2024-2025学年天津市静海一中高二（上）月考数学试卷（12月份）（含答案）

2024-2025学年天津市静海一中高二（上）月考数学试卷（12月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在数列中，已知，，则等于( )
A. B. C. D.
2.抛物线的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
3.以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是( )
A. B.
C. D.
4.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是上一点，且，，则的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
5.已知函数，数列满足，且数列是单调递增数列，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
7.已知过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，若，的中点到轴的距离为，则的值为( )
A. B. C. D.
8.在和之间插入个数，使得这个数成等差数列若这个数中第个为，第个为，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
9.已知为数列的前项和，且满足，则的通项公式为______．
10.已知圆与圆外切，此时直线：被圆所截的弦长______．
11.已知棱长为的正方体，若点在正方体内部且满足，则点到的距离为______．
12.已知抛物线的焦点为，以点为圆心的圆与直线相切于点，则 ．
13.一条倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且该直线与圆相交于，两点，则 ______．
14.设公差的等差数列中，满足，则的值为______．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列和都是等差数列，公差分别为，，数列满足．
数列是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由．
若的公差为，的公差为，，，求数列的通项公式．
16.本小题分
如图，垂直于梯形所在平面，，为线段上一点，，四边形为矩形．
若是的中点，求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
若点到平面的距离为，求的长．
17.本小题分
已知椭圆的两个焦点分别为，，且椭圆过点．
求椭圆的标准方程；
若与直线平行的直线交椭圆于，两点，当时，求的面积．
18.本小题分
求通项公式
数列求通项公式；
在数列中，，且点在直线上，求数列的通项公式；
数列的首项为，且前项和满足，求数列的通项公式；
数列满足，，求数列的通项公式．
19.本小题分
已知，分别为椭圆：在轴正半轴，轴正半轴上的顶点，原点到直线的距离为，且．
求椭圆的离心率；
直线：与圆相切，并与椭圆交于，两点，若，求的值．
参考答案
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15.解：数列是等差数列，理由如下：
因为数列，都是等差数列，公差分别为，，且，
由等差数列的定义，可得，，
所以
为常数，
所以数列是以为公差的等差数列；
因为，，
所以，
由可知数列是等差数列，且公差为，
因为的公差为，的公差为，
所以数列的公差，
则．
16.解：证明：设，连接，
四边形为矩形，
为中点，
又为中点，
，
又平面，平面，
平面．
以为坐标原点，正方向为，，轴，可建立如图所示空间直角坐标系：
则，
，，
设平面的法向量，
，
令，解得：，
，
设直线与平面所成角为，
，，
则直线与平面所成角正弦值为．
，
设，
由平面的法向量，
点到平面的距离，
解得，
．
17.解：设椭圆的方程为，
由题意可得，解得
故椭圆的方程为．
直线的方程为，
设直线方程为，，
将直线的方程代入椭圆的方程并整理得，
由，得，则，
由，得，
则，
解得．
又，
到直线的距离．
所以．
18.解：由题意可知，数列的奇数项为负，偶数项为正，分母为的指数幂，分子为项数的倍，
所以通项公式为；
因为点在直线上，
所以，即，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以；
因为，
所以，
又，所以，
又，所以数列是首项为，公差为的等差数列．
所以，即；
当时，，
当时，符合上式，所以；
因为，所以，
两式相减得：，即数列的奇数项和偶数项都是以为公差的等差数列，
由和，得，
所以，，
所以．
19.解：由椭圆的方程可得，，所以，直线的方程为：
所以原点到直线的距离为：，
由题意可得，，
，
由可得，，，
所以离心率；
由可得椭圆的方程为：，
由直线与圆相切可得，即，
设，，联立直线与椭圆的方程：，
整理可得：，
，即，
，，
所以
将联立可得，解得：，符合判别式大于．
所以的值为．
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