆，
所以，，
可得，
则椭圆的焦距，离心率；
不妨设直线的方程为，，，
易知，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
由韦达定理得，，
若点在以线段为直径的圆上，
此时，
即，
整理得，
即，
因为，，
所以，
整理得，
解得，，
因为当时，直线过椭圆的右顶点，不符合题意，
故；
由得，，，
因为，，
所以，，
解得，，
则，
易知，，
解得，，
则，
联立，
可得，
因为，
所以
故的取值范围为
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